Lois Normales : Cours Complet sur la Loi Normale

Lois normales 1
LOIS NORMALES
1. LOI NORMALE CENTRÉE RÉDUITE
DÉFINITION
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit la loi normale centrée réduite sur R(notée
N(0;1)) si sa densité de probabilité fest définie par :
f(x)=1
p2π
e−x2
2
Cela signifie que, pour tous réels aet btels que a6b:
p(a6X6b)=Zb
a
1
p2π
e−t2
2dt
REMARQUES
•On admet que fdéfinit bien une densité, c’est à dire que l’aire comprise entre l’axe des abscisses
et la courbe représentative de fest égale à 1
•On a également :
p(X>a)=lim
x→+∞Zx
a
1
p2π
e−t2
2dt (limite que l’on peut noter : Z+∞
a
1
p2π
e−t2
2dt )
p(X6b)=lim
x→−∞Zb
x
1
p2π
e−t2
2dt (limite que l’on peut noter : Zb
−∞
1
p2π
e−t2
2dt )
•La fonction f:x7→ 1
p2π
e−x2
2est dérivable sur R, paire, positive, son tableau de variation est :
x−∞ 0+∞
f′(x)+0−
f(x)
0
1
p2π
0
et sa courbe représentative :
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Lois normales 2
1 2 3−1−2−3
0.1
0.2
0.3
0.4
O
•p(a6X6b)est l’aire du domaine coloré ci-dessous :
1 2 3−1−2−3
0.1
0.2
0.3
0.4
a bO
•p(X6a)est l’aire du domaine coloré ci-dessous :
1 2 3−1−2−3
0.1
0.2
0.3
0.4
aO
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PROPRIÉTÉS
Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite :
•L’espérance mathématique de Xest E(X)=0 (loi centrée) ;
•La variance de Xest σ(X)=1 (loi réduite).
PROPRIÉTÉS
Soit Xune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et aun réel quel-
conque :
•p(X60)=p(X>0)=0,5
•p(X6−a)=p(X>a)
•p(−a6X6a)=1−2×p(X>a)=2×p(X6a)−1
REMARQUE
Ces propriétés résultent du fait que :
•la courbe de la fonction x7→ 1
p2π
e−x2
2est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
•l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe est égale à 1.
On retrouve facilement ces propriétés à l’aide d’une figure par exemple pour la seconde formule :
1 2 3−1−2−3
0.1
0.2
0.3
0.4
−aaO
p(X6−a)=p(X>a)
PROPRIÉTÉ («LOI NORMALE INVERSE»)
Soient Xune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel k∈]0;1[.
Il existe un unique réel mktel que p(X6mk)=k.
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REMARQUE
On peut calculer les valeurs de mkà la calculatrice.
THÉORÈME
Soient Xune variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite et un réel α∈]0;1[.
Il existe un unique réel uαtel que :
p(−uα6X6uα)=1−α.
1 2 3−1−2−3
0.1
0.2
0.3
0.4
−uαuα
1−α
α/2α/2
O
p(−uα6X6uα)=1−α
REMARQUES
•En utilisant la formule p(−α6X6a)=2×p(X6a)−1 et la «loi normale inverse» on peut calculer
les valeurs de uαà la calculatrice.
•Deux valeurs à retenir :
u0,05 =1,96 c’est à dire que p(−1.96 6X61.96)=0,95
u0,01 =2,58 c’est à dire que p(−2,58 6X62,58)=0,99
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2. LOI NORMALE D’ESPÉRANCE µET D’ÉCART-TYPE σ
DÉFINITION ET THÉORÈME
Soient deux réels µet σ>0.
On dit qu’une variable aléatoire Xsuit une loi normale de paramètres µet σ2(notée
N¡µ;σ2¢) si la variable aléatoire Y=X−µ
σ
suit la loi normale centrée réduite.
L’espérance mathématique de Xest µet son écart-type σ(et donc sa variance σ2).
REMARQUE
La courbe représentative de la distribution d’une loi N¡µ;σ2¢est une courbe « en cloche » qui admet la
droite d’équation x=µcomme axe de symétrie. Elle est plus ou moins « étirée » selon les valeurs de σ
12345678−1−2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
µ
σ=0,5
σ=1
σ=2
O
µ=3 et σ=0,5; 1 ; 2
PROPRIÉTÉ (RÈGLE DES TROIS SIGMAS)
Si Xsuit une loi normale N¡µ;σ2¢alors :
•p¡µ−σ6X6µ+σ¢≈0,68 (à 10−2près)
•p¡µ−2σ6X6µ+2σ¢≈0,95 (à 10−2près)
•p¡µ−3σ6X6µ+3σ¢≈0,997 (à 10−3près)
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