Devoir Maths Expertes : Polynômes et Racines Complexes

Lycée Lacordaire durée 55 min
IE 5 du 15/12/2022
CALCULATRICE INTERDITE
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’ap-
préciation des copies.
Exercice 1 On considère le polynôme Pdéfini dans Cpar
P(z) = z4 −5z3+ 7z2 −5z+ 6
1. Démontrer que Ppossède deux racines imaginaires pures que l’on explicitera.
2. En déduire une factorisation de P
Exercice 2 On considère le polynôme Ptel que :
P(z) = z4+ 4
On note (E)l’équation P(z)=0.
1. Démontrer que si le nombre complexe zest solution de l’équation (E), alors les nombres complexes −zet zsont aussi
solution de (E).
2. Justifier que z0= 1 + iest une racine de P.
3. En déduire des questions précédentes une factorisation du polynôme P.
Exercice 3 Soit Ple polynôme tel que :
P(z) = z3 −2z2 −(4 + 4i)z−16 + 16i
1. Démontrer que l’équation P(z)=0admet une unique solution réelle notée α.
On admet que l’équation P(z) = 0 a une unique solution imaginaire pure notée β= 2i.
2. Déterminer le complexe γtel que :
P(z)=(z−α)(z−β)(z−γ)
Exercice 4 Soit Ple polynôme tel que
P(z) = z3 −(3 + t)z2+ (2 + 3t)z−2toù t est un réel
1. Démontrer que test une racine de P.
2. Montrer que les autres racines de Pne dépendent pas de t.
Exercice 5 Existe-t-il une équation du second degré, à coefficients réels qui a pour solutions 2019 + iet 2019 −i?
Aide : 20192= 4076361.
Mme Taufour et M. de Segonzac Page 1/1 MATHS EXPERTES 2022-2023