Chapitre 3 : Changements de référentiels
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Chapitre 3 : Changements de référentiels MPA1 Octobre 2012 Attention : je sais que ce document est très beau et à l’air très académique, mais il n’en est rien, il ne s’agı̂t que de notes de cours. Je vous prie donc de faire preuve de prudence en l’étudiant et de ne pas le croire aveuglément. La notion de mouvement d’un système est une notion relative au référentiel dans lequel on effectue son étude. Considérons deux référentiels R et R0 en mouvement relatif auxquels sont attachés les repères spatials respectifs R(0, (~i, ~j, ~k)) et R0 (00 , (~i0 , j~0 , k~0 )) où (0, (~i, ~j, ~k)) et (00 , (~i0 , j~0 , k~0 )) sont des bases orthonormées directes (BOND). Par commodité de langage, nous appelons le premier référentiel le ”référentiel fixe” (R) et le second, ”référentiel mobile” (R0 ). C’est une convention car pour un physicien attaché à R, R0 est en mouvement, mais la réciproque est tout aussi vraie. Dans le cas général, un point matériel M ne possède ni le même vecteur position, ni la même vitesse, ni la même accélération dans R et dans R0 . Le problème consiste alors à établir les relations entre ces diverses grandeurs cinématiques. 1 Relation entre les vecteurs position Par la relation de Chasles, on retrouve sans problème la relation suivante : ~ 0 + O~0 M ~ = OO OM 2 Composition des vitesses ~ 0 + O~0 M . En dérivant OM ~ = OO ~ , on obtient donc la On a vu que OM vitesse ~vM/R , vitesse du point M par rapport à R : ~vM/R = = ~ dOM dt ~ 0 dOO dt = + 0M ~ 0 dOO dO~ dt + dt ẋ0~i0 + ẏ 0 j~0 + z˙0 k~0 = ~vM/R0 + ~ 0 dOO dt ~0 ~0 ~0 ~0 + x0 ddti + y 0 ddtj + z 0 ddtk ~0 ~0 + x0 ddti + y 0 ddtj + z 0 ddtk On appelle aussi ~vM/R la vitesse ”absolue”, notée aussi ~va . De même, on appelle aussi : 1 – ~vM/R0 la vitesse ”relative”, notée aussi ~vr . ~ 0 ~ 0 dO M – dOO la vitesse d’entraı̂nement, notée aussi ~ve dt + dt On obtient donc : ~va = ~vr + ~ve 2.1 Définition d’un point coı̈ncident Soit P (t) un point fixe dans R0 et coı̈ncident avec le point M à la date t. P est appelé point coı̈ncident avec le point M à l’instant (à la date) t. L’ensemble formé de P et du trièdre relatif R0 constitue un solide indéformable. À l’instant t + ∆t, P ne coı̈ncide plus avec M : il y aura un autre point coı̈ncident. Par rapport à R, la trajectoire de P est appelée trajectoire d’entraı̂nement et sa vitesse, la vitesse d’entraı̂nement. C’est l’interprétation pyhsique de la vitesse d’entraı̂nement. 2.2 Vecteur rotation instantannée Dans le complément à ce chapitre, nous verrons qu’il est toujours possible ~ R0 /R de définir un vecteur appelé vecteur rotation instantannée noté Ω tel que : d~i0 ~ R0 /R ∧ ~i0 =Ω dt ~0 dj ~ R0 /R ∧ j~0 =Ω dt ~0 ~ R0 /R ∧ k~0 dk = Ω dt ~ R0 /R pour préciser que c’est le vecteur rotation de R0 par rapport On note Ω ~ à R. Quand il n’y a pas d’ambiguı̈té, on le note simplement Ω. 1 Dans ces conditions, nous avons : ~ 0 ~0 ~ ~va = ~vr + ~ve = ~vr + dOO dt + ΩR0 /R ∧ O M 1. En effet : ~0 ~0 ~0 k x0 ddti + y 0 ddtj + z 0 ddt = = = ~ R0 /R ∧ ~ ~ R0 /R j~0 + z 0 Ω ~ R0 /R k~0 x0 Ω i0 + y 0 Ω 0 ~0 0 ~0 0 ~0 ~ ΩR0 /R ∧ (x i + y j + z k ) ~ R0 /R ∧ O~0 M Ω 2 3 Compostition des accélérations aM/R ~ = = = = = ~ d2 OM dt2 dv~a dt 0M ~ 0 d dOO dO~ dt ( dt + dt ) 2 O~ 0M ~ 0 d2 OO + d dt 2 dt2 ẍ0~i0 + ÿ 0 j~0 + z¨0 k~0 + 2 ~0 2 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ẋ0 ddti + ẏ 0 ddtj + z˙0 ddtk + ẋ0 ddti + ẏ 0 ddtj + z˙0 ddtk 2 ~0 +x0 ddti + y 0 ddtj2 + z 0 ddtk2 + ~ 0 d2 OO dt2 Avec le vecteur rotation, on obtient alors : 2 ~ 0 ~ 0~0 ~0 ~0 ~0 ~0 ~ ~ ~ ∧ ~vM/R0 + dΩ ~aM/R = d dtOO + 2Ω 2 dt ∧ O M + Ω ∧ Ω ∧ O M + ẍ i + ÿ j + z̈ k Nous notons alors 2 : ~aM/R = ~ar + ~ae + ~ac 3.1 Interprétation des termes – ẍ0~i0 + ÿ j~0 + z̈ k~0 = ~ar = accélération relative de M par rapport à R0 . 2 ~ 0 ~ dΩ ~0 ~0 ~ ~ – d OO ae = accélération d’entraı̂nement dt + dt ∧ O M + Ω ∧ Ω ∧ O M = ~ 0 de R par rapport à R. C’est l’accélération du point coı̈ncident. ~ vM/R0 = ~ac = accélération complémentaire ou ”de Coriolis”, cette – 2Ω∧~ accélération fait effectivement apparaı̂tre la vitesse relative de M par rapport à R0 . 4 Remarques importantes d ~ ∧ ~vr 6= ~ar = dt (ẋ0~i0 + ẏ 0 j~0 + z˙0 k~0 ) = ~ar + Ω Autrement dit, la dérivée de la vitesse relative n’est pas égale à l’accélération relative. Il en est de même pour l’accélération d’entraı̂nement. ~ ∧ ~vr = ~0 si : – ~ac = 2Ω ~ = ~0, soit quand le référentiel R0 est en translation 3 . 1. Ω – d~vr dt ~ colinéaire à ~vr 2. ~vr = ~0 ou Ω 2. Avec ~ar , ~ae , et ~ac les accélérations que l’on nommera respectivement ”relative”, ”d’entraı̂nement” et ”de Coriolis” ou ”complémentaire”. ~ = ~0 peut être vu comme la définition d’un référentiel en translation. 3. L’égalité Ω 3
