Chute libre avec frottement - Gilles Auriol

Chute libre avec frottement
Gilles Auriol
[email protected] — http ://auriolg.free.fr
On considère un objet en chute libre avec frottement. L’objet est alors soumis à trois forces :
→
−
−→
→
−
son poids P , la force de frottement F a et la poussée d’Archimède Π due à l’air. La relation
→
−
→
− →
− −→
fondamentale de la dynamique s’écrit : m a = Π + P + F a soit, en projetant sur un axe vertical
F ay
Πy
+g +
. Ceci peut encore
(Oy) avec des notations évidentes, may = Πy + mg + F ay ou ay =
m
m
F ay
Πy
s’écrire ay = g 0 +
puisque
+ g ne varie pas.
m
m
On propose le modèle suivant F ay = −αv 2 , où v est la norme du vecteur vitesse et α une
dv
, donc v vérifie l’équation différentielle :
constante. De plus ay =
dt
dv
= g 0 − kv 2
dt
avec k =
α
m
Une méthode numérique permet de s’apercevoir que ce modèle est quasiment parfait. Résolvons
analytiquement cette équation, dite de Ricatti (on l’écrit y 0 + ky 2 − g 0 = 0).
Pour cela il faut une solution particulière. On peut par exemple chercher la vitesse limite.
Elle r
sera atteinte quandrl’accélération sera nulle, c’est-à-dire quand y 0 = 0, on en tire ky 2 = g 0 et
g0
g0
. Posons y0 =
. On vérifie sans peine que y0 est solution de l’équation.
y=
k
k
Faisons le changement de variables Y = y − y0 , soit y = Y + y0 , l’équation donne
(Y + y0 )0 + k(Y + y0 )2 − g 0 = 0
soit
Y 0 + kY 2 + 2ky0 Y + ky02 − g 0 = 0
mais ky02 − g 0 = 0, et l’équation prend alors la forme
Y 0 + 2ky0 Y + kY 2 = 0,
et en divisant par Y 2 (il faudrait s’assurer que Y ne prend jamais la valeur 0 mais bon...),
1
Y0
+ 2ky0 + k = 0.
2
Y
Y
Pour résoudre cette nouvelle équation, dite de Bernouilli, on effectue le changement de
1
Y0
variable z = . Il en résulte que z 0 = − 2 et l’équation se simplifie encore. Il reste maintenant :
Y
Y
−z 0 + 2ky0 z + k = 0 soit z 0 = 2ky0 z + k.
Cette équation différentielle linéaire du premier ordre admet pour solutions
z = Ce2ky0 t −
1
2Cy0 e2ky0 t − 1
=
2y0
2y0
1
avec c ∈ R
Et en remontant,
Y =
2y0
1
=
z
2Cy0 e2ky0 t − 1
puis
y = y0 + Y = y0 +
2y0
2Cy0 e2ky0 t + 1
=
y
0
2Cy0 e2ky0 t − 1
2Cy0 e2ky0 t − 1
Pour déterminer C, supposons que l’objet soit lâché sans vitesse initiale, c’est-à-dire y = 0 à
t = 0. Cela conduit à
1
,
2Cy0 + 1 = 0 ⇐⇒ C = −
2y0
donc en remplaçant C par sa valeur :
y = y0
e2ky0 t − 1
e2ky0 t + 1
A l’aide de la fonction tangente hyperbolique, l’expression n’est que plus belle :
y = y0 th(ky0 t)
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=63078&t=63078
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