Loi de composition des vitesses et accélérations

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ANNEXE : LOI DE COMPOSITION DES VITESSES ET
DES ACCELERATIONS
On consid`ere un premier rep`ere inertiel (galil´een,”absolu”) ℜ= (O, x, y, z) et
un second rep`ere ℜ′= (O′, x′, y′, z′) en mouvement quelconque par rapport `a ℜ.
Autrement dit : d’une part le point O′est anim´e d’un mouvement quelconque par
rapport ℜ, d’autre part les axes du r´ef´erentiel ℜ′sont soumis `a une rotation par
rapport `a ceux de ℜ. On appelle ~ Ω le vecteur instantan´e de rotation correspondant,
c.a.d. de ℜ′par rapport `a ℜ.
Soit Mun point mobile dont la vitesse absolue par rapport `a ℜest ~ Va(M) `a
l’instant t. Appelons ~ Vr(M)sa vitesse relative au mˆeme instant, c’est `a dire par
rapport `a ℜ′. En d’autres termes :
~
Va(M) = d~
OM
dtℜ
~
Vr(M) = d~
O′M
dtℜ′
Vitesse d’entraˆınement et vitesse relative
La loi de composition des vitesses donne la relation suivante :
~
Va(M) = ~ Vr(M) + ~ Ve(M) (1)
Ici ~ Ve(M) repr´esente la vitesse `a l’instant t, par rapport `a ℜ, d’un point ˜ M
consid´er´e comme fixe dans le rep`ere ℜ′et co¨ıncidant `a cet instant avec le
point M.~ Ve(M) est donc appel´ee vitesse d’entraˆınement. On peut ´ecrire :
~
Ve(M) = ~ Va(˜ M)
Or le point co¨ıncidant ˜ Mest soumis `a deux composantes : d’une part `a la vitesse
de translation du point O′par rapport `a O, d’autre part `a la rotation de ℜ′par
rapport `a ℜ, de vecteur ~ Ω. Ainsi on obtient :

2
~
Ve(M) = ~ Va(O′) + ~ Ω∧~ O′M(2)
O`u ~ Va(O′) est la vitesse absolue du point O′par rapport au point Odans le
rep`ere ℜ
Formulation de la loi de composition des vitesses
Finalement on peut ´ecrire, en posant ~ O′M=~ r′:
~
Va(M) = ~ Vr(M) + ~ Ve(M) = ~ Va(O′) + ˙
~
r′+~ Ω∧~ r′(3)
Formulation de la loi de composition des acc´el´erations.
On cherche maintenant `a exprimer l’acc´el´eration absolue ~γa(M) du point Mpar
rapport au r´ef´erentiel ℜen fonction de l’acc´el´eration relative ~γr(M) de ce mˆeme
point Mpar rapport au r´ef´erentiel ℜ′. Pour cela on d´erive par rapport au temps
l’´equation (3), en tenant compte du fait que le vecteur ( ˙
~
r′+~ Ω∧~r′) est li´e `a ℜ′donc
lui-mˆeme soumis `a la rotation de ℜ′par rapport `a ℜ. Ainsi :
~γa(M) = d~
Va(M)
dt=~γa(O′) + d dt(˙
~
r′+~ Ω∧~ r′) + ~ Ω∧(~ Ω∧~ r′+˙
~
r′) (4)
Ce qui peut encore s’´ecrire :
~γa(M) = ~γa(O′) + ~γr(M) + ˙
~
Ω∧~ r′+~ Ω∧(~ Ω∧~ r′) + 2~ Ω∧˙
~
r′(5)
Avec :
~γr(M) = d˙
~
r′
dt

3
Th´eor`eme de Coriolis
Posons maintenant :
~γe=~γa(O′) + ˙
~
Ω∧~ r′+~ Ω∧(~ Ω∧~ r′) (6)
Et :
~γc(M) = 2~ Ω∧˙
~
r′(7)
~γeest appel´ee ”acc´el´eration d’entraˆınement”.
~γcest appel´ee ”acc´el´eration de Coriolis”.
On peut donc r´esumer la formule de l’´equation (5) de la mani`ere suivante :
~γa(M) = ~γr(M) + ~γe(M) + ~γc(M) (8)
L’acc´el´eration de la particule Mdans le r´ef´erentiel ℜest ´egale `a son acc´el´eration
relative dans ℜ′, `a laquelle il faut ajouter une acc´el´eration d’entraˆınement et une
acc´el´eration de Coriolis. Cette derni`ere loi de composition des acc´el´erations est en-
core appel´ee le Th´eor`eme de Coriolis.
Remarques
•On notera que l’acc´el´eration d’entraˆınement ne d´epend pas de la vitesse relative
~
r′de la particule mais seulement du mouvement de ℜ′par rapport `a ℜ. C’est donc
l’acc´el´eration par rapport `a ℜqu’aurait le point ˜ Mfixe dans ℜ′, et co¨ıncidant avec
M`a l’instant t.
•Au contraire, l’acc´el´eration de Coriolis d´epend directement de la vitesse relative
~
r′ainsi que du seul mouvement de rotation de ℜ′.
•Si ℜ′est anim´e d’un simple mouvement de translation par rapport `a ℜ, alors
l’acc´el´eration d’entraˆınement se r´eduit uniquement `a ~γa(O′), et dans ce cas la force
de Corolis est nulle. De plus si la translation est uniforme, alors l’acc´el´eration d’en-
traˆınement est ´egalement nulle.