Logarithmes et exposants - CEMC

Le Centre d’´ education
en math´ ematiques et en informatique
Ateliers en ligne Euclide
Atelier no1
Logarithmes et exposants
c
2014 UNIVERSITY OF WATERLOO

Ateliers en ligne Euclide Atelier no#1 LOGARITHMES ET EXPOSANTS
BOˆ ITE ` A OUTILS
Soit a,b,xet ydes nombres r´ eels et nun entier non nul. Voici les lois des exposants :
a1
n=n
√a a0= 1 (a6= 0)a−x=1
ax(a6= 0)
axay=ax+yax
ay=ax−y(a6= 0)(ax)y=axy
ax·bx= (ab)xax
bx=a bx
(b6= 0)
De plus, 00n’est pas d´ efini s’il survient dans n’importe laquelle de ces formules.
Soit a,xet ydes nombres r´ eels non nuls. Voici les lois des logarithmes :
loga(xy) = logax+ logaylogax
y= logax−logay
loga(xy) = ylogaxloga(ax) = alogax=xloga1 = 0
logax=1
logxa
logax
logay= logyx
Si f(x) = ax, alors f−1(x) = logax. Il faut savoir tracer la repr´ esentation graphique de fet de f−1.
Voici le graphique de y= 2x, suivi de celui de y= log2x:
x
32
y
1
10
0
8
6
-1
4
2
-2
0
-3
x
302520
y
15
4
10
2
0
5
-2
-4
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EXEMPLES DE PROBL ` EMES
1. Calculer la valeur de x
y, sachant que 2 log5(x−3y) = log5(2x) + log5(2y).
Solution
L’argument de chaque terme logarithmique doit ˆ etre strictement positif. Donc x > 0,y > 0et x > 3y. Or :
2 log5(x−3y) = log5(2x) + log5(2y)
log5(x−3y)2= log5(4xy)
Puisqu’une fonction logarithmique est croissante, l’´ egalit´ e pr´ ec´ edente indique que les arguments sont ´ egaux.
Donc : (x−3y)2= 4xy
x2−6xy + 9y2= 4xy
x2−10xy + 9y2= 0
(x−y)(x−9y)=0
Donc x−y= 0 ou x−9y= 0, d’o` ux
y= 1 ou x y= 9. Or d’apr`
es les restrictions, x
y>3. Donc x y= 9.
2. D´ eterminer toutes les solutions de l’´ equation 9(7k+ 7k+2)=5m+3 + 5m,met k´ etant des entiers.
Solution
On factorise chaque membre de l’´ equation, ce qui donne :
9(1 + 72)7k= 5m(53+ 1)
32·2·52·7k= 5m·2·32·7
Puisque chaque membre de l’´ equation est un entier et que la factorisation premi` ere d’un nombre est unique,
alors la seule solution est m= 2 et k= 1.
3. D´ eterminer les points d’intersection des courbes d´ efinies par y= log10(x−2) et y= 1 −log10(x+ 1).
Solution
Puisque l’argument de chaque terme logarithmique doit ˆ etre strictement positif, alors x−2>0et x+ 1 >0,
d’o` ux > 2. Or :
log10(x−2) = 1 −log10(x+ 1)
log10(x−2) + log10(x+ 1) = 1
log10[(x−2)(x+ 1)] = 1
(x−2)(x+ 1) = 10
x2−x−2 = 10
x2−x−12 = 0
(x−4)(x+ 3) = 0
Donc x= 4 ou x=−3. Cette derni` ere est rejet´ ee, puisque l’on doit avoir x > 2. Donc x= 4. Le point d’inter-
section est (4,log10 2), ou (4,1−log10 5). Puisque log10 2 + log10 5=1, ces deux points sont identiques.
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4. R´ esoudre l’´ equation log2(9 −2x)=3−x.
Solution
Puisque l’argument d’un logarithme doit ˆ etre strictement positif, alors 9>2x.
log2(9 −2x)=3−x
(9 −2x)=23−x
(9 −2x) = 8
2x
On reporte y= 2xdans cette ´ equation pour obtenir :
9−y=8
y
y2−9y+ 8 = 0
(y−1)(y−8) = 0
Donc y= 1 ou y= 8. On reporte ces valeurs dans l’´ equation y= 2xpour obtenir x= 0 ou x= 3. Puisque
chacune de ces valeurs satisfait ` a la restriction, les solutions sont x= 0 et x= 3.
5. La repr´ esentation graphique de y=mxpasse aux points (2,5) et (5, n). Quelle est la valeur de mn ?
Solution
Puisque la courbe passe par ces points, leurs coordonn´ ees v´ erifient l’´ equation. Donc m2= 5 et n=m5. Donc :
m=±√5
n= (±√5)5
mn = (√5)6
mn = 125
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TROUSSE DE PROBL ` EMES
1. D´ eterminer les valeurs de xpour lesquelles logx2 + logx4 + logx8=1.
2. D´ eterminer les valeurs de xpour lesquelles 122x+1 = 23x+7 ·33x−4.
3. D´ eterminer la somme de la s´ erie suivante :
log10
3
2+ log10
4
3+ log10
5
4+··· + log10
200
199
4. D´ eterminer les valeurs de xet de ypour lesquelles x3y5= 211 ·313 et x
y2=1 27.
5. Soit log83 = k. Exprimer log818 en fonction de k.
6. D´ eterminer le point d’intersection des courbes d´ efinies par y= log2(2x)et y= log4x.
7. Soit A(x1, y1)et B(x2, y2)deux points sur la courbe repr´ esentative de y= logax. On consid` ere une droite
horizontale qui passe au milieu du segment AB. Cette droite coupe la courbe au point C(x3, y3). D´ emontrer
que (x3)2=x1x2.
8. La courbe rep´ esentative de y=axrpasse aux points (2,1) et (32,4). D´ eterminer la valeur de r.
9. Soit 2x+3 + 2x= 3y+2 −3y,xet y´ etant des entiers. D´ eterminer les valeurs de xet de y.
10. Soit f(x)=24x−2. D´ eterminer une expression simplif´ ee pour f(x)·f(1 −x).
11. D´ eterminer toutes les valeurs de xpour lesquelles log5(x−2) + log5(x−6) = 2.
12. D´ emontrer que trois nombres strictement positifs a,bet cforment une suite g´ eom´ etrique si et seulement si
logxa,logxbet logxcforment une suite arithm´ etique.
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