TD 1 Compléments mathématiques

PH1ME2-C Universit´e Paris 7 - Denis Diderot 2012-2013
TD 1
Compl´ements math´ematiques - Cin´ematique
Rappels math´ematiques
1. Diff´erentielle et variation
On cherche `a d´eterminer de combien varie la longueur, la surface ou le volume de diff´erents objets de
dimension caract´eristique R, lorsque Rvarie d’une quantit´e δR ≪R. Dans chaque cas, on effectuera
d’abord le calcul exact par diff´erence entre les valeurs finale et initiale, puis le calcul diff´erentiel.
Comparer les r´esultats respectifs de ces deux calculs d’abord litt´eralement puis num´eriquement, dans
le cas R= 100 m et δR = 1 m pour :
1. la variation de circonf´erence d’un cercle de rayon R,
2. la variation de surface d’un disque de rayon R,
3. la variation de volume d’une sph`ere de rayon R.
4. Que valent les incertitudes relatives et absolues pour la surface et pour le volume si Rest connu
`a 5% pr`es ?
2. Int´egration : aires et volumes
A partir de l’expression de la circonf´erence d’un cercle de rayon R, retrouver successivement `a
l’aide d’int´egrations simples :
1. la surface d’un disque,
2. le volume d’une sph`ere.
3. Question ouverte : quelles autres m´ethodes pourrait-on employer pour d´eterminer le volume de
la sph`ere ?
3. Masse de cylindre
Soit un cylindre de r´evolution de rayon Rde hauteur H.
1. Calculer la masse Md’un cylindre homog`ene.
2. Mˆeme question dans le cas d’un cylindre inhomog`ene dont la masse volumique ρ(r) d´epend de la
distance rdu point consid´er´e `a l’axe du cylindre selon la loi : ρ(r) = αr2. Pr´eciser la dimension
de la constante α.
3. En d´eduire la masse volumique moyenne ρmen fonction de αet de R. Comment varie Msi R
est multipli´e par un facteur λ?

4. Produit vectoriel, double produit vectoriel, produit mixte
1. Soient deux vecteurs ~a et ~ bformant un angle αentre eux. D´efinir les caract´eristiques du vecteur
~c =~a ∧~ b. Dans quels cas ~c est-il nul ? Pourquoi le produit vectoriel est-il qualifi´e de pseudo-
vecteur ? Donner les coordonn´ees cart´esiennes de ~c en fonction de celles de ~a et de ~ b.
2. Calculer les produits vectoriels suivants o`u (
~
i,~ j,~ k) et ( ~uρ,~uθ,~uz) sont respectivement les bases
orthonorm´ees directes des syst`emes de coordonn´ees cart´esiennes et cylindriques. On appellera θ
l’angle entre ~ iet ~uρet on identifiera ~ k`a ~uz.
a) ~ i∧~ j,~ j∧~ i,~ k∧~ j
b) ~uρ∧~uθ,~uρ∧~uz
c) ~uθ∧~ j
3. Calculer (~a +~ b)∧(~a −~ b)
4. Soient les vecteurs ~a = 3
~
i+ 2~ j−4~ ket ~ b= 2
~
i−~ j+α~ k.
Pour quelle valeur de α,~a et ~ bsont-ils perpendiculaires ? Existe-t-il une valeur de αtelle que ~a
et ~ bsoient colin´eaires ?
5. Montrer que l’aire d’un parall´elogramme de cot´es ~a et ~ bvaut |~a ∧~ b|
6. Double produit vectoriel
a) En utilisant les coordonn´ees cart´esiennes, v´erifier que : ~a ∧(~ b∧~c) = (~a ·~c)~ b−(~a ·~ b)~c
b) En d´eduire que ~a ∧(~ b∧~c) + ~ b∧(~c ∧~a) + ~c ∧(~a ∧~ b) = ~ 0
7. Produit mixte
On d´efinit le produit mixte : (~a,~ b,~c) = ~a ·(~ b∧~c).
a) Montrer que (~a,~ b,~c) = (~ b, ~c,~a) = (~c,~a,~ b)
b) Montrer que le volume d’un parall´el´epip`ede de cot´es ~a,~ bet ~c vaut |~a ·(~ b∧~c)|.
Coordonn´ees spatiales et cin´ematique
5. Vitesse et acc´el´eration exprim´ees dans diff´erents rep`eres
1. Calculer les d´eriv´ees temporelles des vecteurs de la base orthornorm´ee des coordonn´ees polaires
(~uρ,~uθ) et des coordonn´ees sph´eriques ( ~ur,~uθ,~uφ) . Pour un mouvement plan, d´efinir le vecteur
rotation (vitesse angulaire) ~ω. Exprimer les d´eriv´ees d ~uρ
dt et d ~uθ dt en faisant apparaitre ~ω.
2. Retrouver les expressions de la vitesse en coordonn´ees cart´esiennes, cylindriques (et sph´eriques
pour les courageux).
3. Mˆeme question pour l’acc´el´eration.
4. Qu’appelle-t-on le rep`ere de Frenet ? Exprimer la vitesse et l’acc´el´eration dans ce rep`ere.
5. Dans le cas d’un mouvement circulaire plan de centre O, comparer les vitesses (resp.
acc´el´erations) radiales et orthoradiales avec les vitesses (resp. acc´el´erations) tangentielles et
normales. Les exprimer dans le cas particulier du mouvement circulaire uniforme.
6. Etude param´etrique d’une trajectoire plane
Les ´equations du mouvement d’un point M sont donn´ees, en coordonn´ees cart´esiennes, par :
x=Acos(at2+bt +c) et y=Asin(at2+bt +c)
2

o`u A est une constante positive et a, b et c des constantes. D´eterminer :
1. la trajectoire du point M,
2. les ´equations du mouvement en coordonn´ees polaires,
3. les composantes radiale et orthoradiale de la vitesse et de l’acc´el´eration,
4. la nature du mouvement,
5. la signification physique de A, a , b et c,
6. la d´ependance en temps de l’abscisse curviligne,
7. les composantes tangentielle et normale de la vitesse et de l’acc´el´eration.
7. Voiture et pi´eton
Soit une voiture de largeur Len mouvement le long d’un trottoir rectiligne x′x. Un pi´eton d´ecide
de traverser la route au moment o`u la voiture se trouve `a une distance D.
L
D
V
v x
y
φvoiture
Ο
Le mouvement du pi´eton est rectiligne, uniforme, de vitesse ~v, inclin´ee d’un angle φpar rapport `a
l’axe Oy. La voiture se d´eplace `a la vitesse uniforme ~ V=V~ i.
Quelle doit-ˆetre la valeur de φafin que la collision avec la voiture soit ´evit´ee, le module vde ~v
´etant minimum (on pr´ecisera la valeur de vmin) ?
8. Deux cyclistes
Deux cyclistes se d´eplacent sur deux pistes circulaires concentriques de rayons respectifs RA= 75
m et RB= 100 m. Lorsqu’ils tournent dans le mme sens, le cycliste A d´epasse le cycliste B toutes les
2 minutes. Lorsqu’ils tournent en sens inverse, ils se croisent toutes les 30 secondes. Les mouvements
´etant uniformes, calculer leurs c´el´erit´es respectives et leurs acc´el´erations.
9. Collision ´evit´ee de deux voitures
Une voiture Aroule `a la vitesse de 100 km/h lorsque son conducteur Aaper¸coit devant lui, `a une
distance d= 30 m, une voiture Broulant `a la vitesse de 40 km/h. Il freine alors avec une acc´el´eration
aA, alors que le conducteur B, r´ealisant le danger, acc´el`ere avec aB= 1.5 m.s−2. Quelle condition doit
v´erifier aApour ´eviter la collision ?
10. Chute verticale
Lors d’un mouvement de chute libre verticale (l’acc´el´eration est alors ´egale `a ~g), un objet initiale-
ment au repos parcourt la moiti´e de sa hauteur totale de chute dans la derni`ere seconde du mouvement.
De quelle hauteur cet objet a-t-il ´et´e lach´e et quelle est la dur´ee de chute totale ?
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