TD 1 Compléments mathématiques

PH1ME2-C
Université Paris 7 - Denis Diderot
2012-2013
TD 1
Compléments mathématiques - Cinématique
Rappels mathématiques
1. Différentielle et variation
On cherche à déterminer de combien varie la longueur, la surface ou le volume de différents objets de
dimension caractéristique R, lorsque R varie d’une quantité δR ≪ R. Dans chaque cas, on effectuera
d’abord le calcul exact par différence entre les valeurs finale et initiale, puis le calcul différentiel.
Comparer les résultats respectifs de ces deux calculs d’abord littéralement puis numériquement, dans
le cas R = 100 m et δR = 1 m pour :
1. la variation de circonférence d’un cercle de rayon R,
2. la variation de surface d’un disque de rayon R,
3. la variation de volume d’une sphère de rayon R.
4. Que valent les incertitudes relatives et absolues pour la surface et pour le volume si R est connu
à 5% près ?
2. Intégration : aires et volumes
A partir de l’expression de la circonférence d’un cercle de rayon R, retrouver successivement à
l’aide d’intégrations simples :
1. la surface d’un disque,
2. le volume d’une sphère.
3. Question ouverte : quelles autres méthodes pourrait-on employer pour déterminer le volume de
la sphère ?
3. Masse de cylindre
Soit un cylindre de révolution de rayon R de hauteur H.
1. Calculer la masse M d’un cylindre homogène.
2. Même question dans le cas d’un cylindre inhomogène dont la masse volumique ρ(r) dépend de la
distance r du point considéré à l’axe du cylindre selon la loi : ρ(r) = αr 2 . Préciser la dimension
de la constante α.
3. En déduire la masse volumique moyenne ρm en fonction de α et de R. Comment varie M si R
est multiplié par un facteur λ ?
4. Produit vectoriel, double produit vectoriel, produit mixte
1. Soient deux vecteurs ~a et ~b formant un angle α entre eux. Définir les caractéristiques du vecteur
~c = ~a ∧ ~b. Dans quels cas ~c est-il nul ? Pourquoi le produit vectoriel est-il qualifié de pseudovecteur ? Donner les coordonnées cartésiennes de ~c en fonction de celles de ~a et de ~b.
2. Calculer les produits vectoriels suivants où (~i, ~j, ~k) et (u~ρ , u~θ , u~z ) sont respectivement les bases
orthonormées directes des systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques. On appellera θ
l’angle entre ~i et u~ρ et on identifiera ~k à u~z .
a) ~i ∧ ~j, ~j ∧ ~i, ~k ∧ ~j
b) u~ρ ∧ u~θ , u~ρ ∧ u~z
c) u~θ ∧ ~j
3. Calculer (~a + ~b) ∧ (~a − ~b)
4. Soient les vecteurs ~a = 3~i + 2~j − 4~k et ~b = 2~i − ~j + α~k .
Pour quelle valeur de α, ~a et ~b sont-ils perpendiculaires ? Existe-t-il une valeur de α telle que ~a
et ~b soient colinéaires ?
5. Montrer que l’aire d’un parallélogramme de cotés ~a et ~b vaut | ~a ∧ ~b |
6. Double produit vectoriel
a) En utilisant les coordonnées cartésiennes, vérifier que : ~a ∧ (~b ∧ ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c
b) En déduire que ~a ∧ (~b ∧ ~c) + ~b ∧ (~c ∧ ~a) + ~c ∧ (~a ∧ ~b) = ~0
7. Produit mixte
On définit le produit mixte : (~a, ~b, ~c) = ~a · (~b ∧ ~c).
a) Montrer que (~a, ~b, ~c) = (~b, ~c,~a) = (~c,~a, ~b)
b) Montrer que le volume d’un parallélépipède de cotés ~a, ~b et ~c vaut | ~a · (~b ∧ ~c) |.
Coordonnées spatiales et cinématique
5. Vitesse et accélération exprimées dans différents repères
1. Calculer les dérivées temporelles des vecteurs de la base orthornormée des coordonnées polaires
( u~ρ , u~θ ) et des coordonnées sphériques (u~r , u~θ , u~φ ) . Pour un mouvement plan, définir le vecteur
du~
u~θ
rotation (vitesse angulaire) ~
ω . Exprimer les dérivées dtρ et ddt
en faisant apparaitre ~ω.
2. Retrouver les expressions de la vitesse en coordonnées cartésiennes, cylindriques (et sphériques
pour les courageux).
3. Même question pour l’accélération.
4. Qu’appelle-t-on le repère de Frenet ? Exprimer la vitesse et l’accélération dans ce repère.
5. Dans le cas d’un mouvement circulaire plan de centre O, comparer les vitesses (resp.
accélérations) radiales et orthoradiales avec les vitesses (resp. accélérations) tangentielles et
normales. Les exprimer dans le cas particulier du mouvement circulaire uniforme.
6. Etude paramétrique d’une trajectoire plane
Les équations du mouvement d’un point M sont données, en coordonnées cartésiennes, par :
x = A cos(at2 + bt + c)
et y = A sin(at2 + bt + c)
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où A est une constante positive et a, b et c des constantes. Déterminer :
1. la trajectoire du point M,
2. les équations du mouvement en coordonnées polaires,
3. les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse et de l’accélération,
4. la nature du mouvement,
5. la signification physique de A, a , b et c,
6. la dépendance en temps de l’abscisse curviligne,
7. les composantes tangentielle et normale de la vitesse et de l’accélération.
7. Voiture et piéton
Soit une voiture de largeur L en mouvement le long d’un trottoir rectiligne x′ x. Un piéton décide
de traverser la route au moment où la voiture se trouve à une distance D.
y
V
voiture
L
φ
v
x
Ο
D
Le mouvement du piéton est rectiligne, uniforme, de vitesse ~v , inclinée d’un angle φ par rapport à
~ = V ~i.
l’axe Oy. La voiture se déplace à la vitesse uniforme V
Quelle doit-être la valeur de φ afin que la collision avec la voiture soit évitée, le module v de ~v
étant minimum (on précisera la valeur de vmin ) ?
8. Deux cyclistes
Deux cyclistes se déplacent sur deux pistes circulaires concentriques de rayons respectifs RA = 75
m et RB = 100 m. Lorsqu’ils tournent dans le mme sens, le cycliste A dépasse le cycliste B toutes les
2 minutes. Lorsqu’ils tournent en sens inverse, ils se croisent toutes les 30 secondes. Les mouvements
étant uniformes, calculer leurs célérités respectives et leurs accélérations.
9. Collision évitée de deux voitures
Une voiture A roule à la vitesse de 100 km/h lorsque son conducteur A aperçoit devant lui, à une
distance d = 30 m, une voiture B roulant à la vitesse de 40 km/h. Il freine alors avec une accélération
aA , alors que le conducteur B, réalisant le danger, accélère avec aB = 1.5 m.s−2 . Quelle condition doit
vérifier aA pour éviter la collision ?
10. Chute verticale
Lors d’un mouvement de chute libre verticale (l’accélération est alors égale à ~g ), un objet initialement au repos parcourt la moitié de sa hauteur totale de chute dans la dernière seconde du mouvement.
De quelle hauteur cet objet a-t-il été laché et quelle est la durée de chute totale ?
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