Cinématique du point
publicité
Cinématique du point MPSI 26 août 2008 Table des matières 1 Postulats de Newton 1.0.1 Espace et Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0.2 Point materiel - Réferentiel . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 2 Vitesse 3 3 Accélération 4 4 Vitesse et accélération dans la base de Frenet 6 1 Chapitre 1 Postulats de Newton 1.0.1 Espace et Temps La mécanique newtonienne repose sur les postulats spatio-temporel de Newton, a savoir : → L’espace est absolu, immuable, infini, euclidien, homogène et isotrope → Le temps est absolu et uniforme 1.0.2 Point materiel - Réferentiel Définition 1 Un système sera assimilé à un point à partir du moment où sa position dans l’espace peut etre donnée par un triplet de coordonées. Définition 2 On parle d’un point materiel quand on concentre la totalité de la masse du système à l’isobarycentre des masses. La position de cet objet sera donc étudié depuis ce point. Définition 3 Un référentiel est un repère muni de la notion de temps. On peut donc y effectuer des mesure, et donc y effectuer une étude cinématique. 2 Chapitre 2 Vitesse Définition 4 Soit M un point materiel observé dans un référentiel R. −−→ La position de M à l’instant t est donnée par le vecteur position OM (t). La vitesse de M dans R est définie par : −−→ ! → − dOM (t) V (M )R = dt R → − De plus, si on considère dl un déplacement élementaire, on obtient : → −! → − dl V (M )R = dt R Expression en coordonnée catérisienne → − → − → − → − V (M )R = x̊ i + ẙ j + z̊ k Expression en coordonnée cylindrique → − → − − − V (M )R = r̊→ ur + rθ̊→ uθ + z̊ k Expression en coordonnée polaire → − − − V (M )R = r̊→ ur + rθ̊→ uθ 3 Chapitre 3 Accélération → − Définition 5 Par définition, l’accélération de M, animé de la vitesse V (M )R est donnée par : ! → − d V (M ) R → − a (M )R = dt R Expression en coordonnée cartérisienne → − → − → − → − a (M )R = x̊˚i + ẙ˚j + z̊˚k Expression en coordonnée cylindrique → − ˚− → − − a (M )R = (r̊˚− rθ̊2 )→ ur + (2r̊θ̊ + rθ̊)→ uθ + z̊˚k Expression en coordonnée polaire → − − − a (M )R = ar → ur + aθ → uθ avec : → ar = r̊˚− rθ̊2 : C’est l’accélération radiale ˚ → aθ = 2r̊θ̊ + rθ̊ : C’est l’accélération orthoradiale En coordonnée polaire, on dit qu’un système subit une accélération centrale si et seulement si l’accélération aθ est nul. Dans ce cas, le vecteur accélération passe par un point fixe appelé centre de force. 4 Dans ce cas, en dérivant r2 θ̊ par rapport au temps, on remarque que l’expression : ϕ = r2 θ̊ est une constante. On appele ϕ constante des aires 5 Chapitre 4 Vitesse et accélération dans la base de Frenet → − Définition 6 Soit t un vecteur unitaire tangent à la trajectoire à chaque instant. → − − Soit → ω = θ̊ k , le vecteur rotation instanée. → − → − − Soit → n = k ∧ t. − → − − → On appele base de Frenet, la base ( t , → n , k ) orthonormée direct Déplacement élémentaire On défini un cercle, dit osculateur (tangent à la trajectoire au point M(t), à l’instant t), de rayon Rc et de centre C. On défini : dl = Rc .dθ Vitesse On défini la vitesse dans la base de Frenet par : → − → − V (M )R = Rc θ̊ t Accélération On défini l’accélération dans la base de Frenet par : → − → − − a (M )R = an → n + at t avec : 6 v2 : C’est l’accélération normale Rc dv : C’est l’accélération tangentielle → at = dt R → an = 7
