Université Saad Dahleb de Blida Faculté Sciences de l`ingénieur

Universit´e Saad Dahleb de Blida
Facult´e Sciences de l’ing´enieur
D´epartement d’a´eronautique
Module : Physique 1
S´ erie d’exercices N˚4 :Cin´ematique : Mvtdans l’espace et relatif
Semestre 1-2010/2011
Exo1
On donne les ´equations du mouvement d’un point Mdans un rep`ere O,~ i,~ j,~ k:
x=1
2bt2, y =ct , z =3 2bt2
O`u b, c sont des constantes positives.
1. Trouver la vitesse et l’acc´el´eration ainsi que leurs modules ;
2. Quelle est l’´equation de la trajectoire du point mqui repr´esente la projection verticale du point
mobile Msur le plan XOY .
Exo2
Un point Md´ecrit une h´elice circulaire d’axe OZ. Ses ´equations horaires sont :
x=Rcosθ , y =Rsinθ , z =hθ
Rest le rayon du cylindre de r´evolution sur lequel est trac´e l’h´elice, hest une constante et θl’angle
que fait avec OX la projection OM’ de OM sur XOY .
1. Donner en coordonn´ees cylindriques les expressions de la vitesse et de l’acc´el´eration ;
2. Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan XOY un angle constant ;
3. Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur acc´el´eration passe par l’axe
du cylindre et est parall`ele au plan XOY . Calculer le rayon de courbure.
Exo3
1. A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base (~uR, ~uθ, ~uφ) dans celle ~ i,~ j,~ k, v´erifier les
expressions suivantes :
˙
~uθ=−˙ θ~uR+˙ φcosθ ~uφ
˙
~uR=˙ θ~uθ+˙ φsinθ ~uφ
˙
~uφ=−˙ φ(sinθ ~uR+cosθ ~uθ)
2. Montrer que l’acc´el´eration dans la base (~uR, ~uφ, ~uθ) s’´ecrit :
a=¨ R−R˙ θ2−R˙ φ2sin2θ~uR+R¨ θ+ 2 ˙ R˙ θ−R˙ φ2sinθ cosθ~uθ+R¨ φsinθ + 2 ˙ R˙ φsinθ + 2R˙ θ˙ φcosθ~uφ
Exo4
Dans le syst`eme des coordonn´ees sph´eriques (~uR, ~uφ, ~uθ), un point Mse d´eplace sur la surface d’une
sph`ere de rayon R. Ses deux coordonn´ees sph´eriques sont :
θ=~ OZ, ~ OM=π
6, φ =ωt2
Avec ωune constante positive.
1. Partant de l’expression du vecteur position en coordonn´ees sph´eriques :
(a) trouver la vitesse et l’acc´el´eration de ce mobile dans la base du syst`eme sph´erique ;
1

(b) calculer les modules de la vitesse et de l’acc´el´eration ;
(c) en d´eduire l’acc´el´eration normale.
2. Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonn´ees cart´esiennes :
(a) trouver la vitesse et l’acc´el´eration dans la base ~ i,~ j,~ kpuis calculer de nouveau leurs
modules et v´erifier qu’ils co¨ ıncident avec les r´esultats de la question 1/b ;
3. Quelle est la trajectoire du pt M, la repr´esenter qualitativement. Quelle est la nature du mvtdu
pt M.
Exo5
On supposera dans cet exercice que les vecteurs vitesse du nageur N et du pi´eton P sont parall`eles `a
celui de l’eau et qu’ils sont constants.
Dans une r´evi`ere o`u l’eau s’´ecoule avec une vitesse de 0.5m/s, un nageur N et un pi´eton s’amusent `a
faire la course. La vitesse de d´eplacement du pi´eton sur la berge est de 1.5m/s.
1. A t= 0 s, ils partent dans la direction du courant et s’arrˆetent `a l’instant t1= 30 s. Durant le
parcours, le pi´eton et le nageur sont tout le temps cˆote `a cˆote.
– Quelle est la vitesse du nageur par rapport `a l’eau ;
– Quelles sont les distances parcourues par N et par P.
2. A t= 35 s, ils d´ecident de partir, cette fois-ci, dans la direction oppos´ee. Apr`es un parcours de
45 m, P s’arrˆete.
– Calculer la distance parcourue par N, de t= 35 sou moment o`u P s’est arrˆet´e ;
– A quelle instant, t2le nageur et le pi´eton seront-ils cˆote `a cˆote ?
3. Dessiner, qualitativement, la rivi`ere, les berges et les trajectoires (aller et retour) de P et de N.
Ensuite, repr´esenter, sur ces trajectoires et `a l’´echelle : 1 (cm)→1 (m/s), les vecteurs vitesses
de N et de P ;
4. Quelles sont les vitesses d’entraˆınement de N et de P ?. Expliquer.
Exo6
Dans le plan XOY , une droite OX’ tourne autour de l’axe OZ avec une vitesse angulaire constante.
Un mobile M(~ OM =~r ) se d´eplace sur la droite OX’ d’un mouvement rectiligne uniform´ement
acc´el´er´e d’acc´el´eration a. A l’instant initial Mse trouve en M0, au repos, puis s’´eloigne de O.
1. D´eterminer les expressions litt´erales vectorielles des vitesses relatives, d’entraˆınement et absolue
de M. Trouver les expressions lit´erales donnant la norme et la direction du vecteur vitesse absolue
du pt M;
2. Si l’axe OX’ est confondu avec l’axe OX `a l’instant initial, calculer les coordonn´ees du point M
`a la date t= 3 s. Dessiner les trois vecteurs vitesses `a cette instant.
3. D´eterminer les expressions litt´erales vectorielles dans une base polaire des acc´el´erations relative,
d’entraˆınement et de Coriolis de M. D´eterminer les expressions litt´erales donnant la norme et
la direction du vecteur acc´el´eration absolue du point M. Dessiner ces vecteurs acc´el´erations `a
t= 3 s.
Donn´ess : OM0= 1 cm,a= 2 cm/s2ω=˙ θ=π
5rad/s
Exo7
Dans le plan XOY , un cercle de rayon R, de diam`etre OA , tourne `a la vitesse angulaire constante
ωautour du point O. On lie `a son centre mobile O’ deux axes rectangulaires O0X0Y0(l’axe O0X0est
dirig´e suivant OA). A l’instant t= 0 , Aest sur OX ,OX et OX’ ´etant colin´eaires. Un point M,
initialement en A, parcourt la circonf´erence dans le sens positif avec la mˆeme vitesse angulaire ω.
1. Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et acc´el´eration de M dans le rep`ere
OXY (en d´erivant les composantes de ~ OM) ;
2

2. Calculer les composantes de la vitesse et de l’acc´el´eration relatives de Mdans le rep`ere O0X0Y0
puis dans OXY ;
3. Calculer
– les composantes de la vitesse d’entraˆınement dans le rep`ere OXY par la loi de composition
des vitesses ;
– les composantes de l’acc´el´eration d’entrˆınement dans le rep`ere OXY , en d´eduire l’acc´el´eration
de Coriolis) ;
4. v´erifier les expressions des composantes de la vitesse deentraˆınement et celle de l’acc´el´eration
compl´ementaire en utilisant les expressions faisant intervenir le vecteur rotation ~ω.
3