´Equation du second degré `a coefficients réels

I.U.T. de Brest D´ epartement GMP
Connaissances de base
´
Equation du second degr´e `a coefficients r´eels

1. Formules `a connaˆıtre
On consid`ere trois nombres r´eels a,bet ctels que a6= 0.
On veut r´esoudre l’´equation ax2+bx +c= 0, c’est-`a-dire trouver les nombres x, r´eels ou complexes, qui
v´erifient cette ´equation.
Discriminant ∆ = b2−4ac.
Si ∆ >0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet deux solutions r´eelles :
x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a
Si ∆ = 0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet une solution r´eelle double :
x1=x2=−b
2a
Si ∆ <0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet deux solutions complexes conjugu´ees :
x1=−b+i√−∆
2aet x2=−b−i√−∆ 2a
Remarque. Les formules donn´ees pour ∆ >0 sont aussi valables pour ∆ = 0. Il est donc inutile d’apprendre
par cœur le cas ∆ = 0.
Factorisation. Dans tous les cas,
ax2+bx +c=a(x−x1)(x−x2)
1

2. Exemples
Exemple 1. R´esolution de l’´equation 2x2+ 5x−3 = 0.
Discriminant ∆ = 52−4×2×(−3) = 25 + 24 = 49 = 72>0.
L’´equation 2x2+ 5x−3 = 0 admet donc deux solutions r´eelles :
x1=−5 + 7
2×2=1 2et x2=−5−7 2×2=−3
Remarque. On a
2x2+ 5x−3 = 2(x−(−3)) x−1
2= 2(x+ 3) x−1 2
Exemple 2. R´esolution de l’´equation 9x2−6x+ 1 = 0.
Discriminant ∆ = (−6)2−4×9×1 = 0.
L’´equation 9x2−6x+ 1 = 0 admet donc une seule solution :
x1=x2=6
2×9=1 3
Remarque. On a
9x2−6x+ 1 = 9 x−1
32
Exemple 3. R´esolution de l’´equation x2−2x+ 2 = 0.
Discriminant ∆ = (−2)2−4×1×2 = −4<0.
L’´equation x2−2x+ 2 = 0 admet donc deux solutions complexes conjugu´ees :
x1=2 + 2i
2= 1 + iet x2=2−2i 2= 1 −i
Remarque. On a
x2−2x+ 2 = (x−(1 + i))(x−(1 −i)) = (x−1−i)(x−1 + i)
2

3. Interpr´etation graphique
Notons fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = ax2+bx +c.
La courbe Cfrepr´esentant la fonction fdans un rep`ere orthogonal du plan est une parabole.
Rappelons que le sens dans lequel est tourn´ee cette parabole d´epend du signe de a. Pour retrouver ce
r´esultat, il suffit de calculer lim
x→+∞
f(x).
a < 0a > 0
Donnons maintenant une interpr´etation graphique du nombre de solutions de l’´equation ax2+bx +c= 0,
c’est-`a-dire f(x) = 0. Cela revient `a s’int´eresser aux ´eventuels points d’intersection entre la courbe Cfet
l’axe des abscisses. Plus pr´ecis´ement :
•Si ∆ >0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet deux solutions r´eelles :
x1=−b+√∆
2aet x2=−b−√∆ 2a
Donc la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points.
a < 0 et ∆ >0a > 0 et ∆ >0
x
x1 x2
x
x1 x2
En particulier on constate que ax2+bx +cest du signe de apour tout x`a l’ext´erieur des racines.
3

•Si ∆ = 0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet une solution r´eelle double :
x1=x2=−b
2a
Donc la parabole coupe l’axe des abscisses en un seul point, qui ne peut ˆetre que le sommet de la parabole.
a < 0 et ∆ = 0a > 0 et ∆ = 0
x
x1
x
x1
En particulier on constate que ax2+bx +cest du signe de apour tout r´eel x.
•Si ∆ <0, alors l’´equation ax2+bx +c= 0 admet deux solutions complexes conjugu´ees :
x1=−b+i√−∆
2aet x2=−b−i√−∆ 2a
Ces deux solutions ne sont pas r´eelles, ce qui signifie que la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.
a < 0 et ∆ <0a > 0 et ∆ <0
x
x
En particulier on constate que ax2+bx +cest du signe de apour tout r´eel x.
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