Étude des fonctions usuelles I Notions de base

Étude des fonctions usuelles
I Notions de base 1
I.A Limites ................................ 1
I.A.1 Règles de base sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.A.2 Autres règles sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.B Branchesinfinies ........................... 3
I.C Continuité............................... 4
I.D Dérivabilité .............................. 4
I.E Bijections ............................... 5
II Fonctions logarithmes et fonctions exponentielles réelles 8
II.A La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II.B La fonction exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.C La fonction logarithme de base a(aest un réel de ]0,1[∪]1,+∞[) 11
II.D La fonction exponentielle de base a................. 12
II.E La fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.F Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.F.1 Les principales limites à connaître . . . . . . . . . . . . . 15
II.F.2 Autreslimites......................... 16
III Fonctions hyperboliques et hyperboliques réciproques 16
III.A Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III.A.1 Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique . . . 16
III.A.2 La fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . 17
III.B Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 19
III.B.1 Fonction argsh ........................ 19
III.B.2 Fonction argch ........................ 20
III.B.3 Fonction argth ........................ 21
IV Fonctions circulaires et fonctions circulaires réciproques 21
IV.A Rappels sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . 21
IV.B Fonctions trigonométriques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . 23
IV.B.1 Fonction arc sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
IV.B.2 Fonction arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
IV.B.3 Fonction arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I Notions de base
I.A Limites
Soient a, l ∈R(R∪ {−∞,+∞}).
On dit que la fonction fa pour limite llorsque xtend vers asi "f(x)se rap-
proche de llorsque xse rapproche de a".
Attention ! Ce n’est pas une définition mathématique. Celle-ci sera vue ultérieu-
rement.
Notations : lim
x→af(x) = lou f(x)−→ x→al.
1

Cf
lim
x→−1f(x) = −2
Cf
lim
x→2f(x) = +∞
Cf
lim
x→+∞f(x)=2
Exemples 1. 1. Si f(x) = x, x2, x3,√x, . . . alors lim
x→+∞f(x)=+∞
2. Si f(x) = 1
x,1 x2,1 x3,1
√x, . . . alors lim
x→+∞f(x) = 0
3. Si f(x) = x, x2, x3,√x, . . . alors lim
x→0f(x)=0
I.A.1 Règles de base sur les limites
L’ensemble (non exhaustif) des tableaux suivants présente les règles permet-
tant de donner les incidences sur les limites des opérations de fonctions :
Somme f+g:
PPPPPPP
P
lim f
lim gl0+∞ −∞
l l +l0+∞ −∞
+∞+∞+∞?
−∞ −∞ ?−∞
Produit fg :
PPPPPPP
P
lim f
lim gl06= 0 +∞ −∞
0 0 ? ?
l6= 0 ll0±∞ ∓∞
+∞ ±∞ +∞ −∞
−∞ ∓∞ −∞ +∞
Quotient f
g:
PPPPPPP
P
lim f
lim gl06= 0 +∞ −∞
ll
l00 0
+∞ ±∞ ? ?
−∞ ∓∞ ? ?
On peut également ajouter à ces règles, le théorème suivant, bien utile lor-
qu’on manipule des fonctions composées :
Théorème 1 (admis).Soient a, b et l∈R(réels finis ou infinis).
Si f(x)−→
x→abet g(y)−→
y→bl, alors g◦f(x)−→
x→al
Exercice 1. Étudier la limite en +∞des fonctions :
1) f:x7→ −2x3+x+ 1 2) g:x7→ −x2+ 1
3x2+x+ 1 3) h:x7→ x−√x
4) i:x7→ √x2−x+ 1 5) j:x7→ cos x2+ 1
x3−x
2

Exercice 2. Étudier la limite en 0des fonctions : f:x7→ x2+x+ 1
x2−1et
g:x7→ x−√x
x+√x.
I.A.2 Autres règles sur les limites
Lorsque les simples opérations sur les limites ne sont pas suffisantes, le ta-
bleau ci-dessous permet de donner la limite d’une fonction à l’aide d’encadre-
ments :
Théorème 2 (comparaisons).
Si, pour xproche de aet lorsque xtend vers aalors
u(x)6f(x)u(x)−→
x→a+∞f(x)−→ x→a+∞
f(x)6u(x)u(x)−→
x→a−∞ f(x)−→ x→a−∞
|f(x)−l|6u(x)u(x)−→
x→a0f(x)−→ x→al
u(x)6f(x)6v(x)u(x)−→
x→alet v(x)−→ x→al f(x)−→ x→al(∗)
f(x)6g(x)fet gadmettent
des limites en alim
x→af(x)6lim x→ag(x)
(∗) Ce théorème est appelé théorème des gendarmes.
Exercice 3. Étudier le comportement en +∞des fonctions :
1) f:x7→ sin x
x2) g:x7→ 2 + cos x
√x3) h:x7→ −x+ sin x
4) i:x7→ 2x+ cos(x4)
x+ 1 5) j:x7→ x2+√xsin x 3x2+xcos x
I.B Branches infinies
Rappel : On suppose que lim f(x)
x= +∞. La limite du rapport f(x) xlorsque
xtend vers +∞nous permet de déterminer la nature d’une branche infinie :
– Si f(x)
x−→
x→+∞0, on a une branche parabolique de direction (Ox).
– Si f(x)
x−→
x→+∞+∞, on a une branche parabolique de direction (Oy).
3

– Si f(x)
x−→
x→+∞a6= 0, on a une direction asymptotique suivant la droite
d’équation y=ax. Dans ce cas, si f(x)−ax −→
x→+∞b∈R, on a une
asymptote d’équation y=ax +b.
Remarque : Les résultats précédents restent valables en −∞.
Exercice 4. Soit fla fonction définie par f(x) = √2x2−x. Étudier les branches
infinies de f.
I.C Continuité
Définition 1. Soit fune fonction définie sur un intervalle Icontenant le réel
a. On dit que fest continue en asi lim
x→af(x) = f(a). On dit que fest continue
sur Isi fest continue en tout point de I.
Interprétation géométrique : La courbe représentative de fest tracée d’un
trait continu ("sans lever le crayon").
ab
Cf
fest continue sur [a, b]
ab c
Cf
fn’est pas continue en c
Théorème 3 (admis).Toute fonction fdérivable sur un intervalle Iest conti-
nue sur cet intervalle.
Exemples 2. x7→ x2,x7→ 1
x+1 ,x7→ sin x,x7→ √xsont continues sur leur
ensemble de définition, car dérivables.
I.D Dérivabilité
On rappelle brièvement la définition de la dérivée vue au lycée. Celle ci sera
approfondie dans le chapitre dérivation :
Définition 2. Soit fune fonction définie sur un intervalle I. On dit que fest
dérivable en a∈Is’il existe un réel noté f0(a)tel que :
lim
x→a
f(x)−f(a)
x−a=f0(a)
fest dite dérivable sur Isi elle est dérivable en tout point de I, et la fonction
f0:x7→ f0(x)est appelée dérivée de f.
4

On peut maintenant étendre cette définition aux dérivées successives d’une fonc-
tion :
Définition 3. On définit les dérivées successives d’une fonction fsur un inter-
valle I, si elles existent, par :
f(0) =f
f(k)=f(k−1)0si f(k−1) est dérivable.
En particulier, f(1) =f0et f(2) =f00.
Lorsque la dérivée nième existe et est continue, on dispose d’une définition par-
ticulière :
Définition 4. On dit que la fonction fest de classe Cnsur l’intervalle Isi f
admet une dérivée nième continue sur I. Par exemple, fest de classe C0si et
seulement si fest continue, fest de classe C1si et seulement si fest dérivable
et f0est continue.
I.E Bijections
Définition 5. Iet Jsont des intervalles de R.
On dit que la fonction f:I→Jest une bijection (ou que fest bijective) de I
sur Jsi tout élément yde Ja un et un seul antécédent par f.
Ceci revient à dire que pour tout yde J, l’équation f(x) = ya une unique
solution dans I.
Définition 6. Si fest bijective, on note f−1l’application de Jdans Iqui,
à l’élément yde J, associe la solution de l’équation f(x) = y. On l’appelle
application réciproque de f. On a :
f(x) = y
x∈I⇐⇒ x=f−1(y) y∈J
Remarque 1. Dans un repère orthonormal (O,~ i,~ j), les courbes représentatives
de fet f−1sont symétriques par rapport à la droite ∆d’équation y=x. En
effet :
M(x, y)∈ Cf⇔y=f(x)⇔x=f−1(y)⇔M0(y, x)∈ Cf−1
De plus, ∀x∈I, (f−1◦f)(x) = xet ∀y∈J, (f◦f−1)(y) = y.
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