DM 10 TS3 - Case des Maths

D EVOIR
EN TEMPS LIBRE N ◦
TS3
X : Lois normales
Le corrigé
Lois normales
Exercice 1
On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètre 42 et 0,3 (X suit
B(42; 0,3))
1. Déterminer l’espérance, la variance et l’écart type de la variable aléatoire X.
La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre 42 et 0,3 . Ainsi, on a :
✐ E(X) = np = 42 × 0,3 = 12,6
✐ V(X) = np(1 − p) = 42 × 0,3 × 0,7 = 8,820
p
√
✐ σ(X) = np(1 − p) = 8,820 ≈ 2,97
2. A l’aide de la calculatrice, on a les valeurs approchées des probabilités recherchées :
✐ P(X ≤ 15) ≈ 0,8359 ≈ 0,836 ;
On tape BinomFRép(42,0.3,15)
✐ P(9 ≤ X ≤ 19) = P(X ≤ 19) − P(X < 9) = P(X ≤ 19) − P(X ≤ 8) ≈ 0,9878 − 0,0797 ≈ 0,908 ;
On tape BinomFRép(42,0.3,15)-BinomFRép(42,0.3,8)
✐ P(X ≥ 10) = 1 − P(X < 10) = 1 − P(X ≤ 9) = 1 − 0,1476 ≈ 0,8524 ≈ 0,852 ;
3. a) Pour tous réels a et b vérifiant a < b, justifier l’approximation suivante :
!
X − E(X)
P a<
< b ≈ P(a < Z < b)
σ(X)
où Z suit la loi normale centrée réduite.
Remarque
n = 42 ≥ 30 ; np = 12,6 ≥ 5 ; n(1 − p) = 29,6 ≥ 5 Nous sommes dans le cadre de l’utilisation
du théorème de Moivre-Laplace, ainsi nous pouvons utiliser l’approximation :
!
X − E(X)
< b ≈ P(a < Z < b)
P a<
σ(X)
b) En utilisant la loi normale centrée réduite, déterminer une approximation des probabilités
présentées à la question 2. b.
Ainsi, grâce à l’approximation réalisée, on a le calcul de probabilité suivant :
19 − µ
9 − µ X − µ 19 − µ
9−µ
≤
≤
≤Z≤
✐ P(9 ≤ X ≤ 19) = P
≈P
où Z suit la loi normale
σ
σ
σ
σ
σ
centrée
réduite.
9−µ
19 − µ
19 − 12,6
9 − 12,6
Or P
≤Z≤
≤Z≤
=P
= P (−1,549 ≤ Z ≤ 2,155)
σ
σ
2,97
2,97
On obtient avec la calculatrice P (−1,212 ≤ Z ≤ 2,147) = NormalFrep(−1,212,2,147) ≈ 0,871
P(9 ≤ X ≤ 19) ≈ 0,871
DM 10 TS3
TS
Exercice 2
Partie A
1.
0,95
C
b
E
b
0,7
C
b
0,05
b
0,99
C
b
E
0,3
b
0,01
b
C
2. On cherche P C ∩ E = PE (C) × P E = 0,95 × 0,70 = 0,665
3. D’après la
formule
des probabilités totales :
P (C) = P C ∩ E + P(C ∩ E) = 0,665 + 0,99 × 0,30 = 0,962.
4. PC (E) =
P (E ∩ C) 0,99 × 0,30
≈ 0,309 à 10−3 près
=
P (C)
0,962
Partie B
1. X suit la loi normale N 0,17 ; 0,0062 .
On cherche à calculer la probabilité P (0,16 6 X 6 0,18) qui est égale à 0,9044 d’après la table.
Y − m2
a) D’après le cours, comme Y suit une loi normale N m2 ; σ22 , alors Z =
suit la loi norσ2
male centrée réduite N (0 ,1).
b)
0,16 6 Y 6 0,18 ⇐⇒
0,16 − 0,17 Y − 0,17 0,18 − 0,17
6
6
σ2
σ2
σ2
0,01
0,01
6Z6
σ2
σ2
Donc lorsque Y appartient à l’intervalle [0,16 ; 0,18], alors Z appartient à l’intervalle
#
"
0,01 0,01
;
.
−
σ2
σ2
soit
−
c) On sait que cette probabilité doit être égale à 0,990, le tableau donné permet d’obtenir
β = 2,5758
0,01
= 2,5758 ⇔ σ2 = 0,00385
σ2
En conclusion, à 10−3 près, σ2 ≈ 0,004.
d’où
Exercice 3
On considère une variable aléatoire Xn suivant une loi binomiale de paramètre n et p (Xn suit B(n; p)).
X − np
On considère la variable aléatoire Zn définie par : Zn = p n
np(1 − p)
1. Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire Zn .
Lycée l’Oiselet
2/
DM 10 TS3
TS






 Xn − np 
np
np
1

 = p 1


.Xn − p
✐ E(Zn) = E  p
E(Xn ) − p
 = E  p

np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
np
np
E(Zn) = p
−p
=0
np(1 − p)
np(1 − p)


 
2

 Xn − np 
 


np
1
1
 = V  p
 =  p
 V(Xn )
✐ V(Zn ) = V  p
.Xn − p

 


np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
np(1 − p)
1
V(Zn ) =
× np(1 − p) = 1
np(1 − p)
E(Zn) = 0 et V(Zn ) = 1, on dit que Zn est centrée et réduite !
2. Que peut-on dire de la valeur de la limite suivante : lim P (a ≤ Zn ≤ b)
n→+∞
D ?après le théorème de Moivre-Laplace, on a :
lim P (a ≤ Zn ≤ b) = P(a ≤ Z ≤ b
n→+∞
où Z suit la loi normale centrée et réduite de moyenne µ = 0 et σ = 1 .
3. Donner la valeur de la limite : lim P(−1,96 ≤ Zn ≤ 1,96)
n→+∞
lim P (−1,96 ≤ Zn ≤ 1,96) = P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96 = 0,95
n→+∞
p


p


p(1
−
p)
p(1
−
p)
Xn

≤ Zn ≤ p + 1,96 √
. Donner la valeur de la limite suivante : lim P p − 1,96 √
4. On pose Fn =
n→+∞
n
n
n 

p
p


p(1 − p)
p(1 − p) 

lim P p − 1,96 √
≤ Zn ≤ p + 1,96 √
 = 0,95
n→+∞ 
n
n 
p
p



p(1 − p)
p(1 − p) 
 est l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%
; p + 1,96 √
car l’intervalle p − 1,96 √
n
n 
Lycée l’Oiselet
3/