L1-Mathématiques générales

Cours L1, Mathématiques Générales 1
Pierre Puiseux

Université de Pau et des Pays de l’Adour
19 octobre 2012

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Table des matières
Chapitre 1. Fonctions, applications 5
1.1. Vocabulaire, rappels 5
1.1.1. Ensembles, quantificateurs 5
1.1.2. Un peu de logique élémentaire 6
1.2. Fonctions et applications 6
1.2.1. Relation binaire 6
1.2.2. Fonctions 7
1.2.3. Domaine de définition 8
1.2.4. Application 8
1.3. Injectivité, surjectivité 9
1.4. Fonctions composées, inverse d’une fonction 12
1.4.1. Fonctions composées 12
1.4.2. Application réciproque 14
Chapitre 2. Nombres complexes 17
2.1. Le corps des nombres complexes 17
2.1.1. Définitions 17
2.1.2. L’ensemble Cest un corps 18
2.1.3. Conjugué et module d’un complexe 19
2.1.4. Forme exponentielle et trigonométrique d’un nombre complexe 20
2.2. Résolution d’équations dans C23
2.2.1. Équations du second degré dans C23
2.2.2. Racines n-ièmes d’un nombre complexe 25
2.3. Applications trigonométriques des formules d’Euler et de Moivre 27
2.3.1. Expression de cos nx et sin nx en fonction de cos xet sin x27
2.3.2. Linéarisation de cosnxet sinnx28
2.3.3. Somme de cosinus et de sinus 28
2.3.4. Expression de tan nx en fonction de tan x29
2.4. Applications à la géométrie 29
Exercices 29
Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles 33
3.1. Polynômes 33
3.1.1. Définitions 33
3.1.2. Dérivées d’un polynôme 34
3.1.3. Racines d’un polynôme 34
3.1.4. Formule de Taylor 34
3.1.5. Divisibilité et racines 35
3.1.6. Factorisation sur Ret C36
3.1.7. Division suivant les puissances croissantes 37
3.2. Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments
simples 37
3.2.1. La forme générale de la décomposition 37
3.2.2. Partie entière de F=A
B38
3.2.3. Factoriser B38
Pierre Puiseux

4 Chapitre 0. Table des matières
3.2.4. Simplifier la fraction 38
3.2.5. Si Fest paire ou impaire 38
3.2.6. Les différentes méthodes de calcul des coefficients 38
Chapitre 4. Matrices 41
4.1. Définitions et notations 41
4.1.1. Matrices 41
4.1.2. Matrices carrées 42
4.2. Opérations sur les matrices 43
4.2.1. Addition de deux matrices 43
4.2.2. Produit de deux matrices 43
4.2.3. Produit d’une matrice par un scalaire 45
4.3. Propriétés 45
4.3.1. Distributivité 45
4.3.2. Associativité 45
4.3.3. Commutativité 45
4.3.4. Elément neutre pour l’addition 0m,n 45
4.3.5. Elément neutre pour la multiplication : Im,n 46
4.3.6. Divers 46
4.3.7. L’espace vectoriel (Km,n,+, .)46
4.3.8. L’anneau des matrices carrées d’ordre n46
4.3.9. Matrice d’une application linéaire 46
4.3.10. Matrice d’un système linéaire 47
4.4. Inverse d’une matrice 47
Bibliographie 51

1.1 Vocabulaire, rappels 5
CHAPITRE 1
Fonctions, applications
19 octobre 2012
1.1. Vocabulaire, rappels
1.1.1. Ensembles, quantificateurs. Un ensemble est une collection d’objets mathéma-
tiques...
Exemple 1.1. A={a, b, c, e}, E ={2,3,4,5}={x∈R,26x65}
• ∅ désigne l’ensemble vide.
•x∈Ase lit xappartient à l’ensemble A, ou xest élément de l’ensemble A
•x/∈Ase lit xn’appartient pas à l’ensemble A, ou xn’est pas élément de l’ensemble A
• ∀x∈E, P (x)se lit : pour tout (ou bien quel que soit)xdans l’ensemble E, la propriété P(x)
est vérifiée. Par exemple E={6n, n ∈N}la propriété ∀x∈E,xest pair est une propriété
vraie.
Pour démontrer que ∀x∈E, P (x), on prend un élément xquelconque de E, on
démontre qu’il vérifie la propriété P. Autrement dit, on ne prend pas de xen
particulier. Par exemple soit E={6n, n ∈Z}, pour montrer la propriété ∀x∈
E,xest pair, on procède ainsi : soit un élément quelconque de E, appelons-le
w, (on peut aussi l’appeler Georges,y,s12 ou x, peu importe) alors w= 6n=
2×3nest multiple de 2, donc west pair. Donc la propriété ∀x∈E,xest pair
est vraie.
• ∃x∈E, P (x)se lit : il existe un élément xdans l’ensemble Evérifiant la propriété P(x). Par
exemple dans l’ensemble Edes nombres pairs, il existe des multiples de 3, ce que l’on écrit :
E={2n, n ∈N},∃m∈Etel que est un multiple de 3par exemple m= 6 est un tel élément.
Pour démontrer que ∃x∈E, P (x), on exhibe un élément xparticulier de E,
qui vérifie bien sûr la propriété P. Par exemple soit E={6n, n ∈Z}, pour
montrer la propriété ∃x∈E,xest multiple de 7, on procède ainsi : hum....,
voyons, peut-on trouver un élément de Equi soit multiple de 7? ..... Ah, oui,
bien sûr 42 = 6 ×7est dans Eet multiple de 7. La propriété ∃x∈E,xest
multiple de 7est donc vraie.
•Eet Fsont deux ensembles, E⊂Fse lit Eest inclus dans Fou bien Eest un sous ensemble
de F, ce qui signifie que tout élément de Eest aussi dans F.
Pour démontrer que E⊂F, on prend un élément quelconque de E, on dé-
montre qu’il est dans F. Autrement dit, on montre la propriété : ∀x∈E, x ∈F,
qui peut également s’énoncer :∀x, x ∈E=⇒x∈F
•E=Fsignifie que les ensembles Eet Fsont égaux, c’est à dire qu’ils ont les mêmes éléments,
c’est à dire vérifient la double inclusion :E⊂Fet E⊂F.
Pour démontrer que deux ensembles Eet Fsont égaux on procède toujours
par double inclusion.
Exemple 1.2. E={2,3,4,5}et F={n∈N,26n65}On a bien E=Fcar :
• ∀x∈Eon a : x∈Net 26x65donc x∈F, ce qui prouve E⊂F
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