Chute libre avec frottement - Gilles Auriol

Chute libre avec frottement
Gilles Auriol
[email protected] — http ://auriolg.free.fr
On consid`ere un objet en chute libre avec frottement. L’objet est alors soumis `a trois forces :
son poids −→ P, la force de frottement −→ F a et la pouss´ee d’Archim`ede −→ Π due `a l’air. La relation
fondamentale de la dynamique s’´ecrit : m−→ a=−→ Π + −→ P+−→ F a soit, en projetant sur un axe vertical
(Oy) avec des notations ´evidentes, may= Πy+mg +F ayou ay=Πy
m+g+F ay m. Ceci peut encore
s’´ecrire ay=g0+F ay
mpuisque Πy m+gne varie pas.
On propose le mod`ele suivant F ay=−αv2, o`u vest la norme du vecteur vitesse et αune
constante. De plus ay=dv
dt, donc vv´erifie l’´equation diff´erentielle :
dv
dt=g0−kv2avec k=α m
Une m´ethode num´erique permet de s’apercevoir que ce mod`ele est quasiment parfait. R´esolvons
analytiquement cette ´equation, dite de Ricatti (on l’´ecrit y0+ky2−g0= 0).
Pour cela il faut une solution particuli`ere. On peut par exemple chercher la vitesse limite.
Elle sera atteinte quand l’acc´el´eration sera nulle, c’est-`a-dire quand y0= 0, on en tire ky2=g0et
y=rg0
k. Posons y0=rg0 k. On v´erifie sans peine que y0est solution de l’´equation.
Faisons le changement de variables Y=y−y0, soit y=Y+y0, l’´equation donne
(Y+y0)0+k(Y+y0)2−g0= 0
soit
Y0+kY 2+ 2ky0Y+ky2
0−g0= 0
mais ky2
0−g0= 0, et l’´equation prend alors la forme
Y0+ 2ky0Y+kY 2= 0,
et en divisant par Y2(il faudrait s’assurer que Yne prend jamais la valeur 0 mais bon...),
Y0
Y2+ 2ky0
1
Y+k= 0.
Pour r´esoudre cette nouvelle ´equation, dite de Bernouilli, on effectue le changement de
variable z=1
Y. Il en r´esulte que z0=−Y0 Y2et l’´equation se simplifie encore. Il reste maintenant :
−z0+ 2ky0z+k= 0 soit z0= 2ky0z+k.
Cette ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre admet pour solutions
z=Ce2ky0t−1
2y0
=2Cy0e2ky0t−1
2y0
avec c∈R
1

Et en remontant,
Y=1
z=2y0 2Cy0e2ky0t−1
puis
y=y0+Y=y0+2y0
2Cy0e2ky0t−1=y0
2Cy0e2ky0t+ 1
2Cy0e2ky0t−1
Pour d´eterminer C, supposons que l’objet soit lˆach´e sans vitesse initiale, c’est-`a-dire y= 0 `a
t= 0. Cela conduit `a
2Cy0+ 1 = 0 ⇐⇒ C=−1
2y0
,
donc en rempla¸cant Cpar sa valeur :
y=y0
e2ky0t−1
e2ky0t+ 1
A l’aide de la fonction tangente hyperbolique, l’expression n’est que plus belle :
y=y0th(ky0t)
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=63078&t=63078
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