Nature d'une série avec suite croissante : Exercice de maths

Soit u∈(R∗
+)Nstrictement croissante. Nature de
Xun+1 −un
un
La suite uétant croissante, soit elle est majorée et elle converge, soit elle n’est
pas majorée et elle tend vers +∞.
•Si uconverge vers l > 0, alors
un+1 −un
un
∼1
l(un+1 −un)
La série P(un+1 −un)est une série aux différences à termes positifs qui converge
car uconverge. Donc notre série converge.
•Si utend vers +∞, alors on peut remarquer que :
un+1 −un
un
≥Zun+1
un
dt
t= ln(un+1)−ln(un)
La série P(ln(un+1)−ln(un)) est une série une différences à termes positifs qui
diverge car udiverge. Donc notre série diverge.
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