DM 10 TS3 - Case des Maths

DEVOIR EN TEMPS LIBRE N ◦X : Lois normales
TS3 Le corrigé
Lois normales
Exercice 1
On considère une variable aléatoire Xsuivant une loi binomiale de paramètre 42 et 0,3 (Xsuit
B(42;0,3))
1. Déterminer l’espérance, la variance et l’écart type de la variable aléatoire X.
La variable aléatoire Xsuit une loi binomiale de paramètre 42 et 0,3 . Ainsi, on a :
✐E(X) = np = 42 ×0,3 = 12,6
✐V(X) = np(1 −p) = 42 ×0,3×0,7 = 8,820
✐σ(X) = pnp(1 −p) = √8,820 ≈2,97
2. A l’aide de la calculatrice, on a les valeurs approchées des probabilités recherchées :
✐P(X ≤15) ≈0,8359 ≈0,836 ;
On tape BinomFRép(42,0.3,15)
✐P(9 ≤X≤19) = P(X ≤19) −P(X <9) = P(X ≤19) −P(X ≤8) ≈0,9878 −0,0797 ≈0,908 ;
On tape BinomFRép(42,0.3,15)-BinomFRép(42,0.3,8)
✐P(X ≥10) = 1 −P(X <10) = 1 −P(X ≤9) = 1 −0,1476 ≈0,8524 ≈0,852 ;
3. a) Pour tous réels aet bvérifiant a < b, justifier l’approximation suivante :
P a < X−E(X)
σ(X) < b!≈P(a < Z< b)
où Zsuit la loi normale centrée réduite.
n= 42 ≥30 ;np = 12,6≥5;n(1−p) = 29,6≥5Nous sommes dans le cadre de l’utilisation
du théorème de Moivre-Laplace, ainsi nous pouvons utiliser l’approximation :
P a < X−E(X)
σ(X) < b!≈P(a < Z< b)
Remarque
b) En utilisant la loi normale centrée réduite, déterminer une approximation des probabilités
présentées à la question 2. b.
Ainsi, grâce à l’approximation réalisée, on a le calcul de probabilité suivant :
✐P(9 ≤X≤19) = P9−µ
σ≤X−µ σ≤19 −µ σ≈P9−µ σ≤Z≤19 −µ σoù Zsuit la loi normale
centrée réduite.
Or P9−µ
σ≤Z≤19 −µ σ= P9−12,6 2,97 ≤Z≤19 −12,6 2,97 = P(−1,549 ≤Z≤2,155)
On obtient avec la calculatrice P(−1,212 ≤Z≤2,147)= NormalFrep(−1,212,2,147) ≈0,871
P(9 ≤X≤19) ≈0,871

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Exercice 2
Partie A
1.
E
0,7
C
0,95
C
0,05
E
0,3
C
0,99
C
0,01
2. On cherche PC∩E= P
E(C)×PE= 0,95 ×0,70 = 0,665
3. D’après la formule des probabilités totales :
P(C)= PC∩E+ P(C ∩E) = 0,665 + 0,99 ×0,30 = 0,962.
4. P
C(E)=P(E∩C)
P(C)=0,99 ×0,30 0,962 ≈0,309 à10−3près
Partie B
1. Xsuit la loi normale N0,17 ; 0,0062.
On cherche à calculer la probabilité P(0,16 6X60,18)qui est égale à 0,9044 d’après la table.
a) D’après le cours, comme Ysuit une loi normale Nm2;σ2
2, alors Z = Y−m2
σ2
suit la loi nor-
male centrée réduite N(0,1).
b)
0,16 6Y60,18 ⇐⇒ 0,16 −0,17
σ2
6Y−0,17
σ2
60,18 −0,17
σ2
soit −0,01
σ2
6Z60,01
σ2
Donc lorsque Yappartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18], alors Zappartient à l’intervalle
"−0,01
σ2
;0,01
σ2#.
c) On sait que cette probabilité doit être égale à 0,990, le tableau donné permet d’obtenir
β= 2,5758
d’où 0,01
σ2
= 2,5758 ⇔σ2= 0,00385
En conclusion, à 10−3près, σ2≈0,004.
Exercice 3
On considère une variable aléatoire Xnsuivant une loi binomiale de paramètre net p(Xnsuit B(n;p)).
On considère la variable aléatoire Zndéfinie par : Zn=Xn−np
pnp(1 −p)
1. Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire Zn.
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✐E(Zn) = E
Xn−np
pnp(1 −p)
= E
1
pnp(1 −p).Xn−np pnp(1 −p)
=1
pnp(1 −p)E(Xn)−np pnp(1 −p)
E(Zn) = np
pnp(1 −p)−np pnp(1 −p)= 0
✐V(Zn) = V 
Xn−np
pnp(1 −p)
= V
1
pnp(1 −p).Xn−np pnp(1 −p)
=
1
pnp(1 −p)
2
V(Xn)
V(Zn) = 1
np(1 −p)×np(1 −p) = 1
E(Zn) = 0 et V(Zn) = 1, on dit que Znest centrée et réduite !
2. Que peut-on dire de la valeur de la limite suivante : lim
n→+∞P(a≤Zn≤b)
D?après le théorème de Moivre-Laplace, on a :
lim
n→+∞P(a≤Zn≤b)= P(a≤Z≤b
où Zsuit la loi normale centrée et réduite de moyenne µ= 0 et σ= 1 .
3. Donner la valeur de la limite : lim
n→+∞P(−1,96 ≤Zn≤1,96)
lim
n→+∞P(−1,96 ≤Zn≤1,96)= P(−1,96 ≤Z≤1,96 = 0,95
4. On pose Fn=Xn
n. Donner la valeur de la limite suivante : lim
n→+∞P
p−1,96pp(1 −p)
√n≤Zn≤p+ 1,96pp(1 −p) √n
lim
n→+∞P
p−1,96pp(1 −p)
√n≤Zn≤p+ 1,96pp(1 −p) √n
= 0,95
car l’intervalle 
p−1,96pp(1 −p)
√n;p+ 1,96pp(1 −p) √n
est l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%
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