cours - madamemaths
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Chapitre 15 : Lois normales Sommaire 1. Loi normale centrée réduite............................................................................................................................ 1 2. Loi normale générale ...................................................................................................................................... 2 3. Théorème de Moivre-Laplace ......................................................................................................................... 3 1. Loi normale centrée réduite Définition y 0,4 La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée ( 0,1 ) , si elle admet pour densité de probabilité la fonction définie sur R par : 0,2 2 j : x ï- 1 -x2 e 2p -2 -1 0 1 2 x En pratique La représentation graphique de j s’appelle courbe de Gauss ou courbe en cloche. De plus, la fonction j est paire, ainsi, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Théorème Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) . Z 0 Z y (i) X admet une espérance E ( X ) définie par E ( X ) = lim tf ( t ) dt + lim tf ( t ) dt = 0 x -¥ y +¥ x 0 (ii) X admet une variance V ( X ) définie par V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) = 1 2 Démonstration Z 0 tf ( t ) dt = (i) Z 0 t2 te 2 2 0 t 1 1 -e 2 x = dt = 2p 2p x x Z y y2 1 De même : tf ( t ) dt = -e 2 +1 2 p Z y Z0 0 -1 D’où, lim tf ( t ) dt = et lim tf ( t ) dt = x -¥ x y +¥ 2p 0 1 2p - -1+ e x2 2 1 , donc E ( X ) = 0 2p Explication Le 0 et le 1 de la notation ( 0,1 ) font respectivement référence à l’espérance et à la variance de la loi normale centrée réduite. Chapitre 15 : Lois normales 1/4 Terminale S – Obligatoire Lionel BÉAL Théorème y Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) . Pour tout réel a Î 0 ;1 , il existe un unique réel positif ua tel que : P ( -ua X ua ) = 1 - a . aire = 1-a -ua ua x Démonstration On considère la fonction F définie sur l’intervalle 0 ;+¥ par : Z u F ( u ) = P ( -u X u ) = j ( t ) dt . -u Z u j ( t ) dt = 1 (aire sous la courbe est 1) On constate que F ( 0 ) = 0 et lim F ( u ) = lim u +¥ u +¥ -u Montrons que F est strictement croissante sur 0 ;+¥ : Z u Comme j est paire, F ( u ) = 2 j ( t ) dt , et comme j est continue et positive, F est dérivable et : 0 F ¢ ( u ) = 2j ( u ) > 0 Ainsi F est strictement croissante sur 0 ;+¥ . Soit a Î 0 ;1 , alors : 0 < 1 - a < 1 , et grâce au théorème de la bijection, on en déduit qu’il existe un unique réel ua Î 0 ; +¥ tel que F ( u ) = P ( -u X u ) = 1 - a En pratique Il n’existe pas de formule exprimant ua en fonction de a . Il faut retenir deux valeurs particulières : u0,05 » 1, 96 et u0,01 » 2,58 . Ainsi, une variable suivant la loi ( 0,1 ) fluctue donc à 95 % entre -1, 96 et 1,96, et fluctue à 99 % entre -2,58 et 2,58. 2. Loi normale générale Définition Soit m Î R et s > 0 . La variable aléatoire X suit une loi normale ( m, s 2 ) si X -m suit la loi ( 0,1 ) . s En pratique Lorsque m = 0 et s = 1 , la loi normale ( m, s 2 ) est la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) . Théorème Si X suit une loi normale ( m, s 2 ) alors : E ( X ) = m , V ( X ) = s 2 et son écart-type vaut s Explication Le paramètre m de la loi ( m, s 2 ) est un paramètre de position : il localise la zone où les réalisations de X ont le plus de chance d’apparaître. Le paramètre s de la loi ( m, s 2 ) est un paramètre de dispersion. Plus s est élevé, plus les réalisations de X sont dispersés autour de l’espérance m . Chapitre 15 : Lois normales 2/4 m = -2 m=0 m=2 ( s = 1) -2 2 0, 4 0, 2 s =1 s=2 s=3 (m = 0) Terminale S – Obligatoire Lionel BÉAL Théorème Si X suit une loi normale ( m, s 2 ) , sa dispersion autour de m dépend de s de la manière suivante (à 10-3 près) : P ( X Î [ m - s ; m + s ] ) = 0, 683 P ( X Î [ m - 2s ; m + 2s ] ) = 0, 954 P ( X Î [ m - 3s ; m + 3s ] ) = 0, 997 Explication Si X suit la loi ( 10 ;9 ) , on a m = 9 et s = 3 donc les réalisations de X fluctuent à plus de 95 % dans l’intervalle 10 - 2 ´ 3 ;10 + 2 ´ 3 = 4 ;16 . En pratique (Loi normale et calculatrice) Exemple pour X qui suit la loi ( 113, 25 ) , calculer P ( 110 X 120 ) et P ( X 120 ) Opération OPTN F5 (STAT) F3 (DIST) F1 (NORM) F2 (Ncd) 110 , 120 , 5 , 113) Casio Affichage NormCD (110,120,5,113) .6449902243 Opération 2nd DISTR 2 : normalcdf( 110 , 120 , 113 , 5) TI Affichage normalcdf(110,120,113,5) .6449902243 enter 2nd DISTR 2 : normalcdf( -10^99 , 120 , 113 , 5) EXE NormCD (-10^99,120,5,113) F2 (Ncd) .9192433408 , , , -10^99 120 113 5) normalcdf(-10^99,120,113,5) .9192432888 enter EXE ATTENTION !!! Il ne faut pas rentrer s 2 mais s sur la calculatrice. Enfin, il faut faire attention à l’ordre quand on rentre les valeurs. Pour calculer P ( a X b ) : Casio TI NormCD ( a, b, s, m ) normalcdf ( a, b, m, s ) 3. Théorème de Moivre-Laplace Théorème de Moivre-Laplace Soit n un entier naturel non nul et p un nombre réel dans 0 ;1 . Soit X n une variable aléatoire suivant une loi binomiale ( n, p ) . Alors, pour tous réels a et b, on a : Z b x2 X n - np 1 lim P a e 2 dx b = P (a Z b ) = n +¥ 2p a np ( 1 - p ) où Z suit la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) y a b x Explication On notera que E ( X n ) = np et s ( Xn ) = np ( 1 - p ) . La loi binomiale est très utilisée en modélisation, mais certaines probabilités sont impossibles à calculer pour la loi binomiale. Grâce à ce théorème, le calcul de ces probabilités est rendu possible à l’aide de la loi normale. C’est historiquement la première motivation de l’utilisation de la loi normale. Chapitre 15 : Lois normales 3/4 Terminale S – Obligatoire Lionel BÉAL En pratique On considère que la limite dans le théorème de Moivre-Laplace est pratiquement atteinte lorsqu’on a simultanément : n 30 , np 5 et n ( 1 - p ) 5 . Dans ces conditions, on a donc pour tous réels a et b : X n - np P a b » P ( a Z b ) , où Z suit la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) . np ( 1 - p ) Exercice ( ) ( ) X - 30 1 . On souhaite calculer P -0, 5 1, 2 . 6 5 1. Est-il raisonnable d’utiliser l’approximation normale fournit par le théorème de Moivre-Laplace pour calculer cette probabilité ? 2. Donner une valeur approchée de la probabilité demandée à 10-2 près en utilisant l’approximation de Moivre-Laplace. Soit X une variable aléatoire suivant une loi 180; Solution 1. Vérifions si les trois conditions sont bien vérifiées : 1 5 n = 180 30 ; np = 180 ´ = 30 5 ; n ( 1 - p ) = 180 ´ = 150 5 6 6 Par conséquent, il est raisonnable d’utiliser l’approximation du théorème de Moivre-Laplace. 1 5 2. On remarque que np ( 1 - p ) = 180 ´ ´ = 5 . Ainsi : 6 6 X - np X - 30 1, 2 = P - 0, 5 1, 2 P -0, 5 5 np ( 1 - p ) D’après la question précédente, en utilisant l’approximation de Moivre-Laplace : X - np X - 30 P -0, 5 1, 2 = P - 0, 5 1, 2 » P ( -0, 5 Z 1, 2 ) 5 np ( 1 - p ) où Z suit la loi normale centrée réduite ( 0,1 ) A l’aide de la calculatrice, on obtient P ( -0, 5 Z 1, 2 ) » 0, 58 ( ) ( ( Chapitre 15 : Lois normales ) ) 4/4 Terminale S – Obligatoire Lionel BÉAL
