TRAVAUX DIRIGES No. 1, JEUDI 15 SEPTEMBRE 2016

1
TRAVAUX DIRIGES No. 1, JEUDI 15 SEPTEMBRE 2016
EXERCICE No. 22
Une particule de masse m, de vitesse initiale v0, se d´eplace verticalement de
haut en bas, sous l’action de l’acc´el´eration de la pesanteur g. On se place dans le
cas o`u cette particule est soumise `a une r´esistance de l’air ~ R=−km~v o`u kest une
constante. On rep`ere la particule par sa coordonn´ee zavec z= 0 `a l’instant initial
t= 0 . On choisira l’axe (O, ~z) dirig´e vers le bas.
(1) D´eterminer
(a) La vitesse vde la particule `a l’instant t.
(b) La vitesse limite Vlde la particule lors de son mouvement descendant.
(2) Donner l’´equation exprimant la coordonn´ee verticale zen fonction de t.
(3) A quel instant la particule atteint-elle sa vitesse limite `a 1% pr`es ? Quelles sont
alors son acc´el´eration et la distance zde parcours ?
(4) R´epondre num´eriquement aux questions pr´ec´edentes.
Donn´ees num´eriques
g= 9,81m/s2;k= 25s−1;v0= 10cm/s

2
EXERCICE No. 23
Une petite sph`ere de plomb Pde masse m, est envoy´ee, vers le haut, `a partir
d’un point origine Ocorrespondant `a z= 0 (l’axe (O, z) ´etant pris dirig´e vers le
haut), avec une vitesse intiale v0, `a l’ instant t= 0. Elle est soumise durant sa chute
rectiligne `a une r´esistance de l’air ~ R, oppos´ee au mouvement de Pet proportionnelle
au carr´e de la vitesse vde P, d’apr`es la loi suivante :
~
R=−kmv2~n
o`u ~n est le vecteur unitaire selon le sens du mouvement. On pose : λ=qg/k o`u g
est l’acc´el´eration de la pesanteur.
(1)
(a) Ecrire les expressions de la vitesse vet de la distance parcourue zen fonction
du temps t, au cours du mouvement ascendant de la sph`ere P.
(b) En d´eduire l’altitude maximale zmax atteinte par P. Quelle serait cette alti-
tude maximale en l’absence de r´esistance de l’air ? Comparer.
(2)
(a) Ecrire les expressions de la vitesse vet de l’espace parcouru zen fonction de
t, au cours du mouvement descendant.
(b) Quelle est, en fonction de v0et λ, la vitesse v′
0de Plorsqu’elle repasse au
point O? Calculer v′0 lorsque la vitesse initiale v0est ´egale `a la vitesse limite de
chute du projectile.
(3) Appliquer num´eriquement les r´esultats pr´ec´edents, avec : k= 2 ×10−3m−1;
g= 9,81m/s2;v0= 100m/s