1 Fonction valeur absolue 2 Fonction partie entière

x|x|= max(x, −x) = x x ≥0
−x x < 0
a b
• |a|=√a2
• |a| ≤ b⇔ −b≤a≤b|a| ≥ b⇔a≤ −b a ≥b
• |ab|=|a||b|
• ||a|−|b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|
∀x, y, z ∈IR, |x−z| ≤ |x−y|+|y−z|
x7→ |x|
•IR IR+IR∗
IR−
∗IR+ ∗
•IR+
x ZZ x
[x]E(x)∀x∈IR, E(x)≤x < E(x)+1
x x =E(x) + d d ∈[0,1[
x y ∈IR E(x) + E(y)≤E(x+y)≤E(x) + E(y) + 1
x∈IR y ∈IN E(x+y) = E(x) + y
x7→ E(x)
•IR ZZ
•IR\ZZ

IR+
∗IR ln x=Rx
1
dt
t
a b
•ln(ab) = ln(a) + ln(b)
•ln(a
b) = ln(a)−ln(b)
•ln(ar) = rln(a)r∈IR
ln
• C∞IR+
∗∀x∈IR+ ∗,(ln x)0=1
x
•IR+
∗
ln IR+
∗IR
lim
x→0+ln x=−∞ lim
x→+∞ln x= +∞
lim
x→0+xln x= 0 lim
x→+∞
ln x
x= 0
lim
h→0
ln(1 + h)
h= 1
IR IR+
∗
ln exexp(x)
∀(x, y)∈(IR, IR+
∗), y =ex⇔x= ln y
e0= 1 ln 1 = 0 e1=e≈2,718 ln e= 1
a b
•ea+b=eaeb
•ea−b=ea
eb
•era = (ea)rr∈IR
exp
• C∞IR n ∀n∈IN, x ∈IR, (ex)(n)=ex
•IR
lim
x→−∞ ex= 0 lim x→+∞ex= +∞
lim
x→−∞ xex= 0 lim x→+∞
ex
x= +∞
lim
h→0
eh−1
h= 1

a∈IR+
∗
a∈IR+
∗a IR+
∗IR loga(x) = ln x
ln a
a IR IR+
∗expa(x) = exln a=ax
logaexpa
∀(x, y)∈(IR, IR+
∗), y = expax⇔x= logay
expa0 = 1 loga1 = 0 expa1 = alogaa= 1
•e
•log10 log
a∈IR+
∗logaexpa
• C∞IR+
∗IR n n ∈IN∗
∀x∈IR+
∗,(logax)(n)=(−1)n+1
ln a
(n−1)!
xn
∀x∈IR, (expax)(n)= (ln a)nexpax
•IR+
∗IR
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
y
x
Fonctions logarithme et exponentielle de base a
log avec a>1
exp avec a>1
log avec 0<a< 1
exp avec 0<a<1

α∈IR
IR+
∗IR+ ∗pα(x) = xα=eαln x
α β x y
•xα×yα= (xy)αxα
yα= (x y)α
•xα×xβ=xα+βx−α=1
xα(xα)β=xαβ
α∈lQ α =p
qp∈ZZ q ∈IN∗
∀x > 0, xα=xp
q=q
√xp= (xp)1
q= (x1 q)p
pα
• C∞IR+
∗
α∈IR\ZZ n ∈IN (pα(x))(n)=Qn−1
k=0 (α−k)xα−n
•α > 0α < 0IR+
∗
pαIR+
∗IR+ ∗pα
p1
α
∀(x, y)∈IR+2
∗, y =xα⇔x=α
√y
α > 0,lim
x→0+xα= 0 lim
x→+∞xα= +∞
α < 0,lim
x→0+xα= +∞lim
x→+∞xα= 0
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10
y
x
Fonctions puissances a
a<0
a=0
0<a< 1
a=1
a>1

α∈ZZ
α∈ZZ+
∗−α∈ZZ− ∗
•pαIR IR+α IR α
•p−αIR∗IR+
∗α IR∗α
α
•pαp−α
•pαIR+IR+IR+
α
•pαp−α
•pαIR IR
pαp−αC∞n∈IN
(pα(x))(n)= (xα)(n)=α!
(α−n)! xα−nn≤α
0n > α
(p−α(x))(n)= ( 1
xα)(n)= (−1)nα! (α−n)!
1
xα+n
−10
−5
0
5
10
−4 −2 0 2 4
y
x
Fonctions puissances a entier
a<0 pair
a<0 impair
a>0 pair
a>0 impair
∀α > 0∀β∈IR
lim
x→+∞
ln x
xα= 0 lim
x→0+xαln x= 0
lim
x→+∞
ex
xβ= +∞lim
x→+∞xβe−x= 0
lim
x→+∞
ex
(ln x)β= +∞lim
x→+∞(ln x)βe−x= 0