annexe : loi de composition des vitesses et des accelerations

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ANNEXE : LOI DE COMPOSITION DES VITESSES ET
DES ACCELERATIONS
On considère un premier repère inertiel (galiléen,”absolu”) ℜ = (O, x, y, z) et
un second repère ℜ′ = (O ′ , x′ , y ′, z ′ ) en mouvement quelconque par rapport à ℜ.
Autrement dit : d’une part le point O ′ est animé d’un mouvement quelconque par
rapport ℜ, d’autre part les axes du référentiel ℜ′ sont soumis à une rotation par
~ le vecteur instantané de rotation correspondant,
rapport à ceux de ℜ. On appelle Ω
c.a.d. de ℜ′ par rapport à ℜ.
Soit M un point mobile dont la vitesse absolue par rapport à ℜ est V~a (M) à
l’instant t. Appelons V~r (M) sa vitesse relative au même instant, c’est à dire par
rapport à ℜ′ . En d’autres termes :
~ dOM
~
Va (M) =
dt ℜ
dO~′ M
~
Vr (M) =
dt
ℜ′
Vitesse d’entraı̂nement et vitesse relative
La loi de composition des vitesses donne la relation suivante :
V~a (M) = V~r (M) + V~e (M)
(1)
Ici V~e (M) représente la vitesse à l’instant t, par rapport à ℜ, d’un point M̃
considéré comme fixe dans le repère ℜ′ et coı̈ncidant à cet instant avec le
point M. V~e (M) est donc appelée vitesse d’entraı̂nement. On peut écrire :
V~e (M) = V~a (M̃)
Or le point coı̈ncidant M̃ est soumis à deux composantes : d’une part à la vitesse
de translation du point O ′ par rapport à O, d’autre part à la rotation de ℜ′ par
~ Ainsi on obtient :
rapport à ℜ, de vecteur Ω.
2
~ ′) + Ω
~ ∧ O~′M
V~e (M) = Va (O
(2)
~ ′ ) est la vitesse absolue du point O ′ par rapport au point O dans le
Où Va (O
repère ℜ
Formulation de la loi de composition des vitesses
Finalement on peut écrire, en posant O~′ M = r~′ :
˙ ~ ~′
V~a (M) = V~r (M) + V~e (M) = V~a (O ′) + r~′ + Ω
∧r
(3)
Formulation de la loi de composition des accélérations.
On cherche maintenant à exprimer l’accélération absolue γ~a (M) du point M par
rapport au référentiel ℜ en fonction de l’accélération relative γ~r (M) de ce même
point M par rapport au référentiel ℜ′ . Pour cela on dérive par rapport au temps
˙ ~
l’équation (3), en tenant compte du fait que le vecteur (r~′ + Ω
∧ ~r′ ) est lié à ℜ′ donc
lui-même soumis à la rotation de ℜ′ par rapport à ℜ. Ainsi :
γ~a (M) =
~
d ˙
dVa (M)
~
~ ∧ (Ω
~ ∧ r~′ + r~˙′ )
= γ~a (O ′ ) + (r~′ + Ω ∧ r~′ ) + Ω
dt
dt
(4)
Ce qui peut encore s’écrire :
~˙ ∧ r~′ + Ω
~ ∧ (Ω
~ ∧ r~′) + 2Ω
~ ∧ r~˙′
γ~a (M) = γ~a (O ′ ) + γ~r (M) + Ω
Avec :
˙
dr~′
γ~r (M) =
dt
(5)
3
Théorème de Coriolis
Posons maintenant :
~˙ ∧ r~′ + Ω
~ ∧ (Ω
~ ∧ r~′ )
γ~e = γ~a (O ′ ) + Ω
(6)
~ ∧ r~˙′
γ~c (M) = 2Ω
(7)
Et :
γ~e est appelée ”accélération d’entraı̂nement”.
γ~c est appelée ”accélération de Coriolis”.
On peut donc résumer la formule de l’équation (5) de la manière suivante :
γ~a (M) = γ~r (M) + γ~e (M) + γ~c (M)
(8)
L’accélération de la particule M dans le référentiel ℜ est égale à son accélération
relative dans ℜ′ , à laquelle il faut ajouter une accélération d’entraı̂nement et une
accélération de Coriolis. Cette dernière loi de composition des accélérations est encore appelée le Théorème de Coriolis.
Remarques
• On notera que l’accélération d’entraı̂nement ne dépend pas de la vitesse relative
r~′ de la particule mais seulement du mouvement de ℜ′ par rapport à ℜ. C’est donc
l’accélération par rapport à ℜ qu’aurait le point M̃ fixe dans ℜ′ , et coı̈ncidant avec
M à l’instant t.
• Au contraire, l’accélération de Coriolis dépend directement de la vitesse relative
r~′ ainsi que du seul mouvement de rotation de ℜ′ .
• Si ℜ′ est animé d’un simple mouvement de translation par rapport à ℜ, alors
l’accélération d’entraı̂nement se réduit uniquement à γ~a (O ′ ), et dans ce cas la force
de Corolis est nulle. De plus si la translation est uniforme, alors l’accélération d’entraı̂nement est également nulle.