´Equation du second degré `a coefficients réels

I.U.T. de Brest
Département GMP
Connaissances de base
Équation du second degré à coefficients réels
1. Formules à connaı̂tre
On considère trois nombres réels a, b et c tels que a 6= 0.
On veut résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0, c’est-à-dire trouver les nombres x, réels ou complexes, qui
vérifient cette équation.
Discriminant ∆ = b2 − 4ac.
Si ∆ > 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions réelles :
√
√
−b − ∆
−b + ∆
et
x2 =
x1 =
2a
2a
Si ∆ = 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet une solution réelle double :
x1 = x 2 =
−b
2a
Si ∆ < 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
x1 =
et
x2 =
2a
2a
Remarque. Les formules données pour ∆ > 0 sont aussi valables pour ∆ = 0. Il est donc inutile d’apprendre
par cœur le cas ∆ = 0.
Factorisation. Dans tous les cas,
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
1
2. Exemples
Exemple 1. Résolution de l’équation 2x2 + 5x − 3 = 0.
Discriminant ∆ = 52 − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49 = 72 > 0.
L’équation 2x2 + 5x − 3 = 0 admet donc deux solutions réelles :
x1 =
Remarque. On a
1
−5 + 7
=
2×2
2
et
x2 =
1
2x + 5x − 3 = 2(x − (−3)) x −
2
2
−5 − 7
= −3
2×2
1
= 2(x + 3) x −
2
Exemple 2. Résolution de l’équation 9x2 − 6x + 1 = 0.
Discriminant ∆ = (−6)2 − 4 × 9 × 1 = 0.
L’équation 9x2 − 6x + 1 = 0 admet donc une seule solution :
x1 = x 2 =
Remarque. On a
1
6
=
2×9
3
1
9x − 6x + 1 = 9 x −
3
2
2
Exemple 3. Résolution de l’équation x2 − 2x + 2 = 0.
Discriminant ∆ = (−2)2 − 4 × 1 × 2 = −4 < 0.
L’équation x2 − 2x + 2 = 0 admet donc deux solutions complexes conjuguées :
x1 =
2 + 2i
=1+i
2
et
x2 =
2 − 2i
=1−i
2
Remarque. On a
x2 − 2x + 2 = (x − (1 + i))(x − (1 − i)) = (x − 1 − i)(x − 1 + i)
2
3. Interprétation graphique
Notons f la fonction définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c.
La courbe Cf représentant la fonction f dans un repère orthogonal du plan est une parabole.
Rappelons que le sens dans lequel est tournée cette parabole dépend du signe de a. Pour retrouver ce
résultat, il suffit de calculer lim f (x).
x→+∞
a>0
a<0
Donnons maintenant une interprétation graphique du nombre de solutions de l’équation ax2 + bx + c = 0,
c’est-à-dire f (x) = 0. Cela revient à s’intéresser aux éventuels points d’intersection entre la courbe C f et
l’axe des abscisses. Plus précisément :
• Si ∆ > 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions réelles :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
x1 =
et
x2 =
2a
2a
Donc la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points.
a > 0 et ∆ > 0
a < 0 et ∆ > 0
x2
x2
x1
x1
x
x
En particulier on constate que ax2 + bx + c est du signe de a pour tout x à l’extérieur des racines.
3
• Si ∆ = 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet une solution réelle double :
−b
2a
Donc la parabole coupe l’axe des abscisses en un seul point, qui ne peut être que le sommet de la parabole.
x1 = x 2 =
a > 0 et ∆ = 0
a < 0 et ∆ = 0
x1
x1
x
x
En particulier on constate que ax2 + bx + c est du signe de a pour tout réel x.
• Si ∆ < 0, alors l’équation ax2 + bx + c = 0 admet deux solutions complexes conjuguées :
√
√
−b + i −∆
−b − i −∆
x1 =
et
x2 =
2a
2a
Ces deux solutions ne sont pas réelles, ce qui signifie que la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.
a > 0 et ∆ < 0
a < 0 et ∆ < 0
x
x
En particulier on constate que ax2 + bx + c est du signe de a pour tout réel x.
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4. Application à la résolution d’inéquations
On reprend les exemples vus à la section 2, auxquels on applique les résultats vus à la section 3.
Exemple 1. Résolution de l’inéquation 2x2 + 5x − 3 < 0.
1
On a vu que l’équation 2x2 + 5x − 3 = 0 admet deux solutions réelles x1 = et x2 = −3. Par conséquent,
2
puisqu’ici a = 2 > 0,
1
2x2 + 5x − 3 < 0 ⇐⇒ −3 < x <
2
1
Remarque. On a aussi vu que 2x2 + 5x − 3 = 2(x + 3) x −
. On pourrait donc déterminer le signe de
2
2x2 + 5x − 3 à l’aide d’un tableau de signes.
Exemple 2. Résolution de l’inéquation 9x2 − 6x + 1 > 0.
1
On a vu que l’équation 9x2 − 6x + 1 = 0 admet une seule solution x1 = x2 = . Comme a = 9 > 0, on en
3
1
2
déduit que 9x − 6x + 1 > 0 pour tout réel x 6= .
3
2
1
Remarque. On a aussi 9x2 − 6x + 1 = 9 x −
qui permet de retrouver le résultat précédent.
3
Exemple 3. Résolution de l’inéquation x2 − 2x + 2 > 0.
On a vu que l’équation x2 − 2x + 2 = 0 admet deux solutions complexes conjuguées (non réelles). Comme
a = 1 > 0, on peut affirmer que x2 − 2x + 2 > 0 pour tout réel x.
Remarque. On a x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1 qui permet de retrouver que x2 − 2x + 2 > 0 pour tout réel x.
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