Cinématique du point

Cin´ematique du point
MPSI
26 aoˆut 2008

Table des mati`eres
1 Postulats de Newton 2
1.0.1 Espace et Temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.0.2 Point materiel - R´eferentiel . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Vitesse 3
3 Acc´el´eration 4
4 Vitesse et acc´el´eration dans la base de Frenet 6
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Chapitre 1
Postulats de Newton
1.0.1 Espace et Temps
La m´ecanique newtonienne repose sur les postulats spatio-temporel de
Newton, a savoir :
→L’espace est absolu, immuable, infini, euclidien, homog`ene et isotrope
→Le temps est absolu et uniforme
1.0.2 Point materiel - R´eferentiel
D´efinition 1 Un syst`eme sera assimil´e `a un point `a partir du moment o`u
sa position dans l’espace peut etre donn´ee par un triplet de coordon´ees.
D´efinition 2 On parle d’un point materiel quand on concentre la totalit´e de
la masse du syst`eme `a l’isobarycentre des masses. La position de cet objet
sera donc ´etudi´e depuis ce point.
D´efinition 3 Un r´ef´erentiel est un rep`ere muni de la notion de temps. On
peut donc y effectuer des mesure, et donc y effectuer une ´etude cin´ematique.
2

Chapitre 2
Vitesse
D´efinition 4 Soit M un point materiel observ´e dans un r´ef´erentiel R.
La position de M `a l’instant t est donn´ee par le vecteur position −−→ OM(t).
La vitesse de M dans R est d´efinie par :
−→
V(M)R= d−−→
OM(t)
dt !R
De plus, si on consid`ere −→ dl un d´eplacement ´elementaire, on obtient :
−→
V(M)R= −→
dl
dt !R
Expression en coordonn´ee cat´erisienne
−→
V(M)R= ˚x−→ i+ ˚y−→ j+ ˚z−→ k
Expression en coordonn´ee cylindrique
−→
V(M)R= ˚r−→ ur+r˚ θ−→ uθ+ ˚z−→ k
Expression en coordonn´ee polaire
−→
V(M)R= ˚r−→ ur+r˚ θ−→ uθ
3

Chapitre 3
Acc´el´eration
D´efinition 5 Par d´efinition, l’acc´el´eration de M, anim´e de la vitesse −→ V(M)R
est donn´ee par :
−→
a(M)R= d−→
V(M)R
dt !R
Expression en coordonn´ee cart´erisienne
−→
a(M)R= ˚x˚
−→
i+ ˚y˚
−→
j+ ˚z˚
−→
k
Expression en coordonn´ee cylindrique
−→
a(M)R= (˚r˚−r˚ θ2)−→ ur+ (2˚r˚ θ+r˚
˚
θ)−→ uθ+ ˚z˚
−→
k
Expression en coordonn´ee polaire
−→
a(M)R=ar
−→
ur+aθ
−→
uθ
avec :
→ar= ˚r˚−r˚ θ2: C’est l’acc´el´eration radiale
→aθ= 2˚r˚ θ+r˚
˚
θ: C’est l’acc´el´eration orthoradiale
En coordonn´ee polaire, on dit qu’un syst`eme subit une acc´el´eration centrale
si et seulement si l’acc´el´eration aθest nul.
Dans ce cas, le vecteur acc´el´eration passe par un point fixe appel´e centre de
force.
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