Cinématique et dynamique newtonienne I. Référentiel II

Page 1 sur 10
Chap. B1 Cinématique et dynamique newtonienne
I. Référentiel
1- Définitions
On définit d’abord un référentiel de date : l’instant t = 0
Le référentiel d’espace est un solide de référence par rapport auquel on repère les positions du système.
Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie(1ère loi de Newton) y est vérifié en toute rigueur.
2- Référentiels d’étude
a. Les référentiels terrestres
Ils sont construits à partir de n’importe quel solide de référence lié à la Terre (donc fixe par rapport à elle). Ils
sont adaptés aux expériences effectuées dans une salle de TP. Il y a une infinité de référentiels terrestres
(autant que de solides fixes par rapport à la Terre).
b. Le référentiel géocentrique
Pour décrire de façon simple le mouvement des satellites on utilise le référentiel géocentrique.
C’est un solide constitué par le centre de la Terre et 3 étoiles lointaines dont les positions n’ont pas changé
depuis des siècles sur la voûte céleste.
La Terre n’est pas immobile dans le référentiel géocentrique.
c. Le référentiel héliocentrique ou de Copernic
Pour étudier le mouvement des planètes les astronomes utilisent le référentiel héliocentrique.
C’est un solide constitué par le centre du soleil, une des arêtes est perpendiculaire au plan de l’écliptique, les
deux autres arêtes sont dirigées vers des étoiles fixes.
Il est considéré comme Galiléen
Tout référentiel en translation rectiligne par rapport au référentiel de Copernic est galiléen
(Le référentiel géocentrique et les référentiels terrestres ne sont pas galiléens.)
II. Cinématique du point
1- Le vecteur position
Vecteur position à la date t :
)t(OM
)t(z
)t(y
)t(x
x(t), y(t),z(t) coordonnées de M
)t(OM
=
k z(t) +j y(t) + i x(t) 
La relation liant x, y, z indépendante de t est l'équation cartésienne de la
trajectoire. Ex:
OM
= (6t + 1)
i
+ 2t2
j
2- Le vecteur vitesse
a. définition
"M'M
=
"OM
-
'OM
=
OM
Variation du vecteur position pendant t = t'' - t'
)t(VM
t
OM
=
dt
OMd
Le vecteur vitesse
)t(VM
d'un point mobile dans 1 repère R est à chaque instant égale à la

Page 2 sur 10
dérivée par rapport au temps du vecteur position de ce point dans le référentiel.
b. représentation
- origine : M
- direction : tang en M à la trajectoire, parallèle à M'M''
- sens : celui du mouvement
- valeur Vm(t)  VM(t' , t'' ) 
't"t "M'M
)t(VM
't"t "M'M
c. expression
)t(OM
)t(z
)t(y
)t(x
)t(VM
zdt/dz)t(V
ydt/dy)t(V
xdt/dx)t(V
z
y
x
)t(VM
=
k (t)z +j (t)y + i (t)x 
=
k (t)V +j (t)V + i (t)V zyx
Ex:
OM
= (6t + 1)
i
+ 2t2
j
)t(VM
0z)t(V
t4y)t(V
m.s 6x)t(V
z
y
-1
x
La valeur de VM =  Vx2+ Vy2+ Vz2 = 36 + 16 t²
3. Vecteur accélération
Il caractérise les variations du vecteur vitesse
a. définition
La variation du vecteur vitesse pendant t = t'' - t' est 
M
V
=
"M
V
-
'M
V
)"t,'t(aM
=
t
VM
vecteur accélération moyenne entre t' et t'' (en m.s-2 ).
)t(aM
=
)"t,'t(alim M
0t
t
V
lim M
0t 
)t(aM
=
dt
Vd M
=
²dt
OM²d
Le vecteur accélération d'un point mobile est à chaque instant égal à la dérivée par
rapport au temps du vecteur vitesse de ce point
b. Expressions
)t(OM
)t(z
)t(y
)t(x
)t(VM
zdt/dz)t(V
ydt/dy)t(V
xdt/dx)t(V
z
y
x
)t(aM
z²dt/z²d)t(a
y²dt/y²d)t(a
x²dt/x²d)t(a
z
y
x
)t(aM
=
k (t)a +j (t)a + i (t)a zyx
=
k (t)z +j (t)y + i (t)x 
Ex:
OM
= (6t + 1)
i
+ 2t2
j
)t(VM
0z)t(V
t4y)t(V
m.s 6x)t(V
z
y
-1
x
)t(aM
0z)t(a
4y)t(a
0x)t(a
z
y
x

Page 3 sur 10
)t(aM
= 4
j
aM = 4 ms-2 c'est un vecteur constant
c. Base de Frenet
Base de Frenet M,
N
U
,
T
U
T
U
1
Ts.m 1U
choisitsens le :sens
re trajectoila à Men tangla :dir.
M :origine
N
U
1
N
T
s.m 1U
re trajectoila de concavité la vers:sens
U à :dir.
M :origine
Dans la base de Frenet, l’accélération s’exprime par
)t(aM
=
T
a
+
N
a
= aT
T
U
+ aN
N
U
aT: coordonnées tangentielles du vecteur  R
N
a
: coordonnées normales du vecteur  R+
aT =
dt
dVT
=
²dts²d
(aT caractérise les variations de la valeur de la vitesse)
aN = VT²  0  : rayon de courbure de la trajectoire au point M
Si le mouvement est circulaire,  est le rayon du cercle noté R
)t(aM
=
dt
dvM
T
U
+
R²V
N
U
4- Vecteur quantité de mouvement
La quantité de mouvement
)t(p
d’un objet de masse m est dont le centre d’inertie se déplace à la vitesse
)t(v
est définie par :
)t(p
= m
)t(v
m en kg ; v(t) en m.s-1 ; p(t) en kg.m.s-1
)t(p
et
)t(v
ont même direction car la masse est positive.
5- Différents mouvements
a. mouvement rectiligne et uniforme
La trajectoire est une droite (),
)t(v
=
)t(v0
; le vecteur vitesse est constant au cours du temps
)t(a
=
dt
vd
=
0
Sur un axe Ox de()orienté suivant le mouvement
v0x =
dt
dx
 x(t) =  v0x dt = v0x  t + x0
b. Mouvement rectiligne uniformément varié
)t(a
: vecteur constant au cours du temps.
)t(a
=
dt
vd
 a0x=
dt
dvx
 vx(t) =  a0x .dt = a0x  t + v0x

Page 4 sur 10
vx=
dt
dx
 x(t) =  vx dt = ½ a0x t² + v0x t + x0
Si
v
.
a
> 0 le mouvement est accéléré, si
v
.
a
< 0 le mouvement est ralenti
c. Le mouvement circulaire uniforme
La trajectoire est le cercle de centre O et de rayon R dans le plan P.
La valeur de la vitesse reste la même au cours du temps
III. Les lois de Newton
1- Première loi : principe d’inertie
a. Système matériel « pseudo isolé »
La somme des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle
ext
F
=
0
b. Enoncé
Dans un référentiel Galiléen, le centre d’inertie d’un système isolé ou pseudo isolé est soit au repos, soit en
mouvement rectiligne et uniforme
ext
F
=
0
G
v
=
cte
ou
G
v
=
0
2- Deuxième loi : principe fondamental de la dynamique
a. Enoncé
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées au système est égale à la dérivée par
rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d’inertie de ce système
Si le système est fermé, sa masse est constante, on a alors
b. Limite de validité
Si V  (c / 10) = 30 000 km.s-1 , il faut appliquer les lois de la mécanique relativiste d'Einstein.
3. Troisième loi : principe des actions réciproques
Si un objet A exerce sur un objet B une force
B/A
F
alors un objet B exerce sur un objet A une force
A/B
F
Ces forces ont la même droite d'action et leur somme vectorielle est nulle, donc
IV. Mouvements dans un champ de pesanteur uniforme
1- Position du problème
Hypothèse: champ de pesanteur uniforme
g
: vecteur
cst
le solide (S) de masse m est lancé à la date t = 0s avec la vitesse
0
V
ext
F
=
dt
pd
ext
F
= m
a
B/A
F
+
A/B
F
=
0
(S)
V0 G m
G0
P = mg

Page 5 sur 10
faisant un angle  avec l’horizontale.
On néglige l’action de l’air
Si le solide n’est pas ponctuel on étudie le mouvement de son centre d’inertie G.
Une seule force extérieure appliquée à (S)
P
= m
g
: l’objet est en chute libre.
2- Etude dynamique
* Ref terrestre supposé galiléen
* Système {S}
* Inventaire Auteur force
Terre
P
= m
g
* Théorème du centre d’inertie (2e loi de Newton)
Gext am
dt
pd
F
car la masse du solide est constante
G
amgm =P 
G
ag 
 m et  V0
L’accélération ne dépend ni de la masse de l’objet, ni de la façon dont il est lancé.
3- Chute libre avec vitesse initiale quelconque
a. Equation horaire
Conditions initiales : à t = 0 V0 appartient au plan y'y , z'z (plan du tableau ou de la feuille)
et l'angle de tir :
)V,j( 0
= 
G
a
ga
0a
0a
z
y
x
0
V
sin.VV
cos.VV
0V
0z0
0y0
x0
0
OG
0z
0y
0x
0
0
0
g
dt
Vd
aG
G
en primitivant
0G VtgdtgV  
)t(VG
sin.Vt.g)t(V
cos.V)t(V
0)t(V
0Gz
0Gy
Gx
dt
OGd
)t(VG
en primitivant
)t(OG
t.sin.Vt.g
2
1
)t(z
t.cos.V)t(y
0)t(x
0
2
0
- x = 0 : le mouvement est dans le plan vertical contenant
0
V
b. Equation de la trajectoire
x = 0
y = (V0 cos ) t  t =
)cos.V( y
0
z
g
V0
y
00
2
GG OGt.Vta
2
1
dtVOG  