1 Fonction valeur absolue 2 Fonction partie entière

ISEL - Année 1
Mathématiques
FONCTIONS USUELLES
1
Fonction valeur absolue
Dénition 1 La valeur absolue d'un nombre réel x est |x| = max(x, −x) =
x
−x
si x ≥ 0
.
si x < 0
Propriété 1 Soient a et b deux réels, on a:
• |a| =
√
a2 ;
• |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b; |a| ≥ b ⇔ a ≤ −b ou a ≥ b;
• |ab| = |a||b|;
• ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|.
Propriété 2 Inégalité triangulaire:
∀x, y, z ∈ IR, |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.
La fonction valeur absolue x 7→ |x| est
• dénie, continue sur IR à valeurs dans IR+ , dérivable sur IR∗ . Sa dérivée est constante et égale à -1
sur IR∗− et constante et égale à 1 sur IR∗+ .
• paire, croissante sur IR+ .
2
Fonction partie entière
Dénition 2 La partie entière d'un nombre réel x est le plus grand élément de ZZ inférieur ou égal à x.
On le note [x] ou E(x) et on a: ∀x ∈ IR, E(x) ≤ x < E(x) + 1.
Propriété 3 Tout nombre réel x peut s'écrire de manière unique:
x = E(x) + d avec d ∈ [0, 1[.
Propriété 4 Soient x, y ∈ IR, E(x) + E(y) ≤ E(x + y) ≤ E(x) + E(y) + 1.
Soient x ∈ IR, y ∈ IN , E(x + y) = E(x) + y .
La fonction partie entière, x 7→ E(x), est
• dénie sur IR à valeurs dans ZZ , croissante,
• continue et dérivable sur IR\ZZ , de dérivée nulle.
1
3
Fonctions logarithmes et exponentielles
3.1
Logarithme népérien
Dénition 3 La fonction logarithme népérien est dénie sur IR∗+ à valeurs dans IR par ln x =
Propriété 5 Soient a et b deux réels strictement positifs, on a:
Rx
1
dt
t
.
• ln(ab) = ln(a) + ln(b);
• ln( ab ) = ln(a) − ln(b);
• ln(ar ) = r ln(a) avec r ∈ IR.
La fonction ln est
• de classe C ∞ sur IR∗+ , sa dérivée première est: ∀x ∈ IR∗+ , (ln x)0 = x1 ,
• strictement croissante sur IR∗+ .
La fonction ln est une bijection de IR∗+ sur IR, elle admet donc une fonction réciproque.
Limites à connaître:
lim+ ln x = −∞
et
lim ln x = +∞
x→+∞
x→0
lim x ln x = 0
x→0+
et
lim
x→+∞
ln x
=0
x
ln(1 + h)
=1
h→0
h
lim
3.2
Exponentielle
Dénition 4 La fonction exponentielle, dénie sur IR à valeurs dans IR∗+ , est la fonction réciproque de
la fonction ln, on la note ex ou exp(x).
Ainsi on a:
∀(x, y) ∈ (IR, IR∗+ ), y = ex ⇔ x = ln y
En particulier: e0 = 1 et ln 1 = 0; e1 = e ≈ 2, 718 et ln e = 1.
Propriété 6 Soient a et b deux réels, on a:
• ea+b = ea eb ;
• ea−b =
ea
eb
;
• era = (ea )r avec r ∈ IR.
La fonction exp est
• de classe C ∞ sur IR, sa dérivée nième est: ∀n ∈ IN, x ∈ IR, (ex )(n) = ex ,
• strictement croissante sur IR.
Limites à connaître:
lim ex = 0
et
lim xex = 0
et
x→−∞
x→−∞
lim ex = +∞
x→+∞
ex
= +∞
x→+∞ x
lim
eh − 1
=1
h→0
h
lim
2
3.3
Logarithme et exponentielle de base
a ∈ IR∗+
Dénition 5 Soit a ∈ IR∗+ .
x
La fonction logarithme de base a est dénie sur IR∗+ à valeurs dans IR par loga (x) = ln
ln a .
+
La fonction exponentielle de base a est dénie sur IR à valeurs dans IR∗ par expa (x) = ex ln a = ax .
loga et expa sont réciproques l'une de l'autre, ainsi on a:
∀(x, y) ∈ (IR, IR∗+ ), y = expa x ⇔ x = loga y
En particulier: expa 0 = 1 et loga 1 = 0; expa 1 = a et loga a = 1.
Remarque:
• La fonction logarithme népérien est la fonction logarithme de base e.
• La fonction log10 est parfois notée log (en particulier en sciences physiques).
Soit a ∈ IR∗+ , les fonctions loga et expa sont
• de classe C ∞ respectivement sur IR∗+ et sur IR, leurs dérivées nième pour n ∈ IN ∗ sont:
∀x ∈ IR∗+ , (loga x)(n) =
(−1)n+1 (n − 1)!
ln a
xn
∀x ∈ IR, (expa x)(n) = (ln a)n expa x
• strictement monotones respectivement sur IR∗+ et sur IR.
Fonctions logarithme et exponentielle de base a
5
log avec a>1
exp avec a>1
log avec 0<a< 1
exp avec 0<a<1
4
3
y
2
1
0
−1
−2
−4
−3
−2
−1
0
1
x
3
2
3
4
5
4
Fonction puissance d'exposant
α ∈ IR
Dénition 6 La fonction puissance est dénie sur IR∗+ à valeurs dans IR∗+ par pα (x) = xα = eα ln x .
Propriété 7 Soient α, β deux réels, et x, y deux réels strictement positifs, on a:
• xα × y α = (xy)α ;
xα
yα
= ( xy )α ;
• xα × xβ = xα+β ; x−α =
Si α ∈ Q
l , c'est à dire si α =
p
q
; (xα )β = xαβ .
(p ∈ ZZ , q ∈ IN ∗ ), on a:
1
xα
p
∀x > 0, xα = x q =
√
q
1
1
xp = (xp ) q = (x q )p
La fonction pα est
• de classe C ∞ sur IR∗+ ,
Q
α−n
lorsque α ∈ IR\ZZ sa dérivée nième , n ∈ IN , est: (pα (x))(n) = n−1
k=0 (α − k)x
• strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0 sur IR∗+ .
La fonction pα réalise donc une bijection de IR∗+ sur IR∗+ , elle admet donc une fonction réciproque: pα et
p α1 sont réciproques l'une de l'autre, et on a:
∀(x, y) ∈ IR∗+2 , y = xα ⇔ x =
Limites à connaître:
Si α > 0, lim+ xα = 0
et
x→0
Si α < 0, lim+ xα = +∞
y
lim xα = +∞
x→+∞
et
x→0
√
α
lim xα = 0
x→+∞
Fonctions puissances a
10
a<0
a=0
0<a< 1
a=1
a>1
8
y
6
4
2
0
0
2
4
6
x
4
8
10
4.1
Puissance entière
α ∈ ZZ
Considérons α ∈ ZZ∗+ (−α ∈ ZZ∗− ):
• pα est dénie sur IR à valeurs dans IR+ si α est pair et à valeurs dans IR si α est impair.
• p−α est dénie sur IR∗ à valeurs dans IR∗+ si α est pair et à valeurs dans IR∗ si α est impair.
Si α est pair, alors
• pα et p−α sont paires.
• La restriction de pα à IR+ dénit une bijection de IR+ vers IR+ (de réciproque la racine nième ).
Si α est impair, alors
• pα et p−α sont impaires.
• pα réalise une bijection de IR vers IR (de réciproque la racine nième ).
pα et p−α sont de classe C ∞ sur leur domaine de dénition et leurs dérivées nième , n ∈ IN , sont:
α!
α−n
si n ≤ α
(α−n)! x
(pα (x))(n) = (xα )(n) =
0
si n > α
(p−α (x))(n) = (
1 (n)
α!
1
) = (−1)n
α
α+n
x
(α − n)! x
Fonctions puissances a entier
10
a<0 pair
a<0 impair
a>0 pair
a>0 impair
5
y
0
−5
−10
−4
4.2
−2
0
x
2
4
Croissances comparées des fonctions logarithme népérien, exponentielle
et puissance
∀α > 0,
∀β ∈ IR,
lim
x→+∞
ln x
=0
xα
lim xα ln x = 0
x→0+
ex
= +∞
x→+∞ xβ
ex
lim
= +∞
x→+∞ (ln x)β
lim xβ e−x = 0
lim
x→+∞
lim (ln x)β e−x = 0
x→+∞
5
5
Fonctions hyperboliques
Dénition 7 Les fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques sont dénies sur IR par:
ch :
IR
x
→
7
→
ex +e−x
2
;
sh :
IR
x
→
7
→
ex −e−x
2
et
th :
IR
x
→
7
→
Propriété 8 Soient x, y deux réels, on a:
• chx + shx =
• chx − shx =
• ch2 x − sh2 x =
• ch(x + y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y);
• sh(x + y) = sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y).
Les fonctions hyperboliques sont de classe C ∞ sur IR, les dérivées premières sont:
∀x ∈ IR,
(chx)0 =
(shx)0 =
(thx)0 =
La fonction ch est
les fonctions sh et th sont
(restriction de l'étude à IR+ ).
+
Sur IR , les fonctions hyperboliques sont strictement croissantes, les limite en +∞ sont:
lim chx =
lim shx =
x→+∞
x→+∞
lim thx =
x→+∞
Fonctions hyperboliques
5
ch
sh
th
4
3
y
2
1
0
−1
−2
−4
−2
0
x
6
2
4
shx
chx
6
Fonctions trigonométriques (ou circulaire)
6.1
Fonctions directes
Dénition 8 Les fonctions trigonométriques sont les fonctions cosinus, sinus et tangente:
cos :
IR
x
→ [−1, 1]
;
7
→
cos x
IR
x
sin :
→ [−1, 1]
7
→
sin x
et tan :
IR\{ π2 + kπ, k ∈ ZZ}
x
La fonction cotangente est dénie sur IR\{kπ, k ∈ ZZ} par cotanx =
cos x
sin x
→ IR
7→ tan x =
sin x
cos x
.
Propriété 9 Soient x ∈ IR et (a, b) ∈ IR2 , on a:
• cos x =
eix +e−ix
2
et sin x =
eix −e−ix
2i
• cos2 x + sin2 x = 1;
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b;
• sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
• tan(a + b) =
tan a+tan b
1−tan a tan b
.
Les fonctions trigonométriques sont de classe C ∞ sur IR pour cos et sin, et de classe C ∞ sur chaque
intervalle ] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ ZZ pour tan, les dérivées premières sont:
1
cos2 x
Les fonctions cos et sin sont 2π−périodiques, la fonction tan est π−périodique; la fonction cos est paire,
les fonctions sin et tan sont impaires.
(cos x)0 = − sin x,
∀x ∈ IR,
Limite à connaître:
lim
x→0
sin x
= 1;
x
(sin x)0 = cos x,
lim
x→0
Valeurs remarquables:
x
cos x
sin x
tan x
0
1
0
0
(tan x)0 = 1 + tan2 x =
1 − cos x
= 1;
x2 /2
π
√6
3
2
1
√2
3
3
π
√4
2
√2
2
2
π
3
1
√2
3
√2
1
lim
x→0
π
2
0
1
NA
3
tan x
= 1.
x
π
−1
0
0
Fonctions trigonometriques
cos
sin
tan
4
y
2
0
−2
−4
−8
−6
−4
−2
0
x
7
2
4
6
8
6.2
Fonctions réciproques
Dénition 9 La fonction
arccos :
→
cos :
. Ainsi on a:
est bijective et sa bijection réciproque est la fonction
→
∀(x, y) ∈ [−1, 1] × [0, π], y = arccos x ⇔ x = cos y
La fonction arccos est de classe C ∞ sur ] − 1, 1[, sa dérivée première est: ∀x ∈] − 1, 1[, (arccos x)0 =
Dénition 10 La fonction
arcsin :
→
sin :
. Ainsi on a:
est bijective et sa bijection réciproque est la fonction
→
π π
∀(x, y) ∈ [−1, 1] × [− , ], y = arcsin x ⇔ x = sin y
2 2
La fonction arcsin est de classe C ∞ sur ] − 1, 1[, sa dérivée première est: ∀x ∈] − 1, 1[, (arcsin x)0 =
La fonction sin|[− π2 , π2 ] étant impaire, la fonction arcsin est donc
Fonction arcsinus
1.5
sin
arcsin
1
y
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−1.5
Dénition 11 La fonction
arctan :
→
tan :
. Ainsi on a:
−1
→
∀(x, y) ∈ IR×] −
−0.5
0
x
0.5
1
1.5
est bijective et sa bijection réciproque est la fonction
π π
, [, y = arctan x ⇔ x = tan y
2 2
Attention, la fonction arctan n'est pas le quotient des fonctions arcsin et arccos.
La fonction arctan est de classe C ∞ sur IR, sa dérivée première est: ∀x ∈ IR, (arctan x)0 =
La fonction tan|]− π2 , π2 [ étant impaire, la fonction arctan est donc
8
Propriété 10 Egalités pratiques:
• ∀x ∈ IR∗+ , arctan x + arctan x1 = π2 ; ∀x ∈ IR∗− , arctan x + arctan x1 = − π2 ;
√
√
• ∀x ∈ [−1, 1], cos(arcsin x) = 1 − x2 ;
sin(arccos x) = 1 − x2 ;
• ∀x ∈ IR,
cos(arctan x) =
√ 1
;
1+x2
• ∀x ∈ [−1, 1]\{0}, tan(arccos x) =
sin(arctan x) =
√
1−x2
x
√ x
1+x2
;
; ∀x ∈] − 1, 1[, tan(arcsin x) =
√ x
1−x2
.
Valeurs remarquables:
x −1 −
√
3
2
−
√
2
2
− 12 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
x 0
arccos x
arctan x
arcsin x
9
√1
3
1
√
3