L1-Mathématiques générales

Cours L1, Mathématiques Générales 1
Pierre Puiseux
Université de Pau et des Pays de l’Adour
19 octobre 2012
3
Table des matières
Chapitre 1. Fonctions, applications
1.1. Vocabulaire, rappels
1.1.1. Ensembles, quantiﬁcateurs
1.1.2. Un peu de logique élémentaire
1.2. Fonctions et applications
1.2.1. Relation binaire
1.2.2. Fonctions
1.2.3. Domaine de déﬁnition
1.2.4. Application
1.3. Injectivité, surjectivité
1.4. Fonctions composées, inverse d’une fonction
1.4.1. Fonctions composées
1.4.2. Application réciproque
5
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6
6
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7
8
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12
12
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Chapitre 2. Nombres complexes
2.1. Le corps des nombres complexes
2.1.1. Déﬁnitions
2.1.2. L’ensemble C est un corps
2.1.3. Conjugué et module d’un complexe
2.1.4. Forme exponentielle et trigonométrique d’un nombre complexe
2.2. Résolution d’équations dans C
2.2.1. Équations du second degré dans C
2.2.2. Racines n-ièmes d’un nombre complexe
2.3. Applications trigonométriques des formules d’Euler et de Moivre
2.3.1. Expression de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x
2.3.2. Linéarisation de cosn x et sinn x
2.3.3. Somme de cosinus et de sinus
2.3.4. Expression de tan nx en fonction de tan x
2.4. Applications à la géométrie
Exercices
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Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles
3.1. Polynômes
3.1.1. Déﬁnitions
3.1.2. Dérivées d’un polynôme
3.1.3. Racines d’un polynôme
3.1.4. Formule de Taylor
3.1.5. Divisibilité et racines
3.1.6. Factorisation sur R et C
3.1.7. Division suivant les puissances croissantes
3.2. Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments
simples
3.2.1. La forme générale de la décomposition
A
3.2.2. Partie entière de F = B
3.2.3. Factoriser B
33
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Chapitre 0. Table des matières
3.2.4. Simpliﬁer la fraction
3.2.5. Si F est paire ou impaire
3.2.6. Les diﬀérentes méthodes de calcul des coeﬃcients
38
38
38
Chapitre 4. Matrices
4.1. Déﬁnitions et notations
4.1.1. Matrices
4.1.2. Matrices carrées
4.2. Opérations sur les matrices
4.2.1. Addition de deux matrices
4.2.2. Produit de deux matrices
4.2.3. Produit d’une matrice par un scalaire
4.3. Propriétés
4.3.1. Distributivité
4.3.2. Associativité
4.3.3. Commutativité
4.3.4. Elément neutre pour l’addition 0m,n
4.3.5. Elément neutre pour la multiplication : Im,n
4.3.6. Divers
4.3.7. L’espace vectoriel (Km,n , +, .)
4.3.8. L’anneau des matrices carrées d’ordre n
4.3.9. Matrice d’une application linéaire
4.3.10. Matrice d’un système linéaire
4.4. Inverse d’une matrice
41
41
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Bibliographie
51
1.1 Vocabulaire, rappels
5
CHAPITRE 1
Fonctions, applications
19 octobre 2012
1.1. Vocabulaire, rappels
1.1.1. Ensembles, quantiﬁcateurs. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques...
Exemple 1.1. A = {a, b, c, e} , E = {2, 3, 4, 5} = {x ∈ R, 2 6 x 6 5}
•
•
•
•
∅ désigne l’ensemble vide.
x ∈ A se lit x appartient à l’ensemble A, ou x est élément de l’ensemble A
x∈
/ A se lit x n’appartient pas à l’ensemble A, ou x n’est pas élément de l’ensemble A
∀x ∈ E, P (x) se lit : pour tout (ou bien quel que soit) x dans l’ensemble E, la propriété P (x)
est vériﬁée. Par exemple E = {6n, n ∈ N} la propriété ∀x ∈ E, x est pair est une propriété
vraie.
Pour démontrer que ∀x ∈ E, P (x), on prend un élément x quelconque de E, on
démontre qu’il vériﬁe la propriété P . Autrement dit, on ne prend pas de x en
particulier. Par exemple soit E = {6n, n ∈ Z}, pour montrer la propriété ∀x ∈
E, x est pair, on procède ainsi : soit un élément quelconque de E, appelons-le
w, (on peut aussi l’appeler Georges, y,s12 ou x, peu importe) alors w = 6n =
2 × 3n est multiple de 2, donc w est pair. Donc la propriété ∀x ∈ E, x est pair
est vraie.
• ∃x ∈ E, P (x) se lit : il existe un élément x dans l’ensemble E vériﬁant la propriété P (x). Par
exemple dans l’ensemble E des nombres pairs, il existe des multiples de 3, ce que l’on écrit :
E = {2n, n ∈ N} , ∃m ∈ E tel que est un multiple de 3 par exemple m = 6 est un tel élément.
Pour démontrer que ∃x ∈ E, P (x), on exhibe un élément x particulier de E,
qui vériﬁe bien sûr la propriété P . Par exemple soit E = {6n, n ∈ Z}, pour
montrer la propriété ∃x ∈ E, x est multiple de 7, on procède ainsi : hum....,
voyons, peut-on trouver un élément de E qui soit multiple de 7 ? ..... Ah, oui,
bien sûr 42 = 6 × 7 est dans E et multiple de 7. La propriété ∃x ∈ E, x est
multiple de 7 est donc vraie.
• E et F sont deux ensembles, E ⊂ F se lit E est inclus dans F ou bien E est un sous ensemble
de F , ce qui signiﬁe que tout élément de E est aussi dans F .
Pour démontrer que E ⊂ F , on prend un élément quelconque de E, on démontre qu’il est dans F . Autrement dit, on montre la propriété : ∀x ∈ E, x ∈ F ,
qui peut également s’énoncer :∀x, x ∈ E =⇒ x ∈ F
• E = F signiﬁe que les ensembles E et F sont égaux, c’est à dire qu’ils ont les mêmes éléments,
c’est à dire vériﬁent la double inclusion : E ⊂ F et E ⊂ F .
Pour démontrer que deux ensembles E et F sont égaux on procède toujours
par double inclusion.
Exemple 1.2. E = {2, 3, 4, 5} et F = {n ∈ N, 2 6 n 6 5} On a bien E = F car :
• ∀x ∈ E on a : x ∈ N et 2 6 x 6 5 donc x ∈ F , ce qui prouve E ⊂ F
Pierre Puiseux
6
Chapitre 1. Fonctions, applications
• ∀y ∈ F on a y est un nombre entier compris entre 2 et 5 donc y = 2, ou y = 3, ou y = 4, ou
y = 5, dans tous les cas y est élément de E ce qui démontre que F ⊂ E.
Déﬁnition 1.1. Produit cartésien de deux ensembles : E et F étant deux ensembles, le produit
cartésien de E par F est l’ensemble des couples (x, y) formés d’un élément x de E et d’un élément
y de F . Il est noté E × F .
E×F
=
{(x, y) , x ∈ E, y ∈ F }
Exemple 1.3. E = {1, 2}, alors E×N = {(1, 0) , (2, 0) , (1, 1) , (2, 1) , (1, 2) , (2, 2) , . . . , (1, 100) , (2, 100) , . . . }
1.1.2. Un peu de logique élémentaire. P et Q sont des propriétés mathématiques
• P ⇒ Q se lit : P implique Q ce qui signiﬁe si la propriété P est vrai, alors Q l’est également.
• Démontrer P ⇒ Q, est équivalent à démontrer nonQ ⇒ nonP (raisonnement par l’absurde).
Par exemple P (n) est la propriété n est premier, Q (n) est la propriété n est impair. Pour
montrer que ∀n ∈ N, P (n) ⇒ Q (n), on raisonne par l’absurde : soit n ∈ N. Supposons que n
n’est pas impair (non Q (n)) alors n est pair donc n est multiple de 2, donc il n’est pas premier
(non P (n)). Et voila !
Démontrer par l’absurde la propriété P ⇒ Q consiste à démontrer la contraposée : non Q ⇒ non P
• Pour démontrer la propriété ∃x ∈ E, P (x) (il existe un x dans E vériﬁant la propriété P (x)),
il faut exhiber un élément x particulier vériﬁant P (x). Par exemple, ∃x ∈ N, x nombre premier
est une proposition vraie car 3 est premier et 3 ∈ N.
Pour démontrer que ∃x ∈ E, P (x), on exhibe un élément x particulier de E,
qui vériﬁe bien sûr la propriété P . Par exemple soit E = {6n, n ∈ Z}, pour
montrer la propriété ∃x ∈ E, x est multiple de 7, on procède ainsi : hum....,
voyons, peut-on trouver un élément de E qui soit multiple de 7 ? ..... Ah, oui,
bien sûr 42 = 6 × 7 est dans E et multiple de 7. La propriété ∃x ∈ E, x est
multiple de 7 est donc vraie.
• Démontrer que la proposition : (∀x ∈ E, P (x)) est fausse, équivaut à démontrer que la proposition suivante est vraie : (∃x ∈ E, tel que P (x) est fausse). En d’autres termes :
La négation de « tous les éléments de E vériﬁent la propriété P » est : « il
existe un élément de E ne vériﬁant pas la propriété P . »
non (∀x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ ∃x0 ∈ E, non (P (x0 ))
Par exemple : tous les entiers sont pairs (∀n ∈ N, n est pair) est une proposition fausse car
3 n’est pas pair, c’est à dire : il existe un entier (n = 3) qui n’est pas pair.
• Démontrer que la proposition : (∃x ∈ E, P (x)) est fausse, équivaut à démontrer que la proposition suivante est vraie : (∀x ∈ E, P (x) est faux). En d’autres termes :
La négation de : « il existe un élément de E vériﬁant la propriété P » est :
« tous les éléments de E vériﬁent non P » ou « aucun élément de E ne vériﬁe
P ».
non (∃x ∈ E, P (x)) ⇐⇒ ∀x ∈ E, non (P (x))
Par exemple, la négation de la propriété P : « il existe un entier dans l’intervalle ]0, 1[ »
est « ∀x ∈ ]0, 1[ , x ∈
/N»
1.2. Fonctions et applications
1.2.1. Relation binaire. Soient E et F deux ensembles.
On appelle graphe de E vers F toute partie de E × F .
Soit G un graphe de E × F . On déﬁnit la relation binaire R associée à G par : x ∈ E est en
relation avec y ∈ F si et seulement si (x, y) ∈ G, auquel cas, on note xRy.
1.2 Fonctions et applications
7
G est le graphe de la relation R et pourra être noté Gr (R). Et on a la propriété
Gr (R)
{(x, y) ∈ E × F, xRy}
=
Exemple 1.4.
• E = F = R et xRy ⇐⇒ y = x2 est une relation binaire.
– 1R1, −1R1 sont vrais et
– 2R2 est faux
– Le graphe de la relation R est la parabole d’équation y = x2
• E = F = R et xRy ⇐⇒ y = x1 est une relation binaire sur R × R, dont le graphe peut être
représenté par l’hyperbole d’équation y = x1
• E = F = R et xRy ⇐⇒ y 6 x est une relation binaire dont le graphe est le demi-plan situé
en dessous de la droite d’équation y = x
1.2.2. Fonctions.
Déﬁnition 1.2. Une fonction déﬁnie d’un ensemble E vers un ensemble F est un triplet f =
(E, R, F ), où R est une relation binaire de E vers F telle que tout élément x de E est en relation
avec un ou zéro élément y de F . S’il existe, y est noté f (x). Une telle fonction est notée
→
7
→
f :E
x
F
y = f (x)
ou parfois aussi de manière plus synthétique f : (x ∈ E) 7→ (y ∈ F ).
Exemple 1.5.
• Soit R la relation déﬁnie par xRy ssi x + y est pair. L’écriture
f :N
x
→ N
7→ y tel que xRy
ne déﬁnit pas une fonction car x = 2 est en relation avec plusieurs entiers : 2R2, 2R4
1
• Par contre la relation xRy ssi y = 1−x
, permet d’écrire
f :R
→
R
1
1−x
qui déﬁnit une fonction car pour x ∈ R il existe un ou zéro élément y ∈ R tel que xRy. On
notera que 1 est en relation avec aucun élément de R.
x
7→
Remarque 1.1.
• Dans une fonction f = (E, R, F ) si l’on change E, R ou F , il s’agit d’une autre fonction. Par
exemple
f :R
→
R
x
7→
1
1−x
n’est pas la même fonction que
f : R \ {1}
→ R
1
1−x
• Pour déﬁnir une fonction, il est donc essentiel de bien déﬁnir les ensembles de départ, d’arrivée
et la relation de la fonction.
x
7→
Déﬁnition 1.3. (Vocabulaire) Soit f = (E, R, F ) une fonction et (x, y) ∈ Gr (f ).
• E est l’ensemble de départ
• F est l’ensemble d’arrivée
8
Chapitre 1. Fonctions, applications
Fig. 1. Fonction et application
• y est l’image (unique) de x, on le note f (x)
• x est un antécédent de y
• L’ensemble des antécédents de y est noté f −1 ({y}) plus généralement, l’ensemble des antécédents d’une partie A ⊂ F est noté f −1 (A). On l’appelle également image réciproque de A par
f
Exemple 1.6. Soit la fonction
f :R
x
→
7
→
R
x2
9 est l’image de 3, R est l’ensemble de départ, et l’ensemble d’arrivée, −3 et 3 sont des antécédants
de 9, et on a {−3, 3} = f −1 ({9}), −2 n’a pas d’antécédent.
1.2.3. Domaine de déﬁnition.
Déﬁnition 1.4. Soit f : E → F une fonction. On appelle domaine de déﬁnition de f le sous
ensemble Df de E constitué des éléments ayant (exactement) une image.
Exemple 1.7. La fonction
f :R
→
R
x
7→
1
1−x
a pour domaine de déﬁnition Df = R \ {1}
1.2.4. Application.
Déﬁnition 1.5. Une fonction f : E → F est une application si et seulement si E ⊂ Df . Ou, de
manière équivalente, f est une application de E vers F ssi tout élément x de E a exactement une
image f (x)
Exemple 1.8. La fonction f : x ∈ R 7→
1
x ∈ R est une application.
1
x
∈ R n’est pas une application tandis que g : x ∈ R∗ 7→
1.3 Injectivité, surjectivité
9
Plus généralement, si l’on sait trouver le domaine de déﬁnition Df d’une fonction f : E → F ,
alors on peut lui associer l’application g : Df → F construite en remplaçant simplement E, par
Df .
1.3. Injectivité, surjectivité
Un premier point de vue : soit f : E → F une fonction et y ∈ F donné. On considére l’équation
{
x∈E
(1)
f (x) = y
et on note ny le nombre de solutions de cette équation.
Déﬁnition 1.6. On dit que f est :
• surjective si ∀y ∈ F, ny ≥ 1
• injective si ∀y ∈ F, ny ≤ 1
• bijective si ∀y ∈ F, ny = 1
Remarque. Il est fondamental de bien comprendre dans cette déﬁnition, que la propriété demandée à ny doit être vraie pour tous les y de F .
Par exemple :
• si un seul ny est égal à 2 alors f n’est pas injective.
• Si l’un des ny est égal à 0, alors f n’est pas surjective.
• Pour que f soit bijective il faut que {ny , y ∈ F } = {1}.
Déﬁnition 1.7. On dit qu’une application f : E → F est une surjection ou est surjective ssi f
vériﬁe l’une des trois propriétés équivalentes :
(1) Tout élément y ∈ F admet au moins un antécédent dans E.
(2) Pour tout élément y ∈ F , l’équation
{
x∈E
f (x) = y
admet au moins une solution
(3) ∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x)
Pour déterminer si une application f : E → F est surjective, on se donne un
élément quelconque y ∈ F et on résoud l’équation
{
x∈E
f (x) = y
où x ∈ E est l’inconnue. S’il y a au moins une solution (éventuellement plus
d’une) pour tous les y, alors f est surjective.
Pour montrer qu’une fonction f n’est pas surjective, il faut exhiber un élément
y0 ∈ F telle que l’équation
{
x∈E
f (x) = y0
n’a pas de solution x ∈ E.
Exemple 1.9.
10
Chapitre 1. Fonctions, applications
Fig. 2. Surjection
(1) L’application
f : R∗
x
→ R
1
7→
x2
n’est pas surjective car f (x) = 0 n’a pas de solution, c’est à dire 0 n’a pas d’antécédent (Tout
nombre négatif est également orphelin d’antécédant).
(2) L’application
g : R∗
→
]0, +∞[
1
x2
x 7→
est surjective car ∀y ∈ ]0, +∞[, l’équation y =
1
x2
admet les deux solutions ±
√
1
y
(3) Soit E un ensemble et P (E) l’ensemble des parties de E. L’application
h : P (E)
A
→ P (E)
7
→
E\A
est surjective car pour B ∈ P (E), B admet A = E \ B comme antécédent car h (A) = E \ A =
E \ (E \ B) = B
Remarque 1.2. Le procédé utilisé ci-dessus se généralise : si f : E → F n’est pas surjective, il
est toujours possible de construire une application g : E → G surjective en restreignant l’ensemble
d’arrivée aux éléments G qui ont un antécédent (voir ﬁgure 2).
Déﬁnition 1.8. On dit qu’une application f : E → F est une injection (on dit aussi f est
injective) ssi f vériﬁe l’une des quatre propriétés équivalentes suivantes :
(1) Tout élément y ∈ F admet au plus un antécédent.
(2) Pour tout élément y ∈ F , l’équation
{
x∈E
f (x) = y
admet au plus une solution
(3) ∀x ∈ E, ∀x′ ∈ E
f (x) = f (x′ )
⇒ x = x′
(4) ∀x ∈ E, ∀x′ ∈ E
x ̸= x′
⇒ f (x) ̸= f (x′ )
1.3 Injectivité, surjectivité
11
Fig. 3. Injection et surjection
Pour démontrer qu’une application f : E → F est injective, on se donne un
élément y ∈ F quelconque, et on montre que l’équation
{
x∈E
f (x) = y
admet une ou zéro solution, pas plus.
Ou bien
on se donne x et x′ deux éléments quelconques de E, vériﬁant l’égalité f (x) =
f (x′ ) et on montre que x = x′ .
Pour démontrer qu’une application f : E → F n’est pas injective, on exhibe
un élément y0 ∈ F qui admet deux antécédants. C’est à dire tel que l’équation
{
x∈E
f (x) = y0
admet deux (ou trois, ou quatre...) solutions distinctes x1 ̸= x2
Exemple 1.10.
(1) L’application
f : R∗
→ R
1
x 7→
x2
n’est pas injective car 1 a pour antécédants 1 et −1.
(2) L’application
f :R
→
R
x
7→
x3
est injective car pour x ∈ R et x′ ∈ R, si x3 = x′3 alors x = x′
Proposition 1.1. Une application f : R → R strictement monotone est injective.
12
Chapitre 1. Fonctions, applications
Démonstration. Supposons f strictement croissante. Soient x ̸= x′ deux réels. On appelle
x le plus petit des deux : x < x′ donc f (x) < f (x′ ) donc f (x) ̸= f (x′ ) donc f est injective. Si f
est strictement décroissante, le raisonnement est analogue.
Déﬁnition 1.9. Une application f : E → F est une bijection ou est bijective si et seulement
si elle est injective et surjective, c’est à dire si elle vériﬁe l’une des deux propriétés équivalentes
suivantes :
(1) Tout élément de F admet un antécédent et un seul.
(2) Pour tout élément y ∈ F , l’équation f (x) = y admet une solution et une seule.
Pour démontrer que f est bijective, on se donne un élément y ∈ F et on montre
l’équation y = f (x) admet une solution unique dans E.
Ou bien, on montre que f est injective et surjective.
Exemple 1.11.
(1) L’application
f :N →
n 7→
N
2n
n’est pas bijective car 3 n’a pas d’antécédent
(2) L’application
f :R
→
R
ex − e−x
x 7→
2
est bijective car ∀y ∈ R, l’équation y = f (x) admet une solution unique dans R : posons
X = ex > 0
√
ex − e−x
y=
⇐⇒ X = y ± y 2 + 1
2
(
)
√
√
comme X > 0, seule la solution X = y + y 2 + 1 convient, donc x = log y + y 2 + 1 est
l’unique solution de l’équation y = f (x).
(3) L’application
f : R2
→ R2
(x, y)
7→ (x + y, x − y)
est bijective car pour (a, b) ∈ R2 l’équation (a, b) = f (x, y) admet pour unique solution (x, y) =
1
2 (a + b, a − b).
1.4. Fonctions composées, inverse d’une fonction
1.4.1. Fonctions composées.
Déﬁnition 1.10. E, F, G sont trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux applications. La
composée de f et g est l’application g ◦ f : E → G déﬁnie pour x ∈ E par (g ◦ f ) (x) = g (f (x)).
L’ensemble de déﬁnition de g ◦ f est déterminé par les deux conditions :
Dg◦f
Exemple 1.12.
= {x ∈ E tel que x ∈ Df et f (x) ∈ Dg }
1.4 Fonctions composées, inverse d’une fonction
13
(1) Pour
on a
f :R
→ R
g:R →
1
x 7→
x−2
Df = R \ {2} et Dg = R \ {1} donc
Dg◦f
x 7→
{
=
x ∈ R, x ̸= 2 et
1
̸= 1
x−2
= {x ∈ R, x ̸= 2 et x ̸= 3}
= R \ {2; 3}
R
2x + 1
x−1
}
et pour tout x ∈ Dg◦f , on peut calculer
(g ◦ f ) (x)
=
=
g (f (x))
2
x−2 + 1
−1
x
=
3−x
Attention, si x = 2 on ne peut pas faire ce calcul car f (x) n’existe pas. Par contre en posant
{
(g ◦ f ) (x) si x ̸= 2
h (x) =
2
si x = 2
1
x−2
on déﬁnit une nouvelle application qui est un prolongement de g ◦ f par continuité.
Remarque 1.3.
(1) Même si g ◦ f est déﬁni, il n’y a aucune raison pour que f ◦ g le soit.
(2) Même si f ◦ g est déﬁni, on a en général f ◦ g ̸= g ◦ f . Dans l’exemple ci-dessus,
(a) au niveau des domaines de déﬁnition, on vériﬁe que Dg◦f = R \ {2; 3} ̸= Df ◦g = R \ {1}, ce
qui suﬃrait à conclure.
x
(b) De surcroît, pour x ∈ Df ◦g ∩ Dg◦f , on a f ◦ g (x) = x−1
3 et g ◦ f (x) = 3−x
Déﬁnition 1.11. On appelle application identité de E, et on note IdE l’application de E dans
E déﬁnie par ∀x ∈ E, IdE (x) = x.
Proposition 1.2.
• Soit f : E → F , alors f = f ◦ IdE = IdF ◦ f
f
g
• Etant données trois applications
E → F → G
(h ◦ g) ◦ f
h
→
H
on a1
= h ◦ (g ◦ f )
Démonstration.
La première assertion est évidente.
Les deux applications (h ◦ g) ◦ f et h ◦ (g ◦ f ) ont même ensemble de départ E et même ensemble
d’arrivée H. De plus pour tout x ∈ E
((h ◦ g) ◦ f ) (x)
= (h ◦ g) (f (x)) = h (g (f (x)))
(h ◦ (g ◦ f )) (x)
=
et
h ((g ◦ f ) (x)) = h (g (f (x)))
ce qui prouve le résultat.
Proposition 1.3. Soient f : E → F et g : F → G.
(1) Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective
1On dit que ◦ est une opération associative
14
Chapitre 1. Fonctions, applications
(2) Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective
(3) Si f et g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective
Démonstration.
(1) Supposons f et g injectives. Soient x et x′ dans E tels que f ◦ g (x) = f ◦ g (x′ ). Alors
f (g (x)) = f (g (x′ )) donc, par injectivité de f , on a g (x) = g (x′ ). L’injectivité de g donne
alors x = x′
(2) Supposons f et g surjectives. Soient z dans G. Comme g est surjective, il existe y ∈ F tel que
z = g (y), de même par sujectivité de f , l’élément y de F a un antécédent x ∈ E qui vériﬁe
y = f (x). Donc z = g (f (x)) = (g ◦ f ) (x) ce qui prouve le résultat.
(3) Conséquence des deux points précédents.
1.4.2. Application réciproque.
Déﬁnition 1.12. Si u est une application bijective de E dans F , alors tout élément y ∈ F admet
un antécédant unique, que l’on note x = u−1 (y). On déﬁnit ainsi une application de F dans E :
y ∈ F 7→ u−1 (y) qui associe à tout élément y de F son unique antécédent x ∈ E. Cette application
s’appelle l’application réciproque de u et se note u−1 .
On a donc
∀ (x, y) ∈ E × F, y = u (x)
(2)
⇐⇒
x = u−1 (y)
Remarque 1.4.
(1) Dans la déﬁnition ci-dessus, la bijectivité de u est essentielle, aﬁn de déﬁnir sans ambiguité
u−1 (y) : l’antécédant de y doit exister (donc u doit être surjective) et doit être unique sinon,
u−1 n’est pas une fonction( (donc u) doit être injective).
(2) Pour tout élément x ∈ E, u−1 ◦ u (x) = x car u (x) a pour unique antécédent x par u. Donc
u−1 ◦ u = IdE
(
)
(3) De même pour tout élément y ∈ F, u ◦ u−1 (y) = y c’est à dire u ◦ u−1 = IdF
(4) Si E ̸= F alors u ◦ u−1 ̸= u−1 ◦ u
Exemple 1.13.
{
(1) L’application
notée
√
R+
x
→
7
→
R+
x2
est bijective et la fonction réciproque est la fonction racine,
Proposition 1.4.
(1) Soient u : E → F et v : F → E deux applications vériﬁant u ◦ v = IdF et v ◦ u = IdE . Alors
u et v sont bijectives et réciproques l’une de l’autre : u = v −1 et v = u−1 .
(
)−1
= u. Autrement dit l’inverse
(2) Soit u : E → F une bijection. Alors u−1 est bijective et u−1
de l’inverse de u, lorsqu’elle existe, est u elle même
Démonstration.
(1) On fait le raisonnement pour u, on procèderait de manière analogue pour v.
(a) Soient x ∈ E et x′ ∈ E tels que u (x) = u (x′ ) alors v (u (x)) = v (u (x′ )), donc x = x′
donc u est injective.
(b) Soit y ∈ F , l’équation y = u (v (y)) montre que y admet v (y) pour antécédent par u. Donc
u est injective.
(c) Donc pour tout y ∈ F il existe un unique x ∈ E, noté x = u−1 (y) tel que y = u (x).
Comme x est unique et comme y = u (x) = u (v (y)), on en déduit que x = v (y) = u−1 (y)
donc v = u−1 .
(2) Résulte immédiatement de la formulation 2
1.4 Fonctions composées, inverse d’une fonction
15
Proposition 1.5. Soient u : E → F et v : F → G deux bijections. Alors v ◦ u est une bijection et
−1
(v ◦ u)
= u−1 ◦ v −1
Démonstration. u ◦ v est une bijection comme le montre une proposition précédente. Soit
z ∈ G quelconque, soit y ∈ F son unique antécédent par v, et soit x ∈ E l’unique antécédent de y
par u. On a donc x = u−1 (y) et y = v −1 (z) donc
(
)
x = u−1 v −1 (z)
(
)
= u−1 ◦ v −1 (z)
−1
Ce qui montre également que (v ◦ u) (x) = z c’est à dire x = (v ◦ u)
(z), d’où l’égalité annoncée.
Proposition 1.6. Si u : E → F admet une réciproque u−1 F → E, alors u−1 est bijective et
( −1 )−1
u
= u.
(
)−1
(
)−1
c’est a dire u◦IdE =
= IdF ◦ u−1
Démonstration. u◦u−1 = IdF donc u◦u−1 ◦ u−1
( −1 )−1
( −1 )−1
IdF ◦ u
donc u = u
2.1 Le corps des nombres complexes
17
CHAPITRE 2
Nombres complexes
19 octobre 2012
Extrait de [wikipedia] « En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de
l’ensemble des nombres réels. Ils permettent notamment de déﬁnir des solutions à toutes les équations polynomiales à coeﬃcients réels. Les nombres complexes furent introduits au XV I e siècle
par les mathématiciens italiens Jérôme Cardan, Raphaël Bombelli, Nicolo Fontana, dit Tartaglia,
et Ludovico Ferrari aﬁn d’exprimer les solutions des équations du troisième degré [...], en utilisant
notamment des nombres de carré négatif, ainsi que les solutions des équations du quatrième degré
(méthode de Ferrari).
L’ensemble des sommes et produits de nombres réels et du nombre imaginaire i (les nombres de la
forme a + ib) satisfait les propriétés d’une structure de corps commutatif qui contient le corps des
réels. Il est appelé corps des nombres complexes et se note C. Il est muni de l’application module
qui généralise la valeur absolue des nombres réels, mais ne peut pas être ordonné totalement de
façon compatible avec sa structure de corps.
Ce n’est qu’à partir du XIX e siècle que se développe l’aspect géométrique des nombres complexes,
vus comme des éléments ou des transformations du plan, sous l’impulsion de l’abbé Buée et de
Jean-Robert Argand (plan d’Argand), puis avec les travaux de Gauss et de Cauchy.
En algèbre, le théorème de d’Alembert-Gauss identiﬁe le degré d’un polynôme complexe non nul
au nombre de ses racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Le corps des nombres complexes
est donc algébriquement clos.
En analyse, l’exponentielle complexe permet de simpliﬁer l’étude des séries de Fourier, puis de
déﬁnir la transformée de Fourier. La branche de l’analyse complexe concerne l’étude des fonctions
dérivables au sens complexe, appelées fonctions holomorphes.
En physique, les nombres complexes sont utilisés pour décrire le comportement
d’oscillateurs élec(
)
triques ou les phénomènes ondulatoires en électromagnétisme (R eiωt représentant une onde). »
2.1. Le corps des nombres complexes
Il n’existe pas de nombre réel x tel que x2 = −1, certaines équations, comme x2 + 1 = 0 n’ont
donc pas de solution. C’est pour y remédier que l’on introduit les nombres complexes.
2.1.1. Déﬁnitions. Soit E un ensemble.
Déﬁnition 2.1. On appelle loi de composition interne ou opération dans E toute application de
E 2 à valeurs dans E.
Déﬁnition 2.2. On appelle ensemble des nombres complexes et on note C, l’ensemble R2 , muni
des deux lois de composition internes (ou opérations) :
• L’addition ⊕, déﬁnie par : ∀ (x, y) ∈ C, ∀ (x′ , y ′ ) ∈ C, (x, y) ⊕ (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ )
• la multiplication ⊗, déﬁnie par ∀ (x, y) ∈ C, ∀ (x′ , y ′ ) ∈ C, (x, y)⊗(x′ , y ′ ) = (xx′ − yy ′ , xy ′ + x′ y)
Remarque 2.1.
Pierre Puiseux
18
Chapitre 2. Nombres complexes
• Si l’on restreint ces deux opérations à l’ensemble des complexes de la forme (x, 0) , x ∈ R, alors
on a
∀x ∈ R, ∀x′ ∈ R,
•
•
•
•
•
(x, 0) ⊕ (x′ , 0) = (x + x′ , 0)
(x, 0) ⊗ (x′ , 0) = (xx′ , 0)
ce qui exprime que ⊕ et ⊗ prolongent de manière naturelle l’addition et la multiplication dans
R.
Ceci nous suggère, pour tout x ∈ R, d’identiﬁer le nombre complexe (x, 0) ∈ C avec le nombre
réel x. On peut alors considérer R comme un sous ensemble de C : R ⊂ C
Le nombre complexe (0, 1) vériﬁe (0, 1) ⊗ (0, 1) = (−1, 0), on le note i = (0, 1), et moyennant
l’identiﬁcation ci-dessus, on a i2 = −1
Dans la suite, nous abandonnons le symbole ⊕, et par abus de notation, utiliserons la même
notation + pour désigner l’addition dans R et dans C. De même pour la multiplication, que
l’on notera × ou . ou sans signe particulier.
Pour x et y ∈ R, on vériﬁe par un calcul élémentaire que l’on peut écrire (x, y) = (x, 0)+i. (y, 0).
Moyennant l’identiﬁcation x = (x, 0) indiquée ci-dessus, tout nombre complexe se met donc
sous la forme (x, y) = x + iy, cette notation sous entend usuellement que x et y sont réels. Un
complexe z ∈ C mis sous la forme z = x + iy est dit sous forme canonique ou forme algébrique.
Les nombres complexes admettent une représentation géométrique directement liée à leur déﬁnition. À tout nombre complexe z = (x, y) on associe le point M (z) du plan R2 de coordonnées
(x, y). Le complexe z est appelé aﬃxe du point M (z) et M (z) est appelé l’image de z.
Déﬁnition 2.3. Soit z = (x, y) ∈ C. Alors z = x + iy est appelée forme algébrique ou canonique
de z.
x = R (z) ou x = Re (z) est la partie réelle de z
y = I (z) ou y = Im (z) est la partie imaginaire de z
On a bien sûr l’équivalence z ∈ R ⇐⇒ I (z) = 0.
z est dit imaginaire (pur) si et seulement si R (z) = 0, on note iR l’ensemble des imaginaires purs.
On note C∗ l’ensemble C privé du complexe (0, 0)
2.1.2. L’ensemble C est un corps.
Proposition 2.1. (C, +, ×) est un corps, c’est à dire :
• (C, +) est un groupe commutatif c’est à dire :
– + est associative
– + est commutative
– + admet un élément neutre : (0, 0)
– tout élément (x, y) admet un inverse (−x, −y) pour la loi +
• (C∗ , ×) est un goupe commutatif d’élément neutre (1, 0)
• La loi × est distributive par rapport à la loi +
Démonstration. L’égalité ∀ (x, y) ∈ C, (x, y) × (1, 0) = (x, y) montre que (1, 0) est élément
neutre pour la loi ×.
Lorsque z = x + iy est non nul, l’inverse de z est donné par
car (x, y) ×
(
x
x2 +y 2
y
, − x2 +y
2
)
1
x + iy
=
x2
x
y
−i 2
2
+y
x + y2
= (1, 0).
La démonstration des autres propriétés sera faite à titre d’exercice.
2.1 Le corps des nombres complexes
19
2.1.3. Conjugué et module d’un complexe.
Déﬁnition 2.4. Soit z = x + iy un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre
complexe, noté z, déﬁnit par
z
= x − iy
Interprétation géométrique : le point d’aﬃxe z est le symétrique par rapport à l’axe Ox, du point
d’aﬃxe z.
Proposition 2.2. On vériﬁe aisément les quelques propriétés suivantes pour tous complexes z et
z′ :
•
•
•
•
•
•
z=z
z−z
Rz = z+z
2 , Iz = 2
z + z ′ = z + z(′ )
zz ′ = z.z ′ et zz′ = zz′
z ∈ R ⇐⇒ z = z
z ∈ iR ⇐⇒ z = −z
Déﬁnition 2.5. On appelle module du nombre complexe z = x + iy le réel positif déﬁni par
√
|z| =
zz
√
=
x2 + y 2
Proposition 2.3. Pour tout complexe z :
|z| = 0
|z|
⇐⇒
=
z=0
|z|
et
Re (z) ≤
|Re (z)| ≤ |z|
Im (z) ≤ |Im (z)| ≤ |z|
Pour tout complexes z1 , z2 on a les deux inégalités triangulaires :
(3)
(4)
|z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |
||z1 | − |z2 || 6 |z1 − z2 |
Et enﬁn
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |
z1 = |z1 | si (z2 ̸= 0)
z2 |z2 |
Démonstration. |z| = 0 si et seulement si zz = 0 si et seulement si x2 + y 2 = 0 si et
seulement si x = y = 0.
La démonstration de |z| = |z| est immédiate.
De manière évidente, on a Re (z) ≤ |Re (z)|, puis en posant z = x + iy, l’inégalité x2 ≤ x2 + y 2
2
2
montre que |Re (z)| ≤ |z| d’ù on déduit la deuxième inégalité. On raisonne de manière analogue
pour la partie imaginaire.
L’inégalité |z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | est évidente si z2 = 0. On peut donc supposer z2 ̸= 0. En posant
u = zz21 , l’inégalité est équivalente à
(5)
|1 + u| 6 1 + |u|
20
Chapitre 2. Nombres complexes
2
2
2
2
que l’on démontre maintenant : (5) ⇐⇒ |1 + u| 6 (1 + |u|) ⇐⇒ |1 + u| − (1 + |u|) 6 0 mais
(
)
2
2
2
|1 + u| − (1 + |u|) = (1 + u) (1 + u) − 1 + 2 |u| + |u|
(
) (
)
2
2
=
1 + |u| + u + u − 1 + 2 |u| + |u|
=
2 (Re (u) − |u|)
et comme Re (u) ≤ |u| on obtient le résultat.
La deuxième inégalité triangulaire se montre en écrivant z1 comme z1 = (z1 − z2 ) + z2 et en lui
appliquant la première inégalité :|z1 | ≤ |z1 − z2 |+|z2 | d’où |z1 |−|z2 | ≤ |z1 − z2 |. Puis en permutant
les rôles de z1 et z2 on obtient |z2 |−|z1 | ≤ |z2 − z1 | d’où la double inégalité − |z2 − z1 | ≤ |z2 |−|z1 | ≤
|z2 − z1 | qui démontre le résultat.
La démonstration des deux dernières égalités ne présentent pas de diﬃculté.
Remarque 2.2.
• Le module d’un nombre complexe est un nombre réel positif.
• si a est réel, alors le module de a est la valeur absolue de a.
• L’inégalité triangulaire est une égalité |z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | si et seulement si il existe un
scalaire λ ∈ R+ tel que z2 = λz1 .
′
′
• Si z ′ ̸= 0 alors pour mettre zz′ sous forme algébrique (ou canonique), on écrit zz′ = zzz
= |zzz′ |2
′ z′
qui est un complexe sous forme algébrique puisque |z ′ | est réel.
Exemple 2.1. Pour mettre sous forme algébrique le complexe z =
z
1+i
1−i ,
on écrit
(1 + i) (1 + i)
(1 − i) (1 + i)
1 + 2i + i2
=
12 + 12
= i
=
2.1.4. Forme exponentielle et trigonométrique d’un nombre complexe.
Forme exponentielle, formule d’Euler. Les propriétés des fonctions sinus et cosinus sont supposées connues. En particulier les formules trigonométriques ordinaires ainsi que l’équivalence
{
cos t = cos s
⇐⇒ s = t [2π]
sin t = sin s
Pour t ∈ R on pose
(6)
eit
= cos t + i sin t
L’ensemble des complexes de module 1 est noté U :
U
= {z ∈ C, |z| = 1}
Proposition 2.4. L’ensemble (U, ×) est un groupe, sous-groupe de (C∗ , ×) et on a
{ it
}
U =
e ,t ∈ R
Démonstration. U est un sous-groupe de C∗ :
Si z et z ′ sont dans U alors |zz ′ | = |z| |z ′ | = 1 donc zz ′ est dans U
1 ∈ U dont U admet 1 comme élément neutre.
si z ∈ U alors son inverse z1 = |z|z 2 = z est également dans U.
La commutativité et l’associativité sont héritées de C.
{
}
On montre maintenant que U = eit , t ∈ R
•
•
•
•
2.1 Le corps des nombres complexes
21
{
}
• on a tout d’abord eit , t ∈ R ⊂ U car eit = 1.
• Réciproquement, si z ∈ U alors z = x + iy avec x2 + y 2 = 1 donc |x| 6 1 et on peut
trouver u ∈ [0, π] tel que cos u = x donc y 2 = 1 − cos2 u = sin2 u donc y = ± sin u. Donc
z = cos u + i sin u = eiu{ ou bien z} = cos u − i sin u = cos (−u) + i sin (−u) = eiv avec v = −u,
ce qui montre que z ∈ eit , t ∈ R ..
Proposition 2.5. (Formules d’Euler) pout t ∈ R :
cos t =
sin t =
eit + e−it
2
eit − e−it
2i
Démonstration. sans diﬃculté en utilisant 6.
Proposition 2.6. Pour tous réels s et t, on a :
•
•
•
•
ei(s+t) = eis eit
e−it = e1it
( )n
∀n ∈ Z, eit = eint
eis = eit ⇐⇒ s = t + 2kπ, k ∈ Z que l’on écrit aussi s ≡ t [2π]
Démonstration. Pour s et t réels, on peut écrire :
ei(s+t)
= cos (s + t) + i sin (s + t)
= cos s cos t − sin s sin t + i (sin s cos t + cos s sin t)
= (cos s + i sin s) (cos t + i sin t)
= eis eit
en prenant s = −t dans la relation précédente, on obtient : 1 = ei(t−t) = eit e−it d’où le résultat.
La puissance n-ème s’obtient à partir de la première égalité par récurrence si n ≥ 0 et en utilisant
la seconde égalité pour n < 0.
D’autre part l’égalité eis = eit équivaut à cos s = cos t et sin s = sin t c’est à dire à s ≡ t [2π].
Remarque 2.3. Cette importante propriété s’écrit également sous une forme plus développée :
cos (s + t) + i sin (s + t) = (cos s + i sin s) (cos t + i sin t)
et permet en particulier de mémoriser de manière commode et condensée certaines formules trigonométriques usuelles. En eﬀet, si l’on développe le membre de droite de cette équation, on
obtient :
cos (s + t) + i sin (s + t)
=
cos s. cos t − sin s. sin t + i (cos s. sin t + sin s. cos t)
On identiﬁe ensuite les partie réelles des deux membres de l’égalité :
cos (s + t)
=
cos s. cos t − sin s. sin t
puis on identiﬁe les partie imaginaires des deux membres de l’égalité :
sin (s + t)
=
cos s. sin t + sin s. cos t
22
Chapitre 2. Nombres complexes
Formule de( Moivre.
A partir de la formule précédente, on calcule par récurrence, pour tout
)n
n ∈ N : eint = eit , puis en passant aux inverses, pour tout n ∈ Z.
Proposition 2.7. Formule de Moivre.
Pour tout t ∈ R et pour tout n ∈ Z on a :
(cos t + i sin t)
n
= cos (nt) + i sin (nt)
Remarque 2.4. La formule de Moivre permet également de retrouver certaines formules trigonométriques, voir page 27 et suivantes.
Argument d’un complexe non nul. Soit z ∈ C∗ , alors
z
existe t ∈ R tel que |z|
= eit .
z
|z|
est un complexe de module 1, donc il
Déﬁnition 2.6. Soit z ∈ C∗ . On appelle argument de z tout nombre réel t tel que z = |z| eit .
On appelle forme exponentielle de z la forme z = |z| eit , on appelle forme trigonométrique de z la
forme z = |z| (cos t + i sin t).
Proposition 2.8. Tout nombre complexe z ̸= 0 admet une inﬁnité d’arguments. Si t0 est l’un
d’entre eux, alors l’ensemble des arguments de z est1
arg (z) =
≡
{t0 + 2kπ, k ∈ Z}
t0 + 2πZ
Démonstration. Le réel t est argument de z si et seulement si z = |z| eit = |z| eit0 c’est à
dire si et seulement si cos t = cos t0 et sin t = sin t0 d’où t = t0 + 2kπ, k ∈ Z.
Remarque 2.5. Par abus de notation, arg (z) désignera souvent un des arguments de z.
Mettre un nombre complexe sous forme trigonométrique ou exponentielle. Soit z = a + ib un
nombre complexe non nul.
(1) Calculer le module |z| de z ;
(2) trouver, lorsque c’est possible un argument de z, c’est à dire un réel t vériﬁant
a
cos t =
|z|
b
sin t =
|z|
(3) la forme trigonométrique ou exponentielle de z est alors z = |z| (cos t + i sin t) = |z| eit
Exemple 2.2. Calculons une forme trigonométrique de z = 1 + i :
√
(1) |z| = 2
(2) On cherche t tel que
√
1
2
cos t = √ =
2
2
√
2
1
sin t = √ =
2
2
t = π4 convient
(3) On a donc
z
=
√ iπ
2e 4
(4) l’ensemble des arguments de z est donc arg (1 + i) =
π
4
+ 2πZ
1Si t est un réel et A est un ensemble de nombres, t + A désigne l’ensemble des nombres obtenus en additionnant
un élément de A à t. Autrement dit t + A = {t + a, a ∈ A}.
2.2 Résolution d’équations dans C
23
Proposition 2.9. Si z, z1 et z2 sont des nombres complexes non nuls, n ∈ Z, alors
2
arg (z1 z2 ) = arg (z1 ) + arg (z1 )
( )
z1
arg
= arg (z1 ) − arg (z1 )
z2
arg (z n ) = n arg (z)
Démonstration. Soient z1 = r1 eit1 et z2 = r2 eit2 les formes exponentielles de z1 et z2 .
Alors z1 z2 = r1 r2 eit1 eit2 = r1 r2 ei(t1 +t2 ) ce qui montre que arg (z1 z2 ) = {t1 + t2 + 2kπ, k ∈ Z} =
{t1 + 2kπ, k ∈ Z} + {t2 + 2kπ, k ∈ Z} (à vériﬁer en exercice). On raisonne de manière analogue
pour zz12 et z n .
Déﬁnition 2.7. Parmi tous les arguments de z, on appelle argument principal celui qui est dans
l’intervalle ]−π, π], et on le note Arg (z). Ainsi
{Arg (z)}
= arg (z) ∩ ]−π, π]
2.2. Résolution d’équations dans C
2.2.1. Équations du second degré dans C.
Racine carrée d’un nombre complexe.
Déﬁnition 2.8. Soit a ∈ C. On appelle racine carrée de a tout nombre complexe z vériﬁant
z2
(7)
= a
Proposition 2.10. Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées.
Démonstration. Soit a = reit , r > 0 un complexe non nul. Le complexe z = ρeiθ est une
racine de a si et seulement si z 2 = a c’est à dire ρ2 e2it = reit soit :
ρ2
= r
et
≡ t [2π]
2θ
cette dernière relation peut s’écrire : θ = + kπ, k ∈ Z {d’où deux valeurs
possibles pour z :
√ it
√ i( t +π)
√ it √ it }
2
2
2
2
z1 = re et z2 = re
re , − re
.
= −z1 d’où le résultat : z ∈
t
2
Remarque 2.6. La recherche des racines carrées d’un complexe a peut se faire de deux manières :
√ t
(1) Mettre le a sous forme exponentielle : a = reit , dans ce cas les racines carrées sont z0 = rei 2
et z1 = −z0
(2) résoudre l’équation z 2 = a sous la forme algébrique : en posant z = x + iy et a = α + iβ, on
doit trouver x, y ∈ R tels que
x2 − y 2 + 2ixy
et en séparant partie réelle et imaginaire,


trouver
x2 − y 2


xy
=
α + iβ
on obtient
(x, y) ∈ R2 tel que
=α
=β
que l’on résoud dans R2 (et non pas dans C).
Exemple 2.3.
2Si A et B sont deux ensembles de nombres, A + B désigne l’ensemble des nombres obtenus en additionnant
un élément de A et un élément de B. Autrement dit A + B = {a + b, a ∈ A et b ∈ B}. De même, A − B =
{a − b, a ∈ A et b ∈ B} et pour z ∈ C on déﬁnit zA = {za, a ∈ A}
24
Chapitre 2. Nombres complexes
√
(1) a ∈ ]−∞, 0[, a pour racines carrées ±i |a|
(2) Trouver les racines carrées de a = −3 + 4i. Avec la seconde méthode on doit résoudre z 2 =
−3 + 4i. En posant z = x + iy cette équation s’écrit x2 − y 2 + 2ixy = −3 + 4i c’est à dire :

2

trouver (x, y) ∈ R tel que
2
2
(8)
x −y
= −3


xy
=2
{
y = x2
8 ⇐⇒
x2 − x42 = −3
{
y = x2 , X = x2
⇐⇒
X − X4 = −3
{
y = x2 , X = x2
⇐⇒
X 2 + 3X − 4 = 0
L’équation en X est du second degré, dans R, ses solutions sont −4 et 1. Comme X = x2 est
positif (car x ∈ R), on ne garde que la solution X = 1 donc x = 1 ou x = −1.
Cas 1.
Cas 2.
Si x = 1 alors y = 2, ce qui donne la solution z0 = 1 + 2i.
Si x = −1 alors y = −2 qui donne l’autre solution z1 = −1 − 2i.
Résolution d’une équation du second degré.
Proposition 2.11. Soient a ̸= 0, b et c trois nombres complexes et l’équation du second degré :
az 2 + bz + c = 0
(9)
Soit ∆ = b2 − 4ac le discriminant de (9) et soit δ l’une des deux racines carrées complexes de ∆,
c’est à dire l’une des solutions de l’équation :
δ2
= ∆
• Si ∆ ̸= 0, alors (9) admet 2 racines distinctes :
−b + δ
z1 =
2a
−b − δ
z2 =
2a
• si ∆ = 0, alors (9) admet la racine unique :
b
z0 = −
2a
Démonstration. On réécrit (9) sous une
(
(9) ⇐⇒ a z 2 +
((
⇐⇒
⇐⇒
En posant Z = z +
b
2a ,
forme altérée :
)
b
c
z+
=0
a
a
)
)2
b
c
b2
a
z+
=0
− 2+
2a
4a
a
(
)2
b
∆
z+
= 2
2a
4a
l’équation ci-dessus est de la forme
∆
4a2
∆
dont l’inconnue est Z. Les solutions sont donc les deux racines carrées de 4a
2 , c’est à dire, puisque
b
δ
δ
δ est une racine carrée de ∆ : Z = ± 2a . On en déduit z + 2a = ± 2a puis z = −b±δ
2a .
Z2
=
2.2 Résolution d’équations dans C
25
Pratiquement, pour résoudre l’équation (9), on procède en trois étapes :
(1) Calculer le discriminant ∆ = b2 − 4ac
(2) Calculer les racines carrées de ∆ en résolvant δ 2 = ∆ (utiliser avec une des méthodes exposées en
(2.2.1)). Cette étape donne souvent lieu à des calculs longs.
{
}
−b−δ
(3) L’ensemble des solutions de (9) est alors : S = −b+δ
2a , 2a
Remarque 2.7. Si le coeﬃcient b est nul, alors l’équation (9) s’écrit
c
z2 = −
a
dont les solutions sont simplement les deux racines carrées de − ac .
Les trois étapes pour le calcul des solutions de (9) sont les mêmes que pour une équation à
coeﬃcients réels. L’étape 2. a simplement été reformulée pour s’adapter au cas complexe.
2.2.2. Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Soit n, un entier naturel non nul.
Déﬁnition 2.9. On appelle racine n-ième d’un complexe z0 tout nombre complexe z tel que
zn
(10)
= z0
3
Exemple 2.4. 2i est une racine 3-ième (ou cubique) de −8i car (2i) = −8i
Racines n-ièmes de l’unité. On considère un entier n > 0.
Proposition 2.12. (racines n-ième de l’unité) L’équation
(11)
zn = 1
admet exactement n solutions complexes, appelées racines n-ième de l’unité. L’ensemble des solutions est :
{ 2kπ
}
Un = ei n , k = 0, 1, . . . , n − 1
Démonstration. Soit z = reit avec r > 0 réel, et t réel. Deux complexes sont égaux lorsque
leurs modules sont égaux et leurs arguments sont égaux à 2kπ près, donc :
{
rn = 1
z n = 1 ⇐⇒
et
nt ≡ 0 [2π]
{
r ∈ R+ , rn = 1
⇐⇒
et
∃k ∈ Z, nt = 2kπ
{
r=1
⇐⇒
et
∃k ∈ Z, t = 2kπ
n
{ 2kπ
}
2π
Donc l’ensemble des solutions de (11) est S = ei n , k ∈ Z . Posons ω = ei n , de sorte que pour
{
}
2kπ
k ∈ Z, on a ω k = ei n et S = ω k , h ∈ Z .
Montrons que S = Un , et contient n éléments exactement :
(1) L’inclusion Un ⊂ S est évidente.
(2) Montrons l’inclusion S ⊂ Un : soit s = ω k , k ∈ Z un élément quelconque de S. Divisons k
2(nq+p)π
par n : il existe deux entiers q et p, 0 6 p < n tels que k ={nq + p. Alors ω k = ei }n
=
2pπ
2pπ
i2qπ i n
i n
p
0
1
2
n−1
e
e
=e
= ω avec 0 ≤ p < n ce qui prouve que s ∈ 1 = ω , ω , ω , . . . , ω
= Un .
2kπ
2πl
(3) Les ω k = ei n , 0 ≤ k < n sont tous distincts car pour 0 ≤ k < l < n, on a 0 ≤ 2πk
<
n
n < 2π.
}
{ 2ikπ
Exemple 2.5. Les racines 5-ième de 1 sont U5 = e 5 , 0 ≤ k < 5 . Graphiquement, elle sont
équiréparties sur le cercle unité, voir 1 page suivante
26
Chapitre 2. Nombres complexes
Fig. 1. Les racines 5-ième de l’unité (points rouges)
Proposition 2.13. Pour tout entier n > 0,
(1) L’ensemble des racines n-ièmes de l’unité, noté Un est un groupe pour la multiplication.
(2) Pour tout ξ ∈ Un , ξ ̸= 1 ⇒ 1 + ξ + ξ 2 + · · · + ξ n−1 =∑0
(3) La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle : ξ∈Un ξ = 0
Démonstration.
(1) L’associativité et la commutativité sont hérités de C. L’élément neutre 1 est dans Un . Si ω
n
et ξ sont dans Un alors le produit ξω est dans Un car (ξω) = ξ n ω n = 1 et ω1 ∈ Un car
( 1 )n
1 )
= ( 2ikπ
n = 1.
ω
e
n
(2) La somme est géométrique de raison ξ ̸= 1 donc vaut
i 2π
n
(3) On pose ω = e
· · · + ω n−1 = 0.
1−ξ n
1−ξ
k
=0
alors les éléments de Un sont ξ = ω , 0 6 k < n et
∑
ξ∈Un
ξ = 1 + ω + ω2 +
Racines n-ièmes d’un nombre complexe. Rappelons que trouver les racines n-ièmes d’un complexe z0 ∈ C∗ consiste à résoudre l’équation
zn
(12)
= z0
Proposition 2.14. Soit z0 ∈ C∗ et soit α une racine n-ième de z0 , particulière. Alors l’ensemble
des racines n-ième de z0 est
αUn
≡
{αξ, ξ ∈ Un }
Démonstration. Soit α une racine n-ième de z0 , particulière. L’ensemble des racines n-ième
de z0 est l’ensemble des solutions de
(13)
zn
= αn
2.3 Applications trigonométriques des formules d’Euler et de Moivre
27
( z )n
Cette équation est équivalente à α
= 1 et c’est à dire Z n = 1 après avoir posé Z =
solutions sont αz = Z ∈ Un d’ou le résultat.
z
α.
Les
Calcul pratique des racines n-iémes d’un complexe. Soit z0 ∈ C∗ , pour calculer les racines
n-iémes de z0 , c’est à dire pour résoudre
zn
(14)
= z0
(1) mettre z0 sous forme exponentielle : z0 = reit avec r > 0 et t ∈ R ;
1
t
(2) une racine n-iéme particulière est α = r n ei n ;
(3) l’ensemble des solutions de (10) est alors :
{
}
2kπ
S =
αei n , 0 ≤ k ≤ n − 1
{ 1 t+2kπ
}
=
r n ei n , 0 ≤ k ≤ n − 1
Exemple 2.6. Les racines 5-ièmes de z0 = 1 + i :
1
π
(1) on calcule aisément 1 + i = 2 2 ei 4 ;
( 1 π ) 51
1
π
(2) α = 2 2 ei 4
= 2 10 ei 20 est donc l’une des racines cinquièmes de z0 ;
{ 1 1+8k
}
(3) l’ensemble des racines 5-ièmes de 1 + i est donc S = 2 10 ei 20 π , 0 ≤ k ≤ 4 c’est à dire :
{ 1 π
}
1
9
17
25
33
1
1
1
S =
2 10 ei 20 , 2 10 ei 20 π , 2 10 ei 20 π , 2 10 ei 20 π , 2 10 ei 20 π
2.3. Applications trigonométriques des formules d’Euler et de Moivre
2.3.1. Expression de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x.
Exemple 2.7. Pour calculer cos 3x en fonction de sin x et cos x, on peut développer la formule
de Moivre pour n = 3 ce qui donne, en posant s = sin x et c = cos x :
cos 3x + i sin 3x
= (c + is)
3
2
= c3 + 3c2 (is) + 3c (is) + (is)
(
)
(
)
= c c2 − 3s2 + is 3c2 − s2
3
en identiﬁant les parties réelles et imaginaires des deux membres de l’égalité ci-dessus, on en
déduit :
(
)
cos 3x = cos x cos2 x − 3 sin2 x
(
)
sin 3x = sin x 3 cos2 x − sin2 x
Remarque 2.8. En remplaçant sin2 x par 1−cos2 x dans les égalités ci-dessus, on peut exprimercos 3x
comme un polynôme en cos x
(
)
cos 3x = cos x 4 cos2 x − 3
Plus généralement, pour n ∈ N, on développe la formule de Moivre :
einx
(15)
n
= (c + is)
∑ ( n )
=
cn−k ik sk
k
06k6n
• Les termes de cette somme correspondant à un indice k pair sont réels. Ces
pairs sont
{ indices[k ]}
[ ]
ceux de la forme k = 2p, avec p 6 n2 et p entier, ce qui peut s’écrire p ∈ 0, 1, . . . , n2 où n2
désigne la partie entière du nombre réel n2 . En identiﬁant parties réelles des deux membres de
l’égalité (15) on obtient
∑ ( n )
p
cos nx =
(−1) cosn−2p x sin2p x
2p
06p6[ n
2]
28
Chapitre 2. Nombres complexes
• Les termes de cette somme correspondant à un indice k impair sont imaginaires.
indices
{
[Ces
]}
n−1
impairs sont k = 2p + 1 avec p 6 n−1
et
p
entier,
ce
qui
peut
s’écrire
p
∈
0,
1,
.
.
.
,
. En
2
2
identiﬁant parties imaginaires des deux membres de l’égalité (15) on obtient
)
(
∑
n
p
(−1) cosn−(2p+1) x sin2p+1 x
sin nx =
2p
+
1
06p6[ n−1
2 ]
2.3.2. Linéarisation de cosn x et sinn x. Linéariser cosn x et sinn x, c’est exprimer ces
quantités en fonction de cos kx et sin kx avec k ∈ N. Méthode très utile pour calculer des primitives.
Exemple 2.8. Linéarisation de cos6 x. La formule d’Euler s’écrit :
( ix
)6
e + e−ix
6
cos x =
2
On développe le second membre de cette égalité, et on obtient :
cos6 x
=
)
1 ( −6ix
e
+ 6eix e−5ix + 15e2ix e−4ix + 20e3ix e−3ix + 15e4ix e−2ix + 6e5ix e−ix + e6ix
64
On regroupe les termes en eikx et e−ikx et en utilisant a nouveau les formules d’Euler, il vient :
cos6 x =
=
)
(
)
(
)
)
1 (( −6ix
e
+ e6ix + 6 e4ix + e−4ix + 15 e2ix + e−2ix + 20
64
1
(cos 6x + 6 cos 4x + 15 cos 2x + 20)
32
2.3.3. Somme de cosinus et de sinus. Pour x ∈ ]0, 2π[, posons Cn (x) =
∑
et Sn (x) = 06k6n sin kx. On a donc
einx
∑
06k6n
cos kx
= Cn (x) + iSn (x)
∑
=
eikx
06k6n
d’après la formule de Moivre. Cette dernière somme est la somme des n + 1 premiers termes d’une
suite géométrique de raison eix ̸= 1, sa somme est connue :
∑
eikx
1 − ei(n+1)x
1 − eix
=
06k6n
que l’on met sous forme algébrique :
1 − ei(n+1)x
1 − eix
ei(n+1) 2
e−i(n+1) 2 − ei(n+1) 2
×
x
x
x
i
e 2
e−i 2 − ei 2
x
x sin (n + 1)
2
= ein 2
sin x2
x
x
x
=
en séparant partie réelle et partie imaginaire, on obtient la somme des cosinus mais aussi la somme
des sinus :
∑
cos kx
= cos n
x sin (n + 1) x2
2
sin x2
sin kx
= sin n
x sin (n + 1) x2
2
sin x2
06k6n
∑
06k6n
2.4 Exercices
29
2.3.4. Expression de tan nx en fonction de tan x.
Exemple 2.9. pour exprimer tan 3x en fonction de tan x, on part des formules :
(
)
cos 3x = cos x cos2 x − 3 sin2 x
(
)
sin 3x = sin x 3 cos2 x − sin2 x
ce qui donne
tan 3x =
(
)
sin x 3 cos2 x − sin2 x
(
)
cos x cos2 x − 3 sin2 x
puis en divisant numérateur et dénominateur par cos3 x on trouve :
(
)
tan x 3 − tan2 x
tan 3x =
1 − 3 tan2 x
2.4. Applications à la géométrie
Exercices
Exercice 2.1. Mettre sous forme algébrique :
(1)
(2)
(3)
(4)
z
z
z
z
= (1 + i)(1 − 2i),
= 1−3i
3−i ,
1+i
= 1−i ,
1
1
= 1+i
+ 1−i
.
Exercice 2.2. Mettre sous forme trigonométrique :
(1) z = 1 + i, √
(2) z = −1 + i 3,
(3) z = − 52 i,
( √ )20
3
(4) z = 1+i
.
1−i
Exercice 2.3. Résoudre dans C les équations suivantes :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
z 2 + z + 1 = 0,
z 2 + 2z + 7 = 0,
z 2 = −7 + 24i,
z 2 = −3 − 4i,
z 2 − 2(2 + i)z + 6 + 8i = 0,
iz 2 + (4i − 3)z + i − 5 = 0,
z 2 − z̄ + 2 = 0.
Exercice 2.4. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’aﬃxe z vériﬁe :
(1) z + z̄ = |z| ;
(2) z−1−i
z+1 ∈ R ;
Exercice 2.5.
(1)
(2)
(3)
(4)
Donner sous forme trigonométrique les racines cubiques de l’unité.
2π
On pose j = ei 3 . Établir que les racines cubiques de l’unité sont : 1, j, j 2 .
Montrer que j 2 = j̄. Écrire j et j 2 sous forme algébrique.
Etablir que 1 + j + j 2 = 0.
Exercice 2.6. Soit u = e
i2π
5
.
(1) Calculer 1 + u + u2 + u3 + u4 . Calculer u + u4 , puis u2 + u3 .
(2) En déduire la valeur de cos 2π/5.
30
Chapitre 2. Nombres complexes
(3) Application : trouver une construction à la règle et au compas d’un pentagone régulier.
Exercice 2.7. Soit n ∈ N, n ≥ 2. Soit wk = e2iπk/n pour k = 0, 1, . . . , n − 1.
∑n−1
(1) Montrer que k=0 wk = 0,
∏n−1
(2) et que k=0 wk = (−1)n−1 .
Exercice 2.8. Résoudre dans C, les équations :
(1) z 5 = 1 − i,
(2) iz 6 − (1 + i)z 3 + 1 = 0,
(3) z 2 = −7 − 24i, en déduire les solutions de z 4 = −7 − 24i.
Exercice 2.9. Résoudre dans C l’équation : (z 2 + 1)n − (z − i)2n = 0, n ∈ N∗ .
Exercice 2.10. Calculer les sommes :
n
∑
(1) S1 =
cos(kx)
(2) S2 =
(3) S3 =
k=0
n
∑
sin2 (kx)
k=0
n ( )
∑
n
k cos(kx)
k=0
Exercice 2.11. Posons E = C \ {−i}. Soit f : E → C l’application déﬁnie par f (z) =
que soit z ∈ E.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
z−i
z+i
quel
Montrer que l’application f est injective.
Montrer que pour tout z ∈ E, on a 1 − f (z) ̸= 0.
Démontrer l’égalité f (E) = C \ {1}.
ℑz
Soit z ∈ E. Montrer que 1 − |f (z)|2 = 4 |z+i|
2.
Notons U l’ensemble des nombres complexes de module 1. Montrer que l’on a f (R) = U \ {1}.
2π
∗
Exercice 2.12. Posons z = cos( 2π
n ) + isin( n ), où n ∈ N, n ≥ 2. Soient a ∈ C et α une racine
n-iéme de a.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Montrer que les racines n-iémes de a sont α, zα, ..., z n−1 α.
Montrer que la somme des racines n-iémes de a est égale à 0.
Soit k ∈ N. Montrer que z k = 1 si et seulement si k est un multiple de n.
Posons ω = z n(n−1)/2 . Calculer ω 2 . En déduire que l’on a ω = (−1)n−1 .
Montrer que le produit des racines n-iémes de a est égal à (−1)n−1 a.
Exercice 2.13. Exercices complémentaires
(1) Résoudre dans
√ C les équations suivantes :
(a) z 2 + z 3 − i = 0
(b) x4 = 1,
(c) z−2
=z
(z−1 )2
=i
(d) z−2
z−1
(2) Soit z ∈ C vériﬁant 1 + z 4 ∑
+ z 8 = 0. Montrer que z ∈ U12 .
(3) On étudie la suite Sn =
sin kπ
n
0≤k≤n
∑
π
in
(a) on pose, pour n ≥ 2, z = e . Calculer
zk
(b) montrer que pour n ≥ 2,
2
1−z
(c) en déduire que pour n ≥ 2, Sn =
(d) étudier la suite un =
(4) Soient a et b deux réels.
Sn
n
0≤k≤n−1
i
π
tan 2n
1
π
tan 2n
=1+
2.4 Exercices
31
(a) Montrer qu’il existe deux réels r et t, avec r > 0, tels que ∀x ∈ R, a cos x + b sin x =
r cos (x − t)
(b) Application : résoudre cos x + sin x = 1.
3.1 Polynômes
33
CHAPITRE 3
Polynômes et Fractions rationnelles
3.1. Polynômes
On désigne par K l’ensemble R ou l’ensemble C. Les élements de K sont les scalaires.
3.1.1. Déﬁnitions.
Déﬁnition 3.1. Soient a0 , a1 , . . . an n + 1 scalaires. Toute fonction de la forme
P : x 7→ P (x) =
n
∑
ak xk = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
k=0
est appelée fonction polynômiale où polynôme. Les scalaires a0 , a1 , . . . an sont les coeﬃcients du
polynome.
Le degré du polynôme P est le plus grand entier i tel que ai ̸= 0. Par convention, le degré du
polynôme nul est −∞. Le degré de P est noté deg P .
La valuation du polynôme P est le plus petit entier i tel que ai ̸= 0.
Exemple 3.1. P : x 7→ x3 + 2x2 est de degré 3 et de valuation 2.
Proposition 3.1. Le degré de la somme de deux polynômes P et Q vériﬁe
≤ max (deg P, deg Q)
deg (P + Q)
Le degré du produit de deux polynômes est
deg (P Q)
=
deg P + deg Q
Démonstration. todo
Remarque. Attention, le degré de la somme P + Q peut être strictement inférieur au plus grand
degré.
Exemple 3.2. P (x) = x2 + x − 1, Q (x) = −x2 + 2x + 3 sont deux polynômes de degré 2, la
somme est (P + Q) (x) = 3x + 2 de degré 1 < 2.
Déﬁnition 3.2. L’ensemble des polynômes sur K est noté K [X] (ou K [Y ], ...)
L’ensemble des polynômes P ∈ K [X], de degré deg P ≤ n est noté Kn [X] (ou Kn [Y ], ...).
Pour tout entier k, la fonction polynômiale (ou polynôme) x 7→ xk est notée X k (ou Y k , ...).
∑n
Le polynôme P : x ∈ K 7→ k=0 ak xk peut donc être noté
P
∑n
=
n
∑
ak X k
k=0
et sa valeur en x ∈ K est P (x) = k=0 ak x . Il est important de distinguer P qui est un polynôme
et P (x) qui est un nombre réel ou complexe, valeur du polynôme en x : P ∈ K [X] et P (x) ∈ K
k
Pierre Puiseux
34
Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles
3.1.2. Dérivées d’un polynôme.
Déﬁnition 3.3. Pour tout entier k ∈ N, on désigne par P (k) la dérivée d’ordre k du polynôme P .
Proposition 3.2. Pour tous entiers positifs n et p, on a :
{
n!
n−p
si p ≤ n
(p)
(n−p)! X
(X n )
=
0
si p > n
Démonstration. Par récurrence sur n.
2
Proposition 3.3. Soit (P, Q) ∈ K [X] et n ∈ N. Alors
∑ (n)
(n)
(P Q)
=
P (k) Q(n−k)
k
0≤k≤n
Démonstration. Par récurrence sur n.
3.1.3. Racines d’un polynôme.
Déﬁnition 3.4. (Racines)
(1) On appelle racine du polynôme P tout scalaire α ∈ K vériﬁant P (α) = 0
(2) On dit que la racine α est d’ordre k ∈ N si P (α) = P ′ (α) = · · · = P (k−1) (α) = 0 et P (k) (α) ̸= 0
Exemple 3.3. P = X 3 − 4X 2 + 5X − 2 admet 1 comme racine d’ordre 2 et 2 comme racine
d’ordre 1.
3.1.4. Formule de Taylor.
Théorème 3.1. (Taylor) Soient P ∈ K [X] un polynôme de degré n et x0 , h ∈ K. Alors
∑ P (k) (x0 )
P (x0 + h) =
hk
k!
0≤k≤n
Démonstration. Les scalaires x et h sont ﬁxés dans K. Considérant φh (x) =
il nous faut établir que
(16)
P (x + h) =
∑
0≤k≤n
P (k) (x) k
h ,
k!
φh (x)
(1) On voit facilement que φh : K → K est linéaire, c’est à dire pour tout (x, y) ∈ K2 pour tous
(a, b) ∈ K2 , on a φh (ax + by) = aφh (x) + bφh (y). On en déduit qu’il suﬃt d’établir la relation
16 pour les polynômes de la forme P = X p , 0 ≤ p ≤ n.
(2) Pour p ≤ n ﬁxé, et P = X p , on a
∑ X (k) (x)
φh (x) =
hk
k!
0≤k≤n
=
∑ X (k) (x)
hk
k!
0≤k≤p
=
=
∑
0≤k≤p
p!
X p−k (x) k
h
(p − k)!
k!
0≤k≤p
p!
xp−k hk
(p − k)!k!
∑
p
= (x + h)
= X p (x + h)
3.1 Polynômes
35
3.1.5. Divisibilité et racines.
Théorème 3.2. Soient A et B deux polynômes, B ̸= 0, alors il existe un unique couple de
polynômes (Q, R) tel que
{
A=BQ+R
deg(R) < deg(B)
Q est le quotient et R le reste de la division euclidienne de A par B.
Si le reste R est le polynôme nul, on dit que B divise A et on note B|A.
Démonstration. Unicité, puis existence par récurrence sur le degré de A.
Exemple 3.4. on divise A (x) = x2 − 3x + 2 par Q (x) = x + 1 on vériﬁe que B (x) = x − 4 et
R (x) = 6.
A=
R=
X2
X2
−3X
+X
−4X
−4X
+2
X
X
+1 = B
−4 = Q
+2
−4
6
Théorème 3.3. Divisibilité et racines
(1) P est divisible par X − α ⇔ P (α) = 0 ;
p
(2) α est une racine d’ordre ≥ p de P si et seulement si P est divisible par (X − α) .
Démonstration.
(1) Si P est divisible par X − α alors P = (X − a) Q donc P (α) = 0. Réciproquement si P (α) = 0,
eﬀectuant la division de P par X − α on obtient : P = (X − α) Q + R avec deg R < 1, donc
R = c (constante). Donc P = (X − α) Q + c et comme P (α) = 0, on obtient c = 0.
p
p
(2) Si P est divisible par (X − α) alors il existe un polynômeQ tel que P = (X − α) Q. Donc
(
)
∑
p (l) (n−l)
l
pour 0 ≤ l ≤ p on a P (l) =
Q
...todo
k [(X − α) ]
0≤k≤l
Théorème 3.4. Le polynome P divise le polynome Q (on note P |Q) si et seulement si l’une de
ces propriétés équivalentes est vraie :
(1) le reste de la division euclidienne de Q par P est nul ;
(2) toutes les racines de P sont racines de Q avec au moins le même ordre de multiplicité.
Démonstration. todo
Exercice 3.1. eﬀectuer la division euclidienne du polynôme A par le polynôme B dans les cas
suivants :
(1) A = 4X 5 + X 4 + 8X 3 − X 2 + 2X + 2 et B = X 3 + 2
(2) A = X 4 + 3X 2 + aX + b et B = X 2 − 2aX + 2 avec a, b ∈ R
(3) A = 4X 3 + 2 et B = X + 1 + i
2n
Exercice 3.2. déterminer le reste de la division euclidienne de A = (X − 2)
par :
n
+ (X − 1) − 2
(1) B = (X − 1) (X − 2)
2
(2) B = (X − 1)
2
(3) B = (X − 1) (X − 2)
Exercice 3.3. eﬀectuer la division suivant les puissances croissantes de A par B dans les cas
suivants :
36
Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles
(1) A = 1 − X 2 et B = 1 − 2X + X 2 à l’ordre 3 puis à l’ordre n.
(2) A = 1 + X 2 et B = 1 + X 4 à l’ordre 5.
(3) A = 1 + abX 2 et B = 1 − (a + b) X + abX 2 à l’ordre 3.
Exercice 3.4. soit P = X 3 − 3bcX + b3 + c3 où bc et b3 + c3 sont réels.
(1) montrer que P est divisible par X + b + c et en déduire une factorisation de P dans R.
(2) Donner la factorisation de P dans C (en fonction du nombre complexe j ∈ U3 ).
Exercice 3.5. Soit n un entier, n > 3. Montrer que le polynôme P = (1 + X) (1 − X n ) −
2
3
2nX n (1 − X) − n2 X n−1 (1 − X) est divisible par (1 − X) .
Exercice 3.6. pour n entier, on pose Pn = aX n+1 + bX n + 1.
(1) Déterminer les entiers a et b pour que le polynôme Pn admette 1 comme racine double.
2
(2) Dans ce cas justiﬁer l’existence d’un polynôme Qn vériﬁant Pn = Qn (1 − X) .
(3) Montrer par récurrence que Qn = 1 + 2X + · · · + nX n−1
3.1.6. Factorisation sur R et C. Soit P ∈ Kn [X].
Déﬁnition 3.5. Un polynôme P ∈ K [X] est dit irréductible s’il n’est pas le produit de deux
polynômes.
Théorème 3.5. Sur R [X] les polynômes irréductibles sont les polynomes de degré 1 et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif.
Sur C [X] les polynômes irréductibles sont les polynomes de degré 1.
Démonstration. Todo
Théorème 3.6. Sur C, le polynôme P admet une factorisation de la forme
P (x) = an (x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xn )
Démonstration. todo
Théorème 3.7. Sur R le polynôme P admet une factorisation de la forme
(
) (
)
P (x) = an (x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xp ) · · · x2 + α1 x + β1 · · · x2 + αm x + βm
avec n = 2m + p, et tous les polynômes du second degré irréductibles (c’est à dire de discriminant
négatif ∆k = αk2 − 4βk < 0, pour 1 6 k 6 m)
Démonstration. todo
Théorème 3.8. Un polynôme de degré inférieur ou égal à n qui a au moins n+1 racines distinctes
ou confondues est nul.
Démonstration. Un tel polynôme se factorise dans C [X] : P = (X − x1 ) (X − x2 ) . . . (X − xn ) (X − xn+1 ) Q
où xi(, 1 ≤ i ≤ n) + 1 sont les n + 1 racines et Q ∈ C [X]. Mais alors en développant on a
P = X n+1 + . . . Q donc degP = degQ + n + 1 ≤ n donc degQ ≤ −1 donc degQ = −∞, donc
Q = P = 0.
3.2 Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples
37
3.1.7. Division suivant les puissances croissantes. Il s’agit d’une forme de division autre
que la classique division euclidienne : si A et B sont deux polynômes, le terme constant de B étant
non nul, et si n est un entier strictement positif, alors il existe des polynômes Q et R (déterminés
de manière unique) tels que :
{
A = BQ + X n+1 R
deg (Q) 6 n
Démonstration. todo
On pose cette division un peu comme la classique division euclidienne, mais en écrivant les polynômes suivant les puissances croissantes, et en cherchant à éliminer d’abord les termes constants,
puis les termes en X, etc...
Exemple. A = 1 + X, B = 1 − X, on trouve à l’ordre 2 : Q = 1 + 2X + 2X 2 et R = 2
Exercice 3.7. dans R [X], trouver tous les polynômes P de degré inférieur ou égal à 4 vériﬁant :
(1) P (1) = P ′ (1) = 0 et P (0) = 0.
(2) P (0) = P ′ (0) = P ” (0) = 0 et P (1) = P ′ (1) = 0.
(3) P (1) = P ′ (1) = 0, P (−1) = P ′ (−1) = 0 et P (0) = 1.
Exercice 3.8. Factoriser au maximum, dans R puis dans C, (i.e. mettre sous forme de produits
de facteurs irréductibles) les polynômes suivants :
(
)(
)
(1) P = X 2 + X + 1 X 2 + 2X + 1
2
2
(2) P = (X − i) (X + i)
5
4
3
(3) P = X + X − 2X + X 2 + X − 2
3.2. Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples
A
Soit F = B
une fraction rationnelle sur K [X]. On cherche à décomposer F sous la forme d’une
somme de fractions rationnelles les plus simples possibles, en particulier dans la suite, pour pouvoir
4
trouver une primitive de F . Par exemple pour F = (X−1)(X+3)
on ne connaît pas explicitement
1
1
de primitive de F tandis que si l’on décompose F en éléments simples : F = X−1
− X+3
. On
∫
X−1
trouve facilement F = log X+3 .
3.2.1. La forme générale de la décomposition. Considérons donc une fraction rationnelle
A
F =B
ou A et B sont dans K [X], avec K = R ou K = C
Si deg A > deg B, on peut eﬀectuer la division euclidienne de A par B : A = BQ + R avec
R
deg R < deg B et on a donc F = Q + B
. Le polynôme Q est appelé partie entière de F . On se
R
ramène donc à calculer la décomposition de B
avec deg R < deg B.
Un théorème (dont nous ne donnerons pas la forme générale) dit que :
si deg A < deg B alors F peut se décomposer en éléments simples :
k
• Si B est un produit d’éléments de premier espèce comme par exemple B = (X − a) (X − b) ...,
(a et b dans K), alors il existe des coeﬃcients a1 , b1 , . . . , bβ ∈ K tels que :
F =
b1
b2
bk
a1
+
+
··· +
+ ...
k
X − a X − b (X − b)2
(X − b)
• Si B est un produit d’éléments de deuxième espèce
(
)(
)p
B = X 2 + aX + a′ X 2 + bX + b′ ...
alors la décomposition de F peut s’écrire :
F =
bp X + b′p
a1 X + a′1
b1 X + b′1
b2 X + b′2
+
+
+
·
·
·
+
p + ...
2
X 2 + aX + a′
X 2 + bX + b′
(X 2 + bX + b′ )
(X 2 + bX + b′ )
38
Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles
• Si B est un produit d’éléments de première et de deuxième espèce, alors les décompositions en
éléments simples se combinent. Par exemple, si
)2
3(
B = (X − a) X 2 + bX + b′
alors le décomposition de F est de la forme :
F =
a1
a2
a3
b1 X + b′1
b2 X + b′2
+
+
+ 2
+
2
3
2
X − a (X − a)
X + bX + b′
(X − a)
(X 2 + bX + b′ )
Les étapes à suivre pour calculer la décomposition de F sont résumées ci-dessous, et décrites en
détail dans les paragraphes suivants.
(1) Extraire, si nécessaire, la partie entière de F pour se ramener au cas où deg A < deg B (division
euclidienne de A par B)
(2) Factoriser A et B en un produit de termes irréductibles (degré 1 dans C, degré 1 ou 2 dans R).
(3) Si A et B ont des racines communes, simpliﬁer la fraction.
(4) Écrire la forme générale de la décomposition cherchée avec des constantes à déterminer.
(5) Regarder si l’on peut éliminer des inconnues par parité. (F doit être paire ou bien impaire pour
pouvoir faire quelque chose)
(6) Déterminer les coeﬃcients de la décomposition en utilisant une ou plusieurs des trois méthodes :
(a) valeurs particulières ;
(b) division euclidienne ;
(c) division suivant les puissances croissantes.
3.2.2. Partie entière de F =
A
B.
• Si on a deg A < deg B, alors la partie entiere de F est 0, cette étape est inutile.
• Sinon, la division de A par B fournit A = BQ + R avec deg R < deg B, donc F =
R
, la partie entière de F est Q.
Q+ B
BQ+R
B
=
3.2.3. Factoriser B.
• Si on décompose F sur C alors B est un produit de termes du premier degré.
• Si on décompose F sur R alors B est un produit de termes du premier degré et du second
degré.
3.2.4. Simpliﬁer la fraction. pour cela, on cherche si les racines complexes de B sont aussi
des racines de A, si c’est le cas, on peut simpliﬁer par X − α ou α est la racine en question.
Ou bien on factorise A et on simpliﬁe.
3.2.5. Si F est paire ou impaire. et seulement dans ce cas, on peut déterminer certaines
relations entre les coeﬃcients inconnus.
Par exemple : F =
X 2 +1
X(X 2 −X+1)(X 2 +X+1)
est impaire car F (−X) = −F (X).
De plus F a une décomposition de la forme
a
bX + c
dX + e
F =
+ 2
+
X
X − X + 1 X2 + X + 1
(
)
b(−X)+c
d(−X)+e
a
bX+c
dX+e
a
a
+ (−X)
+
=
−
+
+
Donc (−X)
2
2
2
2
X
X −X+1
X +X+1 ce qui donne : − X +
−(−X)+1
(−X) +(−X)+1
−bX+c
X 2 +X+1
a
−bX−c
−dX−e
+ X−dX+e
2 −X+1 = − X + X 2 −X+1 + X 2 +X+1 et en comparant terme à terme les deux membres
de cette égalité, on obtient : b = d, c = −e ce qui diminue notablement la quantité de calculs à
eﬀectuer.
3.2.6. Les diﬀérentes méthodes de calcul des coeﬃcients.
3.2 Fractions rationnelles, pratique de la décomposition en éléments simples
39
Méthode des valeurs particulières. A utiliser dans les cas simples, (que des termes de première
espèce), ou bien s’il ne reste que quelques (un ou deux) coeﬃcients à calculer.
On donne des valeurs particulières à X (penser à ∞) et on en déduit des égalités entre coeﬃcients
inconnus de la décomposition en éléments simples.
Quelques exemples :
a
b
= X+3
+ X−1
• on multiplie par X + 3 les deux membres de cette égalité puis on fait X = −3. On obtient
a = − 41
• on multiplie par X − 1 les deux membres de cette égalité puis on fait X = 1. On obtient
b = 14
a
b
c
1
(2) Pour (X+3)(X−1)
2 = X+3 + X−1 +
(X−1)2
• on multiplie par X + 3 les deux membres de cette égalité puis on fait X = −3. On obtient
1
a = 16
2
• on multiplie par (X − 1) les deux membres de cette égalité puis on fait X = 1. On obtient
1
c= 4
• on multiplie par X − 1 les deux membres de cette égalité puis on fait X → +∞. On
1
obtient 0 = a + b donc b = − 16
1
c
d
aX+b
(3) Pour (X 2 +X+1)(X−1)2 = X 2 +X+1 + X−1
+ (X−1)
2
(1)
1
(X+3)(X−1)
2
• on multiplie par (X − 1) les deux membres de cette égalité puis on fait X = 1. On obtient
d = 13
• on multiplie par X − 1 les deux membres de cette égalité puis on fait X → +∞. On
obtient 0 = a + c
• les valeurs X = 0 et X = −1 fournissent les relations 1 = b − c + d et 41 = b − a − 2c + d4
ﬁnalement
X +1
1
1
F =
−
+
2
3 (X + X + 1) 3 (X − 1) 3 (X − 1)2
Division euclidienne. A utiliser lorsqu’on a une partie polaire de seconde espèce, de multiplicité élevée. Par exemple :
F =
X 4 −1
(X 2 +X+1)3
a une décomposition de la forme F =
a1 X+b1
X 2 +X+1
+
a2 X+b2
(X 2 +X+1)2
+
a3 X+b3
(X 2 +X+1)3
(
)(
)
• La division de X 4 − 1 par X 2 + X + 1 fournit X 4 − 1 = X 2 + X + 1 X 2 − X + X − 1 .
• Donc
( 2
)(
)
X + X + 1 X2 − X + X − 1
F =
3
(X 2 + X + 1)
X2 − X
X −1
=
2 +
3
2
2
(X + X + 1)
(X + X + 1)
ce qui fournit le troisième terme de la décomposition de F : a3 = 1, b3 =
( −1
)
• On recommence : la division de X 2 −X par X 2 +X +1 fournit X 2 −X = X 2 + X + 1 −2X −1
2
−X
1
2X+1
• donc (X X
2 +X+1)2 = X 2 +X+1 − (X 2 +X+1)2 qui sont les termes 1 et 2 de la décomposition de F
• Finalement F =
1
X 2 +X+1
−
2X+1
(X 2 +X+1)2
+
X−1
(X 2 +X+1)3
Division suivant les puissances croissantes. A utiliser si la décomposition comprend des termes
de première espèce de degré élevé.
∑
ai
aX+b
• Par exemple F = X 10 (XX
2 −X+1) a une décomposition de la forme X 2 −X+1 +
16i610 X i . On
eﬀectue la division suivant les puissances croissantes de X par X 2 − X + 1, à l’ordre 9 (c’est à
dire, jusqu’à ce que X 10 soit en facteur dans le reste) :
(
)(
)
X = 1 − X + X 2 X + X 2 − X 4 − X 5 + X 7 + X 8 − X 10
40
Chapitre 3. Polynômes et Fractions rationnelles
donc
(
)
X + X 2 − X 4 − X 5 + X 7 + X 8 − X 10
F =
X 10 (X 2 − X + 1)
2
4
X + X − X − X5 + X7 + X8
1
=
− 2
10
X
X −X +1
1
1
1
1
1
1
1
=− 2
+ 2+ 3− 5− 6+ 8+ 9
X −X +1 X
X
X
X
X
X
• F = (X−1)10X−1
:
dans
ce
cas
on
fait
le
changement
de
variable
Y = X − 1, soit
(X 2 −3X+3)
1 − X + X2
)(
X = Y + 1, donc F = Y 10 (Y 2Y−Y +1) et on est ramené au cas précédent, avec Y au lieu de X.
Donc
1
1
1
1
1
1
1
F = − 2
+ 2+ 3− 5− 6+ 8+ 9
Y −Y +1 Y
Y
Y
Y
Y
Y
1
1
1
1
1
1
1
= − 2
+
+
3 −
5 −
6 +
8 +
9
X − 3X + 3 (X − 1)2
(X − 1)
(X − 1)
(X − 1)
(X − 1)
(X − 1)
Exercice 3.9. Décomposer dans R [X] les fractions rationnelles suivantes :
(1) Par la méthode des valeurs particulières, en utilisant les éventuelles propriétés de parité :
(
)
3
X X6 − 1
(X − 1)
X +2
X2 − 2
;
;
;
3
X2 − 4
X 2 (X 2 + X + 1)
4X 2 (2X 2 + 3)
(X 2 − 1)
(2) Par la méthode dela division euclidienne :
X4 − 1
(X 2 + X + 1)
;
3
X5 + 2
X 4 + 4X 2 + 4
(3) Par division suivant les puissances croissantes :
X3 + 4
(X 2 + 2)
X3
;
1
5
(X − 1) (X 2 − X + 1)
;
1
(X − 1)
10
(X 2 − 2X + 4)
Exercice 3.10. Décomposer dans C [X] les fractions rationnelles :
X 2 + 2X + 1
X2 + 1
;
(X 2
X2 − 1
+ 2iX + 1) (X − 1)
;
1
2
(X 2 + X + 1) − X 2
;
X2 + 1
X (X 2 − 1)
2
4.1 Déﬁnitions et notations
41
CHAPITRE 4
Matrices
4.1. Déﬁnitions et notations
On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs.
4.1.1. Matrices.
Déﬁnition. On appelle matrice à coeﬃcients dans K à n lignes et p colonnes, toute application
de [1, n] × [1, p] à valeurs dans K. On parle aussi de matrice (n, p) ou matrice n × p à coeﬃcients
dans K. Les entiers n et p sont les dimensions de la matrice. On note Kn,p ou Mn,p (K) l’ensemble
des matrices n × p à coeﬃcients dans K.
Cette déﬁnition n’est que la formalisation mathématique de la notion de tableau à n lignes et p
colonnes, à coeﬃcients dans K.
Comme pour les suites, on utilisera un double indice plutôt que la notation fonctionnelle pour
représenter les éléments de la matrice : si A est une matrice n × p, alors l’élément de la i-ème ligne
j-ème colonne est noté ai,j et on notera
A
ou bien

A
a1,1
a2,1
..
.




= 
 ai,1

 .
 ..
an,1
= (ai,j ) 1 6 i 6 n
16j6p
a1,2
a2,2
..
.
...
...
a1,j
a2,j
..
.
...
...
a1,p
a2,p
..
.
ai,2
..
.
...
ai,j
..
.
...
ai,p
..
.
an,2
...
an,j
...
an,p










• On appelle
– i-ème ligne de A le vecteur (ai,1 , ai,2 , . . . , ai,p ) de Kp ,
– j-ème colonne de A le 
vecteur 
(a1,j , a2,j , . . . , an,j ) de Kn , que l’on notera le plus souvent
a1,j
 a2,j 


sous forme de colonne  . 
 .. 
an,j
• si n = 1 on dit que A est une matrice ligne, si p = 1 on dit que A est une matrice colonne.
• La transposée de A, notée At ou bien t A, est une matrice (p, n) dont l’élément générique bi,j
est aj,i . Elle est obtenue à partir de A en permutant les lignes et colonnes. On a bien sûr
t
– (At ) = A
Pierre Puiseux
42
Chapitre 4. Matrices
Fig. 1. Diﬀérentes régions d’une matrice
4.1.2. Matrices carrées.
• si n = p on dit que A est une matrice carrée.
Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu’elle est :
• triangulaire inférieure si ∀ (i, j) , i < j ⇒ ai,j = 0 ; elle est de la forme :


a1,1
0 ...
0
 ..
.. 
..
..
 .
.
.
. 


A =  .

.
..
 ..
0 
an,1 . . . . . . an,n
• triangulaire supérieure si ∀ (i, j) , i > j ⇒ ai,j = 0 ; elle est de la forme :


a1,1 . . . . . . a1,n

.. 
..
 0
.
. 


A =  .
.. 
.
.
..
..
 ..
. 
0
...
0 an,n
• diagonale si ∀ (i, j) , i ̸= j ⇒ ai,j = 0 ; elle est de la forme

λ1 0 . . . 0

..
 0 ... ...
.

A =  .
.
.
..
.. 0
 ..
0 ...
0 λn






et on la note Diag (λ1 , . . . , λn ).
• Pour k ∈ [−n, n], la k-ème diagonale de A est le vecteur (éventuellement vide) de coordonnées
(ai,i+k )max(1−k,1)6i6min(n−k,p)
•
•
•
•
A est symétrique si et seulement si A est carrée et si A = At ,
A est antisymétrique si et seulement si A est carrée et si At = −A
La matrice In = Diag (1, . . . , 1) ∈ Kn,n est appelée matrice identité
La matrice 0 ∈ Kn,n qui ne contient que des zéros est appelée matrice nulle
On pourra démontrer à titre d’exercice les propriétés suivantes :
• Une matrice A est diagonale si et seulement si elle est triangulaire supérieure et triangulaire
supérieure.
• A est triangulaire supérieure si et seulement si At est triangulaire inférieure.
4.2 Opérations sur les matrices
43
• La k-ème diagonale de A est également l’ensemble des coeﬃcients
{ai,j , 1 6 i 6 n, 1 6 j 6 p, j − i = k}
4.2. Opérations sur les matrices
4.2.1. Addition de deux matrices.
Déﬁnition. Soient A = (ai,j ) 1 6 i 6 n ∈ Kn,p et B = (bi,j ) 1 6 i 6 n ∈ Kn,p deux matrices de
16j6p
mêmes dimensions. On déﬁnit la somme C = A + B par
C
16j6p
= (ci,j ) 1 6 i 6 n
16j6p
(
Exemple.
ci,j
1
0
2
5
=
ai,j + bi,j
) (
) (
4
1 0 −2
2 2
+
=
1
0 −3 1
0 2
2
2
)
4.2.2. Produit de deux matrices.
Déﬁnition. Etant données deux matrices
A
= (ai,k )1 6 i 6 m ∈ Km,n
16k6n
et
B
=
(bk,j ) 1 6 k 6 n ∈ Kn,p
16j6p
le produit A × B est la matrice C = (ci,j ) 1 6 i 6 m ∈ Km,p avec
ci,j
16j6p
∑
=
ai,k bk,j
16k6n
Remarque.
(1) Comme on le fait pour le produit de deux réels, en l’absence d’ambiguïté, on notera AB au
lieu de A × B.
(2) Pour pouvoir eﬀectuer le produit de deux matrices A et B, il faut que les dimensions soient
compatibles. Un moyen eﬃcace pour mémoriser la règle : le produit de deux matrices (m, n) ×
(n, p) est une matrice (m, p), le produit “mange” la dimension intermédiaire, cette dimension
doit être comestible !
(3) Même si les deux produits sont déﬁnis, en général A × B ̸= B × A
(4) Si A = (ai,k )1 6 i 6 m ∈ Rm,n et X = (xi,1 )1≤i≤n ∈ Rn,1 , alors en notant xi au lieu de xi,1 la i16k6n



ème coordonnée de X, le produit A×X est la matrice A×X = 

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
de Rm,1 que l’on peut confondre avec le vecteur de Rm de même coordonnées.





44
Chapitre 4. Matrices
(5) Pour des raison typographiques de commodité, les vecteurs colonne,c’est
x1
 x2

T
de Rn,1 , seront souvent notés X = (x1 , x2 , . . . , xn ) plutôt que X =  .
 ..
àdire les éléments


.

xn
(6) Pratiquement, pour calculer le produit de deux matrices, on dispose les deux matrices de la
manière suivantes :
Exemple.




(
)
1 2
1 4 5
1
2
3
(1)  1 3  ×
= 1 5 6 
0 1 1
2 5 7


 2 1
1
2
3
1
(
)
0
0 
(2)  0  × 1 2 3 =  0
−1 −2 −3
−1


1
(
)
(3) 1 2 3 ×  0  = (−2) à comparer avec le résultat précédent
−1
(
)
(
)
1 2
1 3
(4) Vériﬁer que AB ̸= BA : A =
B=
3 4
2 4
(5) Soit Dn (pour être complet il faudrait parler de Dn (K)) l’ensemble des matrices diagonales (à
coeﬃcients dans K) et soient A ∈ Dn et B ∈ Dn . Montrer ∑
que AB ∈ Dn 1 et que AB = BA2
n,n
Posons AB = C ∈ K . Pour 1 6 i, j 6 n, on a ci,j = 16k6n ai,k bk,j . Or les seuls termes
ai,k [resp.bk,j ] non nuls sont ceux pour lesquels i = k [resp.k = j]. Par conséquent, si i ̸= j
alors au moins un des deux termes ai,k ou bk,j est nul donc ci,j = 0. Si i = j, il ne subsiste dans
la somme que le terme ci,i = ai,i bi,i . D’où le résultat.
(6) Soit Tn (K) (Tn en abrégé) l’ensemble des matrices triangulaires supérieures (à coeﬃcients dans
K) et soient A ∈ Tn et B ∈ Tn .
(a) Montrer que AB ∈ Tn . (Diﬃcile)
(b) Donner un exemple montrant que la multiplication n’est pas commutative dans Tn .
(7) Le produit de deux matrices symétriques est-il symétrique ?
t
Non car (AB) = B t At = BA ̸= AB
1On dit que la multiplication est une opération interne sur D
n
2On dit que la multiplication des matrices est une opération commutative sur D
n
4.3 Propriétés
45
(
)
1 2
(8) Soit A =
trouver une matrice B ∈ R2,2 , non nulle, telle que AB = 0. Calculer BA.
0 0
(
)
)
)
(
(
2 −2
0 0
2
4
• La matrice B =
convient car AB =
et BA =
−1 1
0 0
−1 −2
Théorème 4.1. Si u et v sont deux applications linéaires u : Rn → Rm et v : Rp → Rn de matrices
A ∈ Rm,n et B ∈ Rn,p dans les bases canoniques, alors l’application linéaire u ◦ v : Rp → Rm a
pour matrice A × B dans la base canonique de Rm,p .
Démonstration. X désignant les coordonnées du vecteur x dans la base canonique de Rp ,
on a u ◦ v (x) = u (v (x)) = u (B × X) = A × (B × X) et par associativité de ×, on obtient le
résultat.
4.2.3. Produit d’une matrice par un scalaire.
Déﬁnition. Soit λ ∈ K et A = (ai,j ) 1 6 i 6 m une matrice de Km,n . Le produit du scalaire λ
16i6n
par la matrice A est la matrice
λ.A
= (λaij ) 1 6 i 6 m
16j6n
Remarque. Comme pour le produit de deux matrices, on notera souvent λA au lieu de λ.A

  1

1
1 2
2
Exemple. 12 .  2 1  =  1 12 
1
1 0
0
2
4.3. Propriétés
A, B et C désignent trois matrices quelconques dont les dimensions sont compatibles avec les
égalités écrites.
λ et µ sont deux scalaires de K
4.3.1. Distributivité.
(1)
(2)
(3)
(4)
A × (B + C) = A × B + A × C, A ∈ Rm,n , B et C ∈ Rn,p
(A + B) × C = A × C + B × C, A et B ∈ Rm,n , C ∈ Rn,p
λ. (A + B) = λ.A + λ.B, A et B ∈ Rm,n
(λ + µ) .A = λ.A + µ.A, A ∈ Rm,n
4.3.2. Associativité.
(1) A + (B + C) = (A + B) + C, A, B et C ∈ Rm,n
(2) A × (B × C) = (A × B) × C, A ∈ Rm,n , B ∈ Rn,p , C ∈ Rp,q
(3) A × (λ.B) = (λ.A) × B = λ. (A × B) , A ∈ Rm,n , B ∈ Rn,p
4.3.3. Commutativité.
(1) A + B = B + A, A et B ∈ Rm,n
(2) A × B ̸= B × A, A ∈ Rm,n , B ∈ Rn,p
4.3.4. Elément neutre pour l’addition 0m,n . La matrice nulle 0m,n ∈ Km,n est la matrice
ne contenant que des zéros. Elle est élément neutre pour l’addition des matrices dans Km,n , c’est
à dire
∀A ∈ Km,n
, A + 0m,n = 0m,n + A = A
46
Chapitre 4. Matrices
4.3.5. Elément neutre pour la multiplication : Im,n .
(1) La matrice identité, In ∈ Kn,n est élément neutre (à droite et à gauche) pour la multiplication
des matrices dans Kn,n , c’est à dire
∀A ∈ Kn,n
,
A × In = In × A = A
(2) Pour les matrices de K
: In est élément neutre à droite et Im élément neutre à gauche pour
la multiplication. C’est à dire : ∀A ∈ Km,n
m,n
A =
A × In
=
Im × A
4.3.6. Divers.
(1) Le produit de deux matrices diagonales D = Diag (d1 , d2 , . . . , dn ) et D′ = Diag (d′1 , d′2 , . . . , d′n )
est la matrice diagonale
D × D′ = Diag (d1 d′1 , d2 d′2 , . . . , dn d′n )
t
(2) Transposition (AB) = B t At ,
A ∈ Rm,n , B ∈ Rn,p
4.3.7. L’espace vectoriel (Km,n , +, .). Certaines propriétés de l’ensemble des matrices Km,n
peuvent être résumées en
Théorème 4.2. (Km,n , +, .) est un espace vectoriel, c’est à dire :
• (Km,n , +) est un groupe commutatif ;
• le produit par un scalaire vériﬁe ∀λ, µ ∈ K et ∀A, B ∈ Km,n :
– λ. (µ.A) = (λµ) .A
– λ. (A + B) = λ.A + λ.B
4.3.8. L’anneau des matrices carrées d’ordre n. Pour les matrices carrées d’ordre n, les
propriétés précédentes peuvent se résumer en :
Théorème 4.3. (Kn,n , +, ×) est un anneau (unitaire), c’est à dire :
• (Kn,n , +) est un groupe commutatif d’élément neutre 0n
• La loi × est interne, associative, et distributive par rapport à +, et elle admet un élément
neutre In .
4.3.9. Matrice d’une application linéaire. Soit u : Rn →
c’est à dire une application de la forme :



x1
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
 x1 
 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn



u .  = 
..
 .. 

.
xn
Rm une application linéaire



 ∈ Rm

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
T
On peut l’écrire sous forme condensée u (x) = A.x avec A = (ai,j ) 1 ≤ i ≤ m et x = (x1 , x2 , . . . xn ) .
1≤j≤n
La matrice A est appelée la matrice de l’application linéaire u (sous entendu dans les bases canoniques de Rn et Rm ).
Le « point » dans cette écriture correspond au produit matriciel.
On voit que les vecteurs colonnes de la matrice A sont les coordonnées des images des vecteurs de
la base canonique de Rn : pour ei = (δij )1≤j≤n , i-ème vecteur de la base canonique de Rn , on a
T
u (ei ) = (a1i , a2i , . . . , ami ) qui est bien le i-ème vecteur colonne de A.
4.4 Inverse d’une matrice
47
4.3.10. Matrice d’un système linéaire. Un système d’équations linéaires (ou plus simplement système linéaire) à n inconnues x1 , x2 , . . . , xn et m équations est une système d’équations
de la forme :

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn



 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
..

.



am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn
(17)
=
=
b1
b2
..
.
= bm
n
m
On peut
 écrire ce système F (X)= B où F est une application linéaire de R dans R , de matrice
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


T
A= .
..
..  ∈ Rm,n , où X est le vecteur colonne X = (x1 , x2, . . . , xn ) ∈
 ..

.
.
am1 am2 . . . amn
T
Rn et B est le vecteur colonne B = (b1 , . . . , bm ) ∈ Rm . Le système linéaire (17) s’écrit donc
matriciellement :
A.X = B
dans cette écriture, le point correspond à la multiplication des matrices A et X.
4.4. Inverse d’une matrice
Déﬁnition 4.1. Une matrice carrée A ∈ Kn,n est dite inversible s’il existe une matrice B ∈ Kn,n
vériﬁant
AB
= BA = In
Si elle existe l’inverse de A ∈ Rn,n est unique, elle est notée A−1 , et appartient elle aussi à
l’ensemble Rn,n .
Démonstration. Supposons que A admette deux inverses B et B ′ alors
AB
= AB ′ = In
En posant C = B − B ′ , et en utilisant les propriétés de distributivité, on obtient AC = 0n . On
multiplie cette équation à gauche par B et il vient B (AC) = (BA) C = 0n et comme (BA) C =
In C = C on en déduit C = 0n c’est à dire B = B ′ , ce qui prouve l’unicité.
Exemple.
(1) La matrice In est( inversible,
) elle est sa propre inverse car
( In In =)In
1 2
1 −2
(2) La matrice A =
admet pour inverse A−1 =
0 1
0 1
T
T
Proposition 4.1. Soient A ∈ Rn,n une matrice, x = (x1 , x2 , . . . xn ) ∈ Rn,1 et b = (b1 , b2 , . . . bn ) ∈
R1,n deux vecteurs. On considère le système linéaire de n équations à n inconnues
A.x = b
Si A est inversible, alors ce système admet la solution unique x = A−1 .b
Démonstration. Si A.x = b et A est inversible, alors A−1 .A.x = A−1 b donc In .x = A−1 .b
donc x = A−1 .b. Réciproquement si x = A−1 .b alors Ax = A.A−1 .b = In .b = b.
48
Chapitre 4. Matrices
Proposition. Une matrice A ∈ Kn,n est inversible si et seulement si ∀x ∈ Kn ,
Ax = 0 ⇒
x=0
Une matrice diagonale D = Diag (d1 , d2 , . . . , dn ) est inversible si et seulement si( ses coeﬃcients
)
diagonaux sont tous non nuls, c’est à dire d1 d2 . . . dn ̸= 0. Dans ce cas D−1 = Diag d11 , d12 , . . . , d1n

y1


Remarque. Soit A ∈ Rn,n une matrice inversible. On se donne Y =  ...  ∈ Rn,1 quelconque.
yn
Considérons l’équation AX = Y dont l’inconnue est la matrice X ∈ Rn,1 . Comme A est inversible,
peut) écrire A−1 (AX) = A−1 Y c’est à dire, en utilisant l’associativité de la multiplication :
(on −1
A A X = A−1 Y soit ﬁnalement
Démonstration. admis.

Y = AX
X = A−1 Y
⇐⇒
Donc si l’on sait calculer une solution X de l’équation AX = Y , cette solution dépend de Y , et
cette dépendance fournit très précisément la matrice A−1 comme le montre l’équivalence ci dessus.
)
(
1 2
Exemple. Soit A =
.
0 1
(1) A est inversible car
{
=⇒
AX = 0
=⇒
(2) Calculons son inverse :
x1 + 2x2 = 0
x2 = 0
( )
0
X=
0
{
AX = Y
⇐⇒
{
⇐⇒
⇐⇒
(
on en déduit que A−1 =
1
0
−2
1
)
x1 + 2x2
x2
= y1
= y2
y1 − 2y2
y2
(
)
1 −2
X=
Y
0 1
x1
x2
=
=
(3) On vériﬁe (facultatif) que l’on a bien trouvé l’inverse :
(
) (
)
1 2
1 0
=
0 1
0 1
(
1 2
0 1
) (
) (
)
1 −2
1 −2
×
=
×
0 1
0 1
Pour calculer l’inverse d’une matrice
∈ Rn,n , on résoud le système d’équa A
y1
 .. 
tions linéaires AX = Y où Y =  .  ∈ Rn,1 est quelconque. La solution
yn

x1


est X =  ...  ∈ Rn,1 dépend linéairement des yi , une dépendance de la
xn
forme matricielle X = BY . On obtient alors A−1 = B

Méthode du pivot de Gauss pour le calcul de l’inverse d’une matrice : on écrit côte à côte la
matrice carrée à inverser et la matrice identité.
4.4 Inverse d’une matrice
49
Par des combinaisons linéaires de lignes, on introduit des 0 dans la partie triangulaire inférieure
de la matrice A. On eﬀectue les mêmes opérations sur la matrice identité. On procède colonne par
colonne. Par exemple :
(
) (
)
2 1
1 0
,
1 2
0 1
on normalise les lignes l1 des deux matrices en les divisant par 2, de sorte à avoir 1 sur la diagonale
principale de A :
)
(
) ( 1
0
1 12
2
,
0 1
1 2
on remplace la ligne l2 par l2 −l1 dans les deux matrices, de sorte à mettre un zéro dans la première
colonne de A :
(
) ( 1
)
1 12
0
2
,
0 32
− 12 1
On continue à introduire des zéros sur toute la première colonne, puis sur la seconde colonne,
dans la partie triangulaire inférieure de A. Pour la colonne j, on utilise la ligne j, après l’avoir
normalisée, aﬁn que le terme diagonal ajj soit égal à 1.
On normalise la ligne l2 de A en la multipliant par 13 = 23 de sorte qu’apparaisse un 1 sur la
2
diagonale principale de A :
)
(
)
(
1
0
1 21
2
,
0 1
− 13 23
A ﬁnir




1
2
1 −1
 0
1 2 3
Soient les matrices A =
B =  5  C =  2 3  et D = 
 0
−1 0 2
3
0 4
−4
(a) Calculer, s’ils ont un sens les produits suivant :
A.B ; B.A ; A.C ; C.A ; A.D ; D.A ; B.C ; B.D ; D.B ; C.D ; D.C
t
t
(b) calculer(A.C) ; (C.A) 
; C t .At ; 

1
0
5
0 3 −1
3 −2  et B =  1 4 2 .
Soient A =  2
−4 −1 7
0 6 0
(a) Calculer A2 , B 2 , 2AB et enﬁn A2 + 2AB + B 2
2
(b) Calculer
 A + B puis (A +
B) . Remarque

?
1
0
5
x
3 −2  et X =  y . Calculer X t AX.
Soient A =  2
−4 −1 2
z

(
)(
)
1 1 1
) 1 1
)
(
(
x1

x
x
x
x
x
1 1 1
Calculer S2 =
, puis S3 =
1
2
1
2
3
1 1
x2
1 1 1
2
En déduire une écriture matricielle de la somme Sn = (x1 + x2 + · · · + xn ) .
2
4,4
Ecrire in extenso la matrice A ∈ R dont le terme général est Ai,j = (j + i + 1)
n,n
Soit D ∈ R
une matrice diagonale.
(a) Montrer que D est inversible si et seulement si ∀i, 1 ≤ i ≤ n, dii ̸= 0.
(b) Calculer l’inverse de D.


1 0 1
Calculer l’inverse de la matrice A =  0 3 1 
−1 2 0
√ )
(
3
3
√
Soit M =
− 3 −1
(a) Calculer M 2 et montrer qu’il est de la forme λM , déterminer λ.
(
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
)

6
3
2
1


0
−5 
.
7 
−2

x1
  x2 .
x3
50
Chapitre 4. Matrices
(b) Calculer M 3 et M 4 en fonction de M et λ, puis en déduire la valeur de M n en fonction
de M,
( λ et n. )
0 1
(9) Soit A =
−1 0
(a) Calculer A2 , A3 et A4 ;
4p
4p+1
(b) pour
, A4p+2 , A4p+3
 tout p ∈ N,calculerA ,A
 .
2 4 3
3 −10 −1
8
2 . Calculer A.B et en déduire que B est
(10) Soient  0 1 1  = et B =  −2
2 2 −1
2
−4 −2
inversible, etcalculer B −1
.
1 1 0
(11) Soient A =  0 1 1 . Calculer B = A − I3 et B n pour n ∈ N.

 0 0 1
√
(12)
(13)
(14)
(15)
0
1 − 23
f: R →
R3,3


1
2
0
Soit A =  −1
 et l’application
2
√
x 7→ I3 + xA + x2 A2
3
1
0
− 2
2
(a) Calculer A3 .
(b) Comparer f (x + y) et f (x) .f (y)
(c) Calculer f (x) f (−x) et f (−x) f (x), en déduire que f (x) est une matrice inversible,
calculer son
( inverse.
)−1
(d) Calculer I3 + 4A + 8A2
Montrer que toute matrice carrée est somme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique.


 ′ 
a
a
On considère deux matrices U =  b  et V =  b′  vériﬁant V t U = 0.
c
c′
2
(a) calculer U t V et U V t . Montrer que (U V t ) = 0.
(b) On pose A = I3 + U V t . Calculer A2 et A3 en fonction de I3 , U et V t . En déduire An pour
n ∈ N.
−1
(c) Calculer le produit 
(I3 + U V t ) (I3 − U V t ).Montrer 
que A est inversible
 et calculer A .
−1 1
1 −2
0 0 0 1
 1 −1 −2 1 
 0 0 1 0 




Soient les matrices A = 
et J = 
1 −2 −1 1 
0 1 0 0 
−2 1
1 −1
1 0 0 0
(a) Montrer que A et J commutent, calculer J 2 et en déduire J −1 .
(b) Soit B = A + 2I4 + 3J. Calculer B 2 et trouver une relation simple entre B et B 2 .
(c) En déduire une relation entre A2 , AJ et I4 . Donner alors la valeur de A−1 .
(d) Résoudre le système linéaire :

−x
+y
+z −2t = −5



x
−y −2z
+t =
0
x
−2y
−z
+t
=
10



−2x
+y
+z
−t = 10
51
Bibliographie
[wikipedia] http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe
17
Pierre Puiseux