Chapitre 3 : Changements de référentiels

Chapitre 3 : Changements de r´ef´erentiels
MPA1
Octobre 2012
Attention : je sais que ce document est tr`es beau et `a l’air tr`es acad´emique,
mais il n’en est rien, il ne s’agˆıt que de notes de cours. Je vous prie donc de
faire preuve de prudence en l’´etudiant et de ne pas le croire aveugl´ement.
La notion de mouvement d’un syst`eme est une notion relative au r´ef´erentiel
dans lequel on effectue son ´etude. Consid´erons deux r´ef´erentiels Ret R0
en mouvement relatif auxquels sont attach´es les rep`eres spatials respec-
tifs R(0,(
~
i,~ j, ~ k)) et R0(00,(~ i0,~ j0,~ k0)) o`u (0,(
~
i,~ j, ~ k)) et (00,(~ i0,~ j0,~ k0)) sont des
bases orthonorm´ees directes (BOND). Par commodit´e de langage, nous ap-
pelons le premier r´ef´erentiel le ”r´ef´erentiel fixe” (R) et le second, ”r´ef´erentiel
mobile” (R0). C’est une convention car pour un physicien attach´e `a R,R0est
en mouvement, mais la r´eciproque est tout aussi vraie. Dans le cas g´en´eral,
un point mat´eriel Mne poss`ede ni le mˆeme vecteur position, ni la mˆeme
vitesse, ni la mˆeme acc´el´eration dans Ret dans R0. Le probl`eme consiste
alors `a ´etablir les relations entre ces diverses grandeurs cin´ematiques.
1 Relation entre les vecteurs position
Par la relation de Chasles, on retrouve sans probl`eme la relation sui-
vante :
~
OM =~ OO0+~ O0M
2 Composition des vitesses
On a vu que ~ OM =~ OO0+~ O0M. En d´erivant ~ OM, on obtient donc la
vitesse ~vM/R, vitesse du point Mpar rapport `a R:
~vM/R =d~
OM
dt =d~
OO0
dt +d~
O0M
dt
=d~
OO0
dt +˙
x0~ i0+˙ y0~ j0+˙ z0~ k0+x0d~
i0
dt +y0d~
j0
dt +z0d~
k0
dt
=~vM/R0+d~
OO0
dt +x0d~
i0
dt +y0d~
j0
dt +z0d~
k0
dt
On appelle aussi ~vM/R la vitesse ”absolue”, not´ee aussi ~va. De mˆeme,
on appelle aussi :
1

–~vM/R0la vitesse ”relative”, not´ee aussi ~vr.
–d~
OO0
dt +d~
O0M
dt la vitesse d’entraˆınement, not´ee aussi ~ve
On obtient donc :
~va=~vr+~ve
2.1 D´efinition d’un point co¨ıncident
Soit P(t) un point fixe dans R0et co¨ıncident avec le point M`a la date t.
Pest appel´e point co¨ıncident avec le point M `a l’instant (`a la date) t. L’en-
semble form´e de Pet du tri`edre relatif R0constitue un solide ind´eformable.
`
A l’instant t+ ∆t,Pne co¨ıncide plus avec M: il y aura un autre point
co¨ıncident. Par rapport `a R, la trajectoire de Pest appel´ee trajectoire d’en-
traˆınement et sa vitesse, la vitesse d’entraˆınement. C’est l’interpr´etation
pyhsique de la vitesse d’entraˆınement.
2.2 Vecteur rotation instantann´ee
Dans le compl´ement `a ce chapitre, nous verrons qu’il est toujours possible
de d´efinir un vecteur appel´e vecteur rotation instantann´ee not´e ~ ΩR0/R
tel que :
d~ i0
dt =~
ΩR0/R ∧~ i0
d~ j0
dt =~
ΩR0/R ∧~ j0
d~ k0
dt =~
ΩR0/R ∧~ k0
On note ~ ΩR0/R pour pr´eciser que c’est le vecteur rotation de R0par rapport
`a R. Quand il n’y a pas d’ambigu¨ıt´e, on le note simplement ~ Ω.
Dans ces conditions, nous avons 1:
~va=~vr+~ve=~vr+d~
OO0
dt +~
ΩR0/R ∧~ O0M
1. En effet :
x0d~
i0
dt +y0d~
j0
dt +z0d~
k0
dt =x0~
ΩR0/R ∧~ i0+y0~ ΩR0/R ~ j0+z0~ ΩR0/R ~ k0
=~ ΩR0/R ∧(x0~ i0+y0~ j0+z0~ k0)
=~ ΩR0/R ∧~ O0M
2

3 Compostition des acc´el´erations
~aM/R =d2~
OM
dt2
=d ~va
dt
=d
dt (d~
OO0
dt +d~
O0M
dt )
=d2~
OO0
dt2+d2~
O0M
dt2
=¨ x0~ i0+¨ y0~ j0+¨ z0~ k0+˙ x0d~
i0
dt +˙
y0d~
j0
dt +˙
z0d~
k0
dt +˙
x0d~
i0
dt +˙
y0d~
j0
dt +˙
z0d~
k0
dt
+x0d2~
i0
dt +y0d2~
j0
dt2+z0d2~
k0
dt2+d2~
OO0
dt2
Avec le vecteur rotation, on obtient alors :
~aM/R =d2~
OO0
dt2+ 2~
Ω∧~vM/R0+d~
Ω
dt ∧~
O0M+~ Ω∧~ Ω∧~ O0M+¨ x0~ i0+ ¨y~ j0+ ¨z~ k0
Nous notons alors 2:
~aM/R =~ar+~ae+~ac
3.1 Interpr´etation des termes
–¨ x0~ i0+ ¨y~ j0+ ¨z~ k0=~ar= acc´el´eration relative de Mpar rapport `a R0.
–d2~
OO0
dt +d~
Ω
dt ∧~
O0M+~ Ω∧~ Ω∧~ O0M=~ae= acc´el´eration d’entraˆınement
de R0par rapport `a R. C’est l’acc´el´eration du point co¨ıncident.
– 2~ Ω∧~vM/R0=~ac= acc´el´eration compl´ementaire ou ”de Coriolis”, cette
acc´el´eration fait effectivement apparaˆıtre la vitesse relative de M par
rapport `a R0.
4 Remarques importantes
–d~vr
dt =d dt (˙
x0~ i0+˙ y0~ j0+˙ z0~ k0) = ~ar+~ Ω∧~vr6=~ar
Autrement dit, la d´eriv´ee de la vitesse relative n’est pas ´egale `a
l’acc´el´eration relative. Il en est de mˆeme pour l’acc´el´eration d’en-
traˆınement.
–~ac= 2~ Ω∧~vr=~ 0 si :
1. ~ Ω = ~ 0, soit quand le r´ef´erentiel R0est en translation 3.
2. ~vr=~ 0 ou ~ Ω colin´eaire `a ~vr
2. Avec ~ar,~ae, et ~acles acc´el´erations que l’on nommera respectivement ”relative”,
”d’entraˆınement” et ”de Coriolis” ou ”compl´ementaire”.
3. L’´egalit´e ~ Ω = ~ 0 peut ˆetre vu comme la d´efinition d’un r´ef´erentiel en translation.
3