Université Saad Dahleb de Blida Faculté Sciences de l`ingénieur

Université Saad Dahleb de Blida
Faculté Sciences de l’ingénieur
Département d’aéronautique
Module : Physique 1
Série d’exercices N˚4 : Cinématique : M v t dans l’espace et relatif
Semestre 1-2010/2011
Exo1
On donne les équations du mouvement d’un point M dans un repère O,~i, ~j, ~k :
1
x = bt2
2
,
y = ct ,
3
z = bt2
2
Où b, c sont des constantes positives.
1. Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs modules ;
2. Quelle est l’équation de la trajectoire du point m qui représente la projection verticale du point
mobile M sur le plan XOY .
Exo2
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe OZ. Ses équations horaires sont :
x = Rcosθ
,
y = Rsinθ
,
z = hθ
R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice, h est une constante et θ l’angle
que fait avec OX la projection OM ’ de OM sur XOY .
1. Donner en coordonnées cylindriques les expressions de la vitesse et de l’accélération ;
2. Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan XOY un angle constant ;
3. Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe
du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le rayon de courbure.
Exo3
1. A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base (~uR , ~uθ , ~uφ ) dans celle ~i, ~j, ~k , vérifier les
expressions suivantes :
~u˙θ = −θ̇~uR + φ̇cosθ ~uφ
~u˙R = θ̇~uθ + φ̇sinθ ~uφ
~u˙φ = −φ̇ (sinθ ~uR + cosθ ~uθ )
2. Montrer que l’accélération dans la base (~uR , ~uφ , ~uθ ) s’écrit :
a =
R̈ − Rθ̇2 − Rφ̇2 sin2 θ ~uR + Rθ̈ + 2Ṙθ̇ − Rφ̇2 sinθ cosθ ~uθ + Rφ̈sinθ + 2Ṙφ̇sinθ + 2Rθ̇φ̇cosθ ~uφ
Exo4
Dans le système des coordonnées sphériques (~uR , ~uφ , ~uθ ), un point M se déplace sur la surface d’une
sphère de rayon R. Ses deux coordonnées sphériques sont :
π
~ OM
~
θ = OZ,
=
6
,
φ = ωt2
Avec ω une constante positive.
1. Partant de l’expression du vecteur position en coordonnées sphériques :
(a) trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile dans la base du système sphérique ;
1
(b) calculer les modules de la vitesse et de l’accélération ;
(c) en déduire l’accélération normale.
2. Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes :
(a) trouver la vitesse et l’accélération dans la base ~i, ~j, ~k puis calculer de nouveau leurs
modules et vérifier qu’ils coı̈ncident avec les résultats de la question 1/b ;
3. Quelle est la trajectoire du pt M , la représenter qualitativement. Quelle est la nature du mv t du
pt M .
Exo5
On supposera dans cet exercice que les vecteurs vitesse du nageur N et du piéton P sont parallèles à
celui de l’eau et qu’ils sont constants.
Dans une révière où l’eau s’écoule avec une vitesse de 0.5 m/s, un nageur N et un piéton s’amusent à
faire la course. La vitesse de déplacement du piéton sur la berge est de 1.5 m/s.
1. A t = 0 s, ils partent dans la direction du courant et s’arrêtent à l’instant t1 = 30 s. Durant le
parcours, le piéton et le nageur sont tout le temps côte à côte.
– Quelle est la vitesse du nageur par rapport à l’eau ;
– Quelles sont les distances parcourues par N et par P.
2. A t = 35 s, ils décident de partir, cette fois-ci, dans la direction opposée. Après un parcours de
45 m, P s’arrête.
– Calculer la distance parcourue par N, de t = 35 s ou moment où P s’est arrêté ;
– A quelle instant, t2 le nageur et le piéton seront-ils côte à côte ?
3. Dessiner, qualitativement, la rivière, les berges et les trajectoires (aller et retour) de P et de N.
Ensuite, représenter, sur ces trajectoires et à l’échelle : 1 (cm) → 1 (m/s), les vecteurs vitesses
de N et de P ;
4. Quelles sont les vitesses d’entraı̂nement de N et de P ?. Expliquer.
Exo6
Dans le plan XOY , une droite OX’ tourne autour de l’axe OZ avec une vitesse angulaire constante.
~ = ~r ) se déplace sur la droite OX’ d’un mouvement rectiligne uniformément
Un mobile M ( OM
accéléré d’accélération a. A l’instant initial M se trouve en M0 , au repos, puis s’éloigne de O.
1. Déterminer les expressions littérales vectorielles des vitesses relatives, d’entraı̂nement et absolue
de M . Trouver les expressions litérales donnant la norme et la direction du vecteur vitesse absolue
du pt M ;
2. Si l’axe OX’ est confondu avec l’axe OX à l’instant initial, calculer les coordonnées du point M
à la date t = 3 s . Dessiner les trois vecteurs vitesses à cette instant.
3. Déterminer les expressions littérales vectorielles dans une base polaire des accélérations relative,
d’entraı̂nement et de Coriolis de M . Déterminer les expressions littérales donnant la norme et
la direction du vecteur accélération absolue du point M . Dessiner ces vecteurs accélérations à
t = 3 s.
Donnéss : OM0 = 1 cm, a = 2 cm/s2 ω = θ̇ =
π
5
rad/s
Exo7
Dans le plan XOY , un cercle de rayon R , de diamètre OA , tourne à la vitesse angulaire constante
ω autour du point O . On lie à son centre mobile O’ deux axes rectangulaires O0 X 0 Y 0 (l’axe O0 X 0 est
dirigé suivant OA). A l’instant t = 0 , A est sur OX , OX et OX’ étant colinéaires. Un point M ,
initialement en A , parcourt la circonférence dans le sens positif avec la même vitesse angulaire ω.
1. Calculer directement les composantes des vecteurs vitesse et accélération de M dans le repère
~ );
OXY (en dérivant les composantes de OM
2
2. Calculer les composantes de la vitesse et de l’accélération relatives de M dans le repère O0 X 0 Y 0
puis dans OXY ;
3. Calculer
– les composantes de la vitesse d’entraı̂nement dans le repère OXY par la loi de composition
des vitesses ;
– les composantes de l’accélération d’entrı̂nement dans le repère OXY , en déduire l’accélération
de Coriolis) ;
4. vérifier les expressions des composantes de la vitesse deentraı̂nement et celle de l’accélération
complémentaire en utilisant les expressions faisant intervenir le vecteur rotation ω
~.
3