Feuille d`exercices 0 Révision nombres complexes et trigonométrie

Math 256
Analyse de Fourier pour la physique
Orsay 2016-17
Feuille d’exercices 0
Révision nombres complexes et trigonométrie
Exercice 1 : Vrai ou faux ?
Parmi les assertions suivantes, dire lesquelles sont vraies et lesquelles sont fausses en justifiant :
a) Pour tout nombre complexe t, le nombre complexe eit est de module 1.
FAUX : Si t est un nombre réel, alors eit est de module 1, mais c’est faux si t est un nombre complexe.
En effet, si t = a + ib avec a, b ∈ R, alors eit = eia e−b , de sorte que |eit | = 1 si et seulement si b = 0,
c’est-à-dire si et seulement si t est réel.
b) Si un nombre complexe z vérifie z n = 1 pour un entier n ≥ 1, alors z est de la forme z = eit avec
t ∈ R.
VRAI : En effet, si z n = 1, alors 1 = |z n | = |z|n , de sorte que |z| = 1. Par conséquent, on a z = eit
avec t ∈ R, par la question précédente.
c) Si r et t sont des réels, alors le conjugué du nombre complexe reit est re−it .
VRAI : Soient r, t ∈ R. Par définition, on a reit = r cos(t) + ir sin(t), de sorte que reit = r cos(t) −
ir sin(t). D’autre part, on a re−it = r cos(−t) + ir sin(t) = r cos(t) − ir sin(t). On a donc bien égalité
entre les deux termes.
d) Si t1 , ..., tn sont des réels, alors le module |eit1 + ... + eitn | du nombre complexe eit1 + ... + eitn est
égal à n.
FAUX : Par exemple, pour n = 2, on a |e0 + eiπ | = |1 − 1| = 0 6= 2. En fait, on peut montrer par
récurrence que l’on a |eit1 + ... + eitn | = n si et seulement si eit1 = eit2 = ... = eitn .
Exercice 2 : Équations complexes
Soit u = a + ib un nombre complexe, avec a, b ∈ R. On cherche à résoudre l’équation (E) : z 2 = u,
avec u ∈ C. On pose z = c + id avec c, d ∈ R.
a) Montrer que c et d doivent vérifier les conditions :
p
c2 − d2 = a; cd = b/2; c2 + d2 = a2 + b2 .
Montrer que réciproquement, si les deux premières de ces conditions sont vérifiées, alors c + id est bien
une solution de l’équation (E).
Supposons que z = c + id vérifie z 2 = u. On a alors
a + ib = u = z 2
= (c + id)2
= c2 − d2 + 2icd
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et imaginaires sont égales.
On a donc a = c2 − d2 et b = 2cd.
De plus, on a
p
a2 + b2 = |u| = |z|2
= c2 + d2 ,
ce qui nous donne la dernière équation recherchée.
Réciproquement, supposons que a, b, c, d soient des nombres réels vérifiant c2 − d2 = a et cd = b/2.
Posons u = a + ib et z = c + id.
On a
z 2 = (c + id)2
= c2 − d2 + 2icd
= a + ib = u,
1
donc z est bien une solution de l’équation (E).
√
√
b) Montrer que les réels a2 + b2 + a et a2 + b2 − a sont positifs ou nuls.
√
√
√
La fonction x 7→ √x est croissante, donc, comme a2 + b2 ≥ a2 , on a a2 + b2 ≥ a2 = |a|. Par
conséquent, on a bien a2 + b2 ± a ≥ 0.
q√
q√
a2 +b2 +a
a2 +b2 +a
c) On suppose que c + id est solution de (E). Montrer que c =
ou
c
=
−
.
2
2
q√
q√
2
2
2
2
a +b −a
a +b −a
Montrer de même que d =
ou d = −
.
2
2
√
2
2
Par la première question, on doit avoir c − d = a et c2 + d2 = a2 + b2 . En faisant respectivement
la somme et la différence de ces deux équations, on a
p
1
a + a2 + b2
2
1 p 2
d2 =
a + b2 − a .
2
Par la question précédente, ces nombres sont positifs, donc on peut prendre leurs racines carrées. On
trouve ainsi
r
p
1
c=±
a + a2 + b2
2
r
1 p 2
d=±
a + b2 − a .
2
c2 =
d) Trouver toutes les solutions de (E).
La question précédente nous donne une condition nécessaire sur les coefficients c et d : chacun ne peut
prendre que deux valeurs. Reste à savoir si toutes ces possibilités donnent effectivement des solutions de
l’équation.
Il est clair que si on prend c et d comme à la question précédente, on aura c2 − d2 = a. Toutefois, par
la première question, on sait que c et d doivent aussi vérifier cd = b/2. Si on note sgn(x) le signe d’un
nombre, de sorte que x = sgn(x)|x|, on a
qp
p
1
cd = sgn(c)sgn(d)
( a2 + b2 + a)( a2 + b2 − a)
2q
p
1
( a2 + b2 )2 − a2
= sgn(c)sgn(d)
2
1√ 2
b
= sgn(c)sgn(d)
2
|b|
= sgn(c)sgn(d) .
2
Mais on veut que cd = b/2 = sgn(b)|b|/2. On doit donc avoir sgn(c)sgn(d) = sgn(b). Les solutions
sont donc
r
r
1 p 2
1 p 2
a + b2 + a + sgn(b)
a + b2 − a
z=
2
2
et
r
r
1 p 2
1 p 2
2
z=−
a + b + a − sgn(b)
a + b2 − a .
2
2
e) Expliciter les solutions de (E) quand u = i.
Quand u = i, on a a = 0 et b = 1. On a donc
1+i
z=± √ .
2
Remarque : Les formules que l’on a vu dans cet exercices sont assez longues, et certainement pas à
apprendre par coeur. Il est beaucoup plus simple de
√ calculer les racines carrées en coordonnées polaires :
si u = reiθ , alors les racines carrées de u sont ± reiθ/2 .
Exercice 3 : Quelques calculs trigonométriques
2
a) Soit x un réel. Calculer sin(x + π/2) et cos(x + π/2) en fonction de cos x et sin x.
Rappelons que, pour tout a, b ∈ R, on a cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) et sin(a + b) =
sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a). On a donc
sin(x + π/2) = sin(x) cos(π/2) + sin(π/2) cos(x) = cos(x),
en se rappelant que cos(π/2) = 0 et sin(π/2) = 1. On a aussi
cos(x + π/2) = cos(x) cos(π/2) − sin(x) sin(π/2) = − sin(x).
√ b) Même questions pour sin(x + π/3) et cos(x + π/3). Rappelons que cos(π/3) = 1/2, et sin(π/3) =
3/2. On a donc
√
1
3
sin(x + π/3) = sin(x) cos(π/3) + sin(π/3) cos(x) = sin(x) +
cos(x),
2
2
√
3
1
sin(x).
cos(x + π/3) = cos(x) cos(π/3) − sin(x) sin(π/3) = cos(x) −
2
2
c) Mêmes questions pour cos(2x) et sin(2x). On a
cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x) = 2 cos2 (x) − 1 = 1 − 2 sin2 (x),
sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).
Ces formules peuvent servir, il est bon de les connaitre !
Exercice 4 : Racines de l’unité
Soit n un entier au moins égal à 2.
a) En cherchant z sous forme trigonométrique, montrer qu’il existe exactement n nombres complexes
z vérifiant z n = 1. Expliciter ces n nombres complexes.
Ecrivons z = reiθ , avec r ≥ 0. On a 1 = |z n | = rn , donc on doit avoir r = 1. On a donc 1 = z n = einθ ,
de sorte que l’on doit avoir nθ = 2kπ pour un k ∈ Z, soit θ = 2kπ
n . Remarquons que, si on remplace k par
k + n, on change θ en θ + 2π, et on ne change pas le nombre z. On peut donc se limiter aux k compris
entre 0 et n − 1. Finalement, les solutions de z n = 1 sont les
e2ikπ/n , k = 0, ..., n − 1.
Remarque : les nombres e2ikπ/n , k = 0, ..., n−1 sont les sommets d’un polygône régulier à n sommets
inscrit dans le cercle unité.
b) Soit u un nombre complexe non nul. Combien de solutions dans C possède l’équation (d’inconnue
z) z n = u ? (On montrera d’abord qu’il existe une solution z0 , puis en utilisant a) on exprimera les autres
solutions en fonction de z0 ).
Ecrivons u = reit et z0 = ρ0 eiθ0 . On a z0n = ρn0 einθ0 . Par conséquent, en prenant ρ0 = r1/n et
θ0 = t/n, on a bien une solution de z0n = u.
Cherchons maintenant les autres solutions de z n = u. Remarquons que, si z est une autre solution,
on a (z/z0 )n = u/u = 1. z/z0 doit donc être l’un des nombres trouvés à la question précédente. Les
solutions de l’équation z n = u sont donc
r1/n eiθ/n+2kπ/n , k = 0, ..., n − 1.
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