Étude des fonctions usuelles I Notions de base

Étude des fonctions usuelles
I
Notions de base
I.A Limites . . . . . . . . . . . . . . . .
I.A.1 Règles de base sur les limites
I.A.2 Autres règles sur les limites .
I.B Branches infinies . . . . . . . . . . .
I.C Continuité . . . . . . . . . . . . . . .
I.D Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . .
I.E Bijections . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
3
3
4
4
5
II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles
II.A La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B La fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . .
II.C La fonction logarithme de base a (a est un réel de ]0, 1[∪]1, +∞[)
II.D La fonction exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.E La fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.F Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.F.1 Les principales limites à connaître . . . . . . . . . . . . .
II.F.2 Autres limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
10
11
12
14
15
15
16
III Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques
III.A Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.A.1 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
III.A.2 La fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . .
III.B Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . .
III.B.1 Fonction argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.2 Fonction argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.B.3 Fonction argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16
16
16
17
19
19
20
21
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21
21
23
23
24
25
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IV Fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques
IV.A Rappels sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . .
IV.B Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . .
IV.B.1 Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B.2 Fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.B.3 Fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
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Notions de base
I.A
Limites
Soient a, l ∈ R (R ∪ {−∞, +∞}).
On dit que la fonction f a pour limite l lorsque x tend vers a si "f (x) se rapproche de l lorsque x se rapproche de a".
Attention ! Ce n’est pas une définition mathématique. Celle-ci sera vue ultérieurement.
Notations : lim f (x) = l ou f (x) −→ l.
x→a
x→a
1
Cf
Cf
Cf
lim f (x) = −2
lim f (x) = +∞
x→−1
lim f (x) = 2
x→2
x→+∞
√
1. Si f (x) = x, x2 , x3 , x, . . . alors lim f (x) = +∞
Exemples 1.
x→+∞
1 1 1 1
2. Si f (x) = , 2 , 3 , √ , . . . alors lim f (x) = 0
x→+∞
x x x
x
√
3. Si f (x) = x, x2 , x3 , x, . . . alors lim f (x) = 0
x→0
I.A.1
Règles de base sur les limites
L’ensemble (non exhaustif) des tableaux suivants présente les règles permettant de donner les incidences sur les limites des opérations de fonctions :
Somme f + g :
PP
PP lim g
l0
lim f PPP
P
l
l + l0
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
+∞
?
−∞
?
−∞
Produit f g :
PP
PP lim g l0 6= 0
lim f PPP
P
0
0
l 6= 0
ll0
+∞
±∞
−∞
∓∞
Quotient fg :
PP
PP lim g l0 6= 0 +∞ −∞
lim f PPP
P
l
l
0
0
l0
+∞
±∞
?
?
−∞
∓∞
?
?
+∞
−∞
?
±∞
+∞
−∞
?
∓∞
−∞
+∞
On peut également ajouter à ces règles, le théorème suivant, bien utile lorqu’on manipule des fonctions composées :
Théorème 1 (admis). Soient a, b et l ∈ R (réels finis ou infinis).
Si f (x) −→ b et g(y) −→ l, alors g ◦ f (x) −→ l
x→a
x→a
y→b
Exercice 1. Étudier la limite en +∞ des fonctions :
1) f : x 7→ −2x3 + x + 1
4) i : x 7→
√
x2 − x + 1
−x2 + 1
3x2 + x + 1
2
x +1
5) j : x 7→ cos
x3 − x
2) g : x 7→
2
3) h : x 7→ x −
√
x
Exercice 2. Étudier la limite en 0 des fonctions : f : x 7→
√
x− x
√ .
g : x 7→
x+ x
I.A.2
x2 + x + 1
et
x2 − 1
Autres règles sur les limites
Lorsque les simples opérations sur les limites ne sont pas suffisantes, le tableau ci-dessous permet de donner la limite d’une fonction à l’aide d’encadrements :
Théorème 2 (comparaisons).
Si, pour x proche de a et lorsque x tend vers a
alors
u(x) 6 f (x)
u(x) −→ +∞
f (x) −→ +∞
f (x) 6 u(x)
u(x) −→ −∞
f (x) −→ −∞
|f (x) − l| 6 u(x)
u(x) −→ 0
f (x) −→ l
u(x) 6 f (x) 6 v(x)
u(x) −→ l et v(x) −→ l
f (x) 6 g(x)
f et g admettent
des limites en a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
f (x) −→ l (∗)
x→a
lim f (x) 6 lim g(x)
x→a
x→a
(∗) Ce théorème est appelé théorème des gendarmes.
Exercice 3. Étudier le comportement en +∞ des fonctions :
sin x
x
2x + cos(x4 )
4) i : x 7→
x+1
1) f : x 7→
I.B
2 + cos x
√
x
√
2
x + x sin x
5) j : x 7→
3x2 + x cos x
2) g : x 7→
3) h : x 7→ −x + sin x
Branches infinies
f (x)
Rappel : On suppose que lim f (x)
x = +∞. La limite du rapport x lorsque
x tend vers +∞ nous permet de déterminer la nature d’une branche infinie :
– Si
f (x)
−→
x x→+∞
0, on a une branche parabolique de direction (Ox).
– Si
f (x)
−→
x x→+∞
+∞, on a une branche parabolique de direction (Oy).
3
– Si
f (x)
−→
x
x→+∞
a 6= 0, on a une direction asymptotique suivant la droite
d’équation y = ax. Dans ce cas, si f (x) − ax
−→
x→+∞
b ∈ R, on a une
asymptote d’équation y = ax + b.
Remarque : Les résultats précédents restent valables en −∞.
Exercice 4. Soit f la fonction définie par f (x) =
infinies de f .
I.C
√
2x2 − x. Étudier les branches
Continuité
Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le réel
a. On dit que f est continue en a si lim f (x) = f (a). On dit que f est continue
x→a
sur I si f est continue en tout point de I.
Interprétation géométrique : La courbe représentative de f est tracée d’un
trait continu ("sans lever le crayon").
Cf
a
Cf
a
b
f est continue sur [a, b]
c
b
f n’est pas continue en c
Théorème 3 (admis). Toute fonction f dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.
1
Exemples 2. x 7→ x2 , x 7→ x+1
, x 7→ sin x, x 7→
ensemble de définition, car dérivables.
I.D
√
x sont continues sur leur
Dérivabilité
On rappelle brièvement la définition de la dérivée vue au lycée. Celle ci sera
approfondie dans le chapitre dérivation :
Définition 2. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est
dérivable en a ∈ I s’il existe un réel noté f 0 (a) tel que :
lim
x→a
f (x) − f (a)
= f 0 (a)
x−a
f est dite dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I, et la fonction
f 0 : x 7→ f 0 (x) est appelée dérivée de f .
4
On peut maintenant étendre cette définition aux dérivées successives d’une fonction :
Définition 3. On définit les dérivées successives d’une fonction f sur un intervalle I, si elles existent, par :
(0)
f =f
0
f (k) = f (k−1)
si f (k−1) est dérivable.
En particulier, f (1) = f 0 et f (2) = f 00 .
Lorsque la dérivée nième existe et est continue, on dispose d’une définition particulière :
Définition 4. On dit que la fonction f est de classe C n sur l’intervalle I si f
admet une dérivée nième continue sur I. Par exemple, f est de classe C 0 si et
seulement si f est continue, f est de classe C 1 si et seulement si f est dérivable
et f 0 est continue.
I.E
Bijections
Définition 5. I et J sont des intervalles de R.
On dit que la fonction f : I → J est une bijection (ou que f est bijective) de I
sur J si tout élément y de J a un et un seul antécédent par f .
Ceci revient à dire que pour tout y de J, l’équation f (x) = y a une unique
solution dans I.
Définition 6. Si f est bijective, on note f −1 l’application de J dans I qui,
à l’élément y de J, associe la solution de l’équation f (x) = y. On l’appelle
application réciproque de f . On a :
f (x) = y
x = f −1 (y)
⇐⇒
x∈I
y∈J
Remarque 1. Dans un repère orthonormal (O,~i, ~j), les courbes représentatives
de f et f −1 sont symétriques par rapport à la droite ∆ d’équation y = x. En
effet :
M (x, y) ∈ Cf ⇔ y = f (x) ⇔ x = f −1 (y) ⇔ M 0 (y, x) ∈ Cf −1
De plus, ∀x ∈ I, (f −1 ◦ f )(x) = x et ∀y ∈ J, (f ◦ f −1 )(y) = y.
5
d
x
y
y
a
Cf
x b
c
Cf −1
Courbe représentative d’une bijection f de [a, b] sur [c, d], et de sa réciproque
Exercice 5. Dans chacun des cas suivants, indiquer si f est une bijection de I
sur J :
J
J
Cf
I
J
J
Cf
Cf
I
Cf
I
J
I
lim f (x) = 0
Cf
I
x→+∞
x−1
. Montrons que f définit une bijection de son
x+2
ensemble de définition Df sur un ensemble à déterminer.
Exemple 3. Soit f : x 7→
Solution. On a Df = R\{−2}. Résolvons l’équation (?) y = f (x) sur Df . On a :
y = x−1
x+2
⇔ (x + 2)y = x − 1
x 6= −2
On cherche alors à isoler x pour le calculer en fonction de y. L’équation précédente devient :
(
x = 2y+1
1−y
xy − x = −2y − 1 ⇔ x(y − 1) = −2y − 1 ⇔
y 6= −1
Donc, pour y ∈ R\{1}, l’équation (?) a une unique solution x =
2y+1
1−y
sur Df .
f est donc une bijection de Df sur R\{1}, et la bijection réciproque est f −1 : y 7→
6
2y + 1
.
1−y
Définition 7. Si I est un sous ensemble de R, on note f (I) l’ensemble des réels
qui ont au moins un antécédent dans I par f . On l’appelle ensemble image de
I par f .
Exemple 4.
Cf
f (I)
f (I)
Cf
Cf
f (I)
I
I
I
On admet que si f est continue et I est un intervalle, alors f (I) en est
également un.
Théorème 4 (admis). Si l’application f est continue et strictement monotone sur un intervalle I de R, alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle
J = f (I).
L’application réciproque f −1 est alors continue et strictement monotone de
même monotonie que f , de J dans I = f −1 (J).
Si de plus f est dérivable, et que ∀x ∈ I, f 0 (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable, et :
∀y ∈ J, (f −1 )0 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
Remarque 2. Ce théorème est connu sous le nom de théorème de la bijection.
Rappel : Si v est dérivable sur l’intervalle I et u dérivable sur l’intervalle v(I),
alors u ◦ v est dérivable sur I et :
∀x ∈ I (u ◦ v)0 (x) = v 0 (x) × u0 (v(x))
(À titre d’exercice, on pourra dériver ainsi f : x 7→ (x2 + 1)10 et g : x 7→ cos7 x)
On retrouve ainsi la formule de la dérivée de la fonction réciproque, car
∀y ∈ J, f ◦ f −1 (y) = y, donc :
(f ◦ f −1 )0 (y) = 1 = (f −1 )0 (y) × f 0 (f −1 (y))
Exemple 5. En utilisant le théorème de la bijection, montrons que
x2 + 1
f : x 7→
est bijective de [−1, 1[ sur un ensemble à déterminer.
(x − 1)2
Solution. f est définie et dérivable sur [−1, 1[, et ∀x ∈ [−1, 1[ :
f 0 (x) =
2x
x2 + 1
−2(x + 1)
−2
=
(x − 1)2
(x − 1)3
(x − 1)3
Le calcul de la dérivée nous donne imédiatement le tableau des variations de f :
7
x
−2(x + 1)
(x − 1)3
f 0 (x)
−1
1
−
−
+
+∞
fa (x)
3
1
2
f est donc continue et strictement croissante sur [−1, 1[, donc réalise une bijection de [−1, 1[
sur f ([−1, 1[) = [ 12 , +∞[ (cf tableau de variations).
II
Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles
II.A
La fonction logarithme népérien
On admet que tout fonction continue sur un intervalle possède des primitives
sur cet intervalle, et que toutes ces primitives sont égales à une constante près.
Définition 8. On définit la fonction logarithme népérien comme la primitive
de la fonction x 7→ x1 sur R∗+ qui s’annule en 1. Cette fonction est notée ln.
Proposition 1. La fonction ln est définie sur R∗+ , dérivable sur R∗+ , et on a :
1. ln 1 = 0
2. ∀x ∈ R∗+ (ln)0 (x) =
1
x
3. ∀x, y ∈ R∗+ ln (xy) = ln x + ln y
4. lim ln x = −∞ et lim ln x = +∞
x→+∞
x→0
Démonstration. 3. On fixe y ∈ R∗+ . Montrons que ∀x ∈ R∗+ , ln (xy) = ln x + ln y.
On pose h(x) = ln (xy) − ln x − ln y, on a alors par dérivation :
y
1
1
1
h0 (x) =
− = − =0
xy
x
x
x
D’où h est constante sur R∗+ . Or h(1) = ln (1y) − ln 1 − ln y = 0, ce qui entraîne que cette
constante est nulle. Finalement h(x) = 0 ∀x ∈ R∗+ , et le résultat est prouvé.
Proposition 2 (conséquences). ∀x, y ∈ R∗+ , ∀r ∈ Q :
1) ln( x1 ) = − ln x 2) ln( xy ) = ln x − ln y
3) ln(xr ) = r ln x
Variations de ln :
x
0
(ln)0 (x)
1
1
ln x
−∞
*0
e
+
+∞
*+∞
1
*
8
La fonction ln définit une bijection
strictement croissante de R∗+ dans
R (elle est strictement croissante et
continue).
L’unique antécédent du nombre 1
est noté e ∈ R∗+ (e ' 2, 72).
Exercice 6. Montrer que pour tout réel x strictement positif on a ln x 6 x − 1,
avec égalité si et seulement si x = 1 (on pourra étudier la fonction
h : x 7→ x − 1 − ln x). Interpréter graphiquement.
ln x
= 0.
x
Donc la courbe représentative de ln admet une branche parabolique de direction
(Ox).
Proposition 3. On a lim
x→+∞
Démonstration. Montrons que
On pose f (x) =
ln x
.
x
lim
x→+∞
ln x
= 0.
x
Dérivons f :
∀x ∈ R∗+ , f 0 (x) =
1 − ln x
x2
On en dédit les variations de f :
x
f 0 (x)
0
e
0
+
+∞
−
1
e
f (x)
Q
Q
s
Q
3
L’étude de f nous permet donc d’écrire :
ln x
1
6
x
e
∀x ∈ R∗+ ,
De plus, ∀x > 1 :
06
Donc
ln x
x
√
√
ln x
ln( x)2
ln( x)
1
2 1
= √ 2 =2 √
×√ 6 √
x
( x)
x
x
e x
−→ 0.
x→+∞
y =x−1
Cln
1
0
1
e
Courbe représentative de la fonction ln
9
On constate que l’application ln est strictement croissante et continue sur
[0, +∞[, et qu’elle admet donc une application réciproque en vertu du théorème 4.
II.B
La fonction exponentielle népérienne
Définition 9. L’application réciproque de ln est appelée exponentielle (népérienne) et notée exp : R → R∗+ .
exp est continue et strictement croissante de R sur R∗+ .
y = exp x
x = ln y
⇐⇒
x∈R
y>0
De plus ∀x > 0, exp(ln x) = x et ∀y ∈ R, ln(exp y) = y
Proposition 4. La fonction exp est dérivable sur R, et on a :
1. exp 0 = 1 et exp 1 = e.
2. ∀x ∈ R (exp)0 (x) = exp x
3. ∀x, y ∈ R exp (x + y) = exp x × exp y
4.
lim exp x = 0 et lim exp x = +∞
x→−∞
x→+∞
Démonstration.
1. Évident.
2. ∀x > 0 on a (ln)0 (x) 6= 0, donc d’après le théorème 4, exp = ln−1 est dérivable et :
∀y ∈ R (exp)0 (y) =
1
= exp y
ln0 (exp y)
3. D’après la proposition 3, on a :
ln(exp x exp y) = ln(exp x) + ln(exp y) = x + y = ln(exp(x + y))
Comme ln est bijective, on a alors exp x exp y = exp(x + y).
Proposition 5 (conséquences). ∀x, y ∈ R, ∀r ∈ Q :
1) exp(−x) =
1
exp x
2) exp(x − y) =
exp x
exp y
3) exp(rx) = (exp x)r
En particulier, une conséquence de 3) est que pour tout rationnel r, on a :
exp r = exp(1r) = (exp 1)r = er . Par extension, on notera :
exp x = ex , ∀x ∈ R
x
−∞
(exp)0 (x)
0
1
exp x
*
0 10
1
+
*e
1
+∞
*+∞
Cexp
y=x
e
1
0
1
Courbe représentative de la fonction exp
II.C
La fonction logarithme de base a (a est un réel de
]0, 1[∪]1, +∞[)
Définition 10. On appelle logarithme de base a l’application notée loga définie
sur R∗+ par :
ln x
loga (x) =
ln a
En particulier, log10 est appelé logarithme décimal, et loge est le logarithme
népérien.
La fonction logarithme de base a étant proportionnelle au logarithme népérien,
on déduit en déduit l’essentiel des propriétés de cette fonction :
Proposition 6. La fonction loga est définie sur R∗+ , dérivable sur R∗+ , et on a :
1. loga (1) = 0, loga (a) = 1.
2. ∀x ∈ R∗+ (loga )0 (x) =
1
x ln a
3. ∀x, y ∈ R∗+ , ∀r ∈ Q :
i) loga (xy) = loga x + loga y
ii) loga
x
y
= loga x − loga y
r
iii) loga (x ) = r loga x
4. lim loga x =
x→0
−∞ si a > 1
et lim loga x =
+∞ si a < 1
x→+∞
+∞ si a > 1
−∞ si a < 1
On constate donc que les variations de loga dépendent de la valeur de a
(suivant le signe de ln a), ce qu’on peut résumer dans les tableaux suivants :
11
Cas a ∈]0, 1[ (ln a < 0) :
x
0
loga x
a
+ ∞H
j1
H
Cas a ∈]1, +∞[ (ln a > 0) :
1
+∞
x
0
1
loga x
HH
j0
Hj
H−∞
0
*
− ∞
a
*
+∞
+
* ∞
1
Pour finir, on peut représenter quelques fonctions logarithmes de base a :
x 7→ log 12 x
x 7→ log10 x
x 7→ ln x
x 7→ log2 x
1
O
1
On constate que l’application loga est strictement monotone et continue sur
[0, +∞[, et qu’elle admet donc une application réciproque toujours d’après le
théorème 4.
II.D
La fonction exponentielle de base a
a est un réel de ]0, 1[∪]1, +∞[.
Définition 11. L’application réciproque de loga est appelée exponentielle de
base a et notée expa : R → R∗+ .
expa est continue et strictement monotone de R sur R∗+ .
y = expa x
x = loga y
⇐⇒
x∈R
y>0
De plus ∀x > 0, expa (loga x) = x et ∀y ∈ R, loga (expa y) = y
Proposition 7. ∀x ∈ R on a expa x = ex ln a
12
ln y
Démonstration. Soit y = expa x, alors x = loga y = ln
.
a
D’où ln y = x ln a et, par composition avec exp, on a le résultat.
Conséquence : On étend la définition de la fonction exponentielle de base a
à R∗+ en posant :
exp1 x = ex ln 1 = 1
Attention cependant, cette dernière fonction n’est évidemment pas bijective.
Proposition 8. La fonction expa est dérivable sur R, et on a :
1. expa 0 = 1 et expa 1 = a.
2. ∀x ∈ R (expa )0 (x) = (ln a) expa x
3. ∀x, y ∈ R, ∀r ∈ Q :
i) expa (x + y) = expa x × expa y
ii) expa (x − y) =
expa x
expa y
iii) expa (rx) = (expa x)r
4.
lim expa x =
x→−∞
0
+∞
si a > 1
et lim expa x =
si a < 1
x→+∞
+∞
0
si a > 1
si a < 1
En particulier, une conséquence de 3) est que pour tout rationnel r, on a :
expa r = expa (1r) = (expa 1)r = ar . Par extension, on notera :
∀x ∈ R, ax = expa x = ex ln a
Lorsque x ∈ Q, cette notation coïncide avec la notation puissance xième de a.
Proposition 9. Soient a, b > 0, alors :
y
1. a0 = 1 et a1 = a
4. ∀x, y ∈ R, (ax ) = axy
2. ∀x, y ∈ R, ax+y = ax ay
3. ∀x, y ∈ R, ax−y =
5. ∀x ∈ R, (ab)x = ax bx
x
a
ay
Variations de expa :
Cas a ∈]0, 1[ (ln a < 0) :
−∞
0
1
+∞ H
j1
H
expa x
HH
ja
x
Cas a ∈]1, +∞[ (ln a > 0) :
+∞
x
−∞
0
expa x
1
*
0 HH
j0
13
1
*
+∞
+
* ∞
a
x 7→ ( 21 )x
x 7→ 4x
x 7→ exp x
x 7→ exp1 x
1
O
1
Exercice 7. Calculer la dérivée de la fonction f : x 7→ xx sur R∗+ .
II.E
La fonction puissance
Définition 12. Soit a ∈ R. On appelle fonction puissance d’exposant a, la
fonction :
∗
R+ → R∗+
fa :
x 7→ xa = expx (a) = ea ln x
Remarques 3.
2. lim xa =
x→0
1. ∀x ∈ R∗+ x0 = 1 et x1 = x.
0
+∞
si a > 0
si a < 0
et
lim xa =
x→+∞
+∞
0
si a > 0
si a < 0
Pour cetteraison, si a > 0, on peut adopter la convention 0a = 0. La foncxa si x > 0
tion fa =
est continue sur R+ . On dit qu’on a effectué
0 si x = 0
un prolongement par continuité de fa .
Proposition 10. La fonction fa : x 7→ xa est dérivable sur R∗+ , et ∀x ∈ R∗+ :
fa0 (x) = axa−1
14
Variations de x 7→ xa :
Cas a < 0 :
x
0
1
fa0 (x)
−
+∞
Q
Q
s
Q
fa (x)
1
+∞
Cas a > 0 :
x
0
fa0 (x)
1
+
+∞
+∞
3
fa (x)
Q
Q
s
Q
1
0
0
3
x 7→ x
5
x 7→ x 2
− 12
x 7→ x
√
x 7→ x
1
1
O
II.F
Croissances comparées
II.F.1
Les principales limites à connaître
Nous venons de constater que les fonctions logarithmes, exponentielles et puissances (avec exposant strictement positif) ont toutes la limite +∞ lorsque x tend
vers +∞. Ceci peut donner des cas de formes indéterminées, lorsque l’on étudie la limite d’une fonction obtenue à partir de ces dernières. Nous allons donc
mettre en évidence leurs croissances comparées.
Proposition 11. Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors :
(ln x)α
ln x
1. lim
= 0, et en particulier lim
=0
β
x→+∞
x→+∞ x
x
xβ
x
2. lim γx = 0, et en particulier lim x = 0
x→+∞ e
x→+∞ e
xβ
3. lim x = 0
x→+∞ a
Démonstration. On va utiliser la proposition 3 :
β α α
α
(ln x)α
ln x
α ln x
=
=
−→ 0
β
β
β
β
x
x→+∞
xα
xα
| {z }
−→ 0
x→+∞
• On pose X =
ex
−→ +∞ :
x→+∞
xβ
xβ
(ln X)β
(ln X)β
= x γ = ln X γ =
eγx
(e )
(e
)
Xγ
15
−→ 0
x→+∞
•
xβ
ax
=
II.F.2
xβ
−→
ex ln a x→+∞
0, car ln a > 0.
Autres limites
Il faut être capable de retrouver les limites suivantes à partir des limites de
base et des propriétés des fonctions.
Proposition 12. Soient α, β, γ trois réels strictement positifs et a > 1, alors :
1. lim | ln x|α xβ = 0, et en particulier lim x ln x = 0
x→0
2.
3.
x→0
lim |x|β eγx = 0, et en particulier lim xex = 0
x→−∞
x→−∞
β x
lim |x| a = 0
x→−∞
Démonstration. Nous n’allons démontrer que quelques uns de ces points. Les autres seront
laissés à titre d’exercice : On pose X = x1 −→ +∞ :
x→0
x ln x =
1
1
− ln X
ln
=
−→ 0
x→0
X
X
X
On pose X = −x −→ +∞ :
x→−∞
xex = −Xe−X = −
X
eX
−→ 0
x→−∞
Exercice 8. Calculer les limites suivantes :
1)
III
x2 + (ln x)10
x→+∞
x + ex
lim
2)
lim
ex − x2
+ x5 ln x
x→+∞ 3x
√
3) lim x
x ln x
x→0
Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques
III.A
Fonctions hyperboliques
III.A.1
Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique
Définition 13. On appelle cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique les applications notées respectivement ch et sh et définies pour x ∈ R par :
ch x =
ex + e−x
2
Remarques 4.
1. ∀x ∈ R, ex = ch x + sh x
16
sh x =
ex − e−x
2
2. ch est paire et sh est impaire.
3. ch(0) = 1 et sh(0) = 0 ;
lim ch x = +∞ et lim sh x = −∞
x→−∞
x→−∞
ch x
sh x
lim ch x = lim sh x = +∞ ;
lim
= lim
= +∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞ x
4. ∀x ∈ R, ch x > sh x et ch x − sh x = e−x −→ 0
x→+∞
5. ch et sh sont dérivables sur R et :
∀x ∈ R, sh0 x = ch x
x
0
ch0 x 0
+
ch x
3
ch0 x = sh x
+∞
Variations de sh et ch :
x
sh0 x
0
1
+∞
+
+∞
1
+∞
sh x
3
0
Exercice 9. Montrer que ∀x > 0, on a sh x > x.
y=x
x 7→ ch x
x 7→ sh x
1
0
1
Courbe représentative des fonctions ch et sh
Proposition 13. ∀x ∈ R, ch2 x − sh2 x = 1
Démonstration. Soit x ∈ R : ch2 x − sh2 x = (ch x − sh x)(ch x + sh x) = e−x ex = 1
III.A.2
La fonction tangente hyperbolique
Définition 14. On appelle tangente hyperbolique l’application notée th et définie pour x ∈ R par :
sh x
th x =
ch x
17
Remarques 5.
ex − e−x
.
ex + e−x
2. th est une fonction impaire.
3. ∀x ∈ R, −1 < th x < 1.
1. ∀x ∈ R, th x =
x
−x
Démonstration. Pour x > 0 : 0 6 th x = eex −e
6
+e−x
Finalement, th étant impaire, on a le résultat.
4.
ex
ex +e−x
< 1.
lim th x = 1 et lim th x = −1.
x→+∞
x→−∞
5. th est dérivable sur R et :
∀x ∈ R, th0 x = 1 − th2 x =
Démonstration. th0 x =
sh0 x ch x−sh x ch0 x
ch2 x
=
1
ch2 x
ch2 x−sh2 x
,
ch2 x
d’où les deux résultats.
Exercice 10. Montrer que ∀x > 0, on a th x 6 x.
x
th0 x
0
1
+
+∞
0
3
Variations de th :
1
th x
y=x
Cth
1
0
1
Courbe représentative de la fonction th
On constate que les fonctions hyperboliques sh : R → R, th : R →] − 1, 1[ et
ch : [0, +∞[→ [1, +∞[ (en fait la restriction de ch à [0, +∞[) sont strictement
croissantes et continues, et qu’elles admettent donc une application réciproque,
elle aussi strictement croissante et continue.
18
III.B
Fonctions hyperboliques réciproques
III.B.1
Fonction argsh
Définition 15. L’application réciproque de sh est appelée argument sinus hyperbolique et notée argsh : R → R.
argsh est continue, strictement croissante, et impaire de R sur R.
y = argsh x
x = sh y
⇐⇒
x∈R
y∈R
De plus ∀y ∈ R, argsh(sh y) = y et ∀x ∈ R, sh(argsh x) = x
Les relations précédentes nous permettent également de simplifier l’expression
ch(argsh x). On dispose en effet de la relation ch2 X − sh2 X = 1. En particulier,
pour X = argsh x :
ch2 (argsh x) − sh2 (argsh x) = 1
{z
}
|
=x2
ch étant une fonction positive, on obtient après simplification :
p
ch(argsh x) = x2 + 1
Proposition 14. La fonction argsh est dérivable sur R, et :
∀x ∈ R, argsh0 (x) = √
1
x2 + 1
Démonstration. ∀x ∈ R, on a sh0 x = ch x 6= 0, donc d’après le théorème 4, argsh = sh−1 est
dérivable et :
1
1
∀y ∈ R, (argsh)0 (y) =
= p
2
ch(argsh y)
y +1
y=x
Cargsh
1
0
1
Courbe représentative de la fonction argsh
19
III.B.2
Fonction argch
Définition 16. L’application réciproque de ch est appelée argument cosinus
hyperbolique et notée argch : [1, +∞[→ R+ .
argch est continue et strictement croissante de [1, +∞[ sur R+ .
y = argch x
x = ch y
⇐⇒
x ∈ [1, +∞[
y ∈ R+
De plus ∀y ∈ R+ , argch(ch y) = y et ∀x ∈ [1, +∞[, ch(argch x) = x
Remarque 6. Pour tout y ∈ R− , on a :
argch(ch y) = argch(ch(−y)) = −y ∈ R+
Les relations précédentes nous permettent également de simplifier l’expression
sh(argch x). On obtient après calculs, comme en III.B.1 :
sh(argch x) =
p
x2 − 1
Proposition 15. La fonction argch est dérivable sur ]1, +∞[, et :
∀x ∈]1, +∞[, argch0 (x) = √
1
x2
−1
Démonstration. ∀x ∈ R∗+ , on a ch0 x = sh x 6= 0, donc d’après le théorème 4, argch = ch−1
est dérivable et :
∀y ∈]1, +∞[, (argch)0 (y) =
1
1
= p
sh(argch y)
y2 − 1
y=x
Cargch
1
0
1
Courbe représentative de la fonction argch
20
III.B.3
Fonction argth
Définition 17. L’application réciproque de th est appelée argument tangente
hyperbolique et notée argth :] − 1, 1[→ R.
argth est continue, strictement croissante, et impaire de ] − 1, 1[ sur R.
y = argth x
x = th y
⇐⇒
x ∈] − 1, 1[
y∈R
De plus ∀y ∈ R, argth(th y) = y et ∀x ∈] − 1, 1[, th(argth x) = x
Proposition 16. La fonction argth est dérivable sur ] − 1, 1[, et :
∀x ∈] − 1, 1[, argth0 (x) =
1
1 − x2
Démonstration. ∀x ∈ R on a th0 x = 1 − th2 x 6= 0, donc d’après le théorème 4, argth = th−1
est dérivable et :
1
1
∀y ∈] − 1, 1[, (argth)0 (y) =
=
1 − y2
1 − th2 (argth y)
Cargth
y=x
1
0
1
Courbe représentative de la fonction argth
IV
IV.A
Fonctions circulaires et fonctions circulaires
réciproques
Rappels sur les fonctions trigonométriques
Dans le plan orienté muni d’un repère orthonormal (O,~i, ~j), on considère le
−−→
cercle C de centre 0 et de rayon 1. Soit M un point de C, et θ = (~i, OM ). Le
21
point M a pour coordonnées (cos θ, sin θ) dans le repère (O,~i, ~j). Les fonctions
sinus et cosinus sont 2π-périodiques, respectivement impaire et paire.
On définit également la fonction tangente sur Dtan = R \ { π2 + kπ, k ∈ Z} par :
sin θ
cos θ
tan θ =
Cette fonction est impaire et π-périodique.
1
tan θ
sin θ
θ
−1
cos θ
O
1
−1
Proposition 17.
1. Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R, et on a pour tout x ∈ R :
sin0 x = cos x
cos0 x = − sin x
2. La fonction tan est dérivable sur Dtan , et on a pour tout x 6=
tan0 x = 1 + tan2 x =
π
2
+ kπ :
1
cos2 x
3. ∀x ∈ R, sin(x + π2 ) = cos x, donc la courbe du sinus se déduit de celle du
cosinus par translation de vecteur ( π2 , 0).
x 7→ cos x
y=x
x 7→ sin x
1
−π
− π2
0
1
π
2
π
Courbe représentative des fonctions sin et cos
22
3π
2
2π
1
−π
− π2
0
1
π
2
π
3π
2
2π
Courbe représentative de la fonction tan
IV.B
Fonctions trigonométriques réciproques
IV.B.1
Fonction arc sinus
La fonction sin est continue et strictement croissante de [− π2 , π2 ] dans [−1, 1],
donc définit une bijection de [− π2 , π2 ] dans [−1, 1].
Définition 18. L’application réciproque de sin est appelée arc sinus, et notée
arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ].
arcsin est continue, strictement croissante, et impaire de [−1, 1] sur [− π2 , π2 ].
y = arcsin x
x = sin y
⇐⇒
x ∈ [−1, 1]
y ∈ [− π2 , π2 ]
De plus ∀x ∈ [−1, 1], sin(arcsin x) = x et ∀θ ∈ [− π2 , π2 ], arcsin(sin θ) = θ
(Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle).
Exercice 11. Calculer les valeurs :
√
2
1
π 3π
arcsin
, arcsin(− ), arcsin sin(− ) et arcsin sin
2
2
3
4
Les relations précédentes nous permettent également de simplifier l’expression cos(arcsin x). On dispose en effet de la relation cos2 X + sin2 X = 1. En
particulier, pour X = arcsin x :
cos2 (arcsin x) + sin2 (arcsin x) = 1
{z
}
|
=x2
cos étant une fonction positive sur [− π2 , π2 ], on obtient après simplification :
p
cos(arcsin x) = 1 − x2
Proposition 18. La fonction arcsin est dérivable sur ] − 1, 1[, et :
∀x ∈] − 1, 1[, arcsin0 (x) = √
23
1
1 − x2
Démonstration. ∀x ∈] −
sin−1 est dérivable et :
π π
, [
2 2
on a sin0 x = cos x 6= 0, donc d’après le théorème 4, arcsin =
∀y ∈] − 1, 1[, (arcsin)0 (y) =
1
1
= p
cos(arcsin y)
1 − y2
Carcsin y = x
π
2
1
− π2
0
1
π
2
− π2
Courbe représentative de la fonction arcsin
IV.B.2
Fonction arc cosinus
La fonction cos est continue et strictement décroissante de [0, π] dans [−1, 1],
donc définit une bijection de [0, π] dans [−1, 1].
Définition 19. L’application réciproque de cos est appelée arc cosinus, et notée
arccos : [−1, 1] → [0, π].
arccos est continue et strictement décroissante de [−1, 1] sur [0, π].
y = arccos x
x = cos y
⇐⇒
x ∈ [−1, 1]
y ∈ [0, π]
De plus ∀x ∈ [−1, 1], cos(arccos x) = x et ∀θ ∈ [0, π], arccos(cos θ) = θ (Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle).
Exercice 12. Calculer les valeurs :
√
1
3
3π
π 3π
arccos , arccos(−
), arccos cos
, arccos cos(− ) et arccos cos
2
2
4
4
2
Proposition 19. La fonction arccos est dérivable sur ] − 1, 1[, et :
∀x ∈] − 1, 1[, arccos0 (x) = − √
24
1
1 − x2
Démonstration. On procède de même qu’en IV.B.1.
π
y=x
Carccos π
2
1
0
1
π
π
2
Courbe représentative de la fonction arccos
Exercice 13. Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], on a :
arcsin x + arccos x =
IV.B.3
π
2
Fonction arc tangente
La fonction tan est continue et strictement croissante de ] − π2 , π2 [ dans R donc
définit une bijection de ] − π2 , π2 [ dans R.
Définition 20. L’application réciproque de tan est appelée arc tangente, et
notée arctan : R →] − π2 , π2 [.
arctan est continue, strictement croissante, et impaire de R sur ] − π2 , π2 [.
y = arctan x
x = tan y
⇐⇒
x∈R
y ∈] − π2 , π2 [
De plus ∀x ∈ R, tan(arctan x) = x et ∀θ ∈] − π2 , π2 [, arctan(tan θ) = θ (Attention ! ce dernier point est faux si θ est dans un autre intervalle).
Exercice 14. Calculer les valeurs :
arctan 1, arctan
√
π 3π
3, arctan tan(− ) et arctan tan
4
4
25
Proposition 20. La fonction arctan est dérivable sur R, et :
∀x ∈ R, arctan0 (x) =
1
1 + x2
π
2
1
− π2
0
Carctan
1
π
2
− π2
Courbe représentative de la fonction arctan
Exercice 15. Montrer que ∀x > 0, on a :
arctan x + arctan
Que peut-on dire pour x < 0 ?
26
π
1
=
x
2