Démonstration de la proposition du paragraphe 2.7

MOOC - Physique g´en´erale Prof. J.-Ph. Ansermet
M´ecanique - Solutions de quelques probl`emes
2015-2016
D´emonstration de la proposition du paragraphe 2.7
Syst`emes de coordonn´ees
Coordonn´ees polaires
a) Le point M, de coordonn´ees polaires (r, φ), a pour vecteur position OM =rer.
b) L’´el´ement de surface ´el´ementaire dS est le produit de l’´el´ement de longueur dr dˆu `a une variation
infinit´esimale dr de ravec l’´el´ement de longueur rdφdˆu `a une variation infinit´esimale dφde φ.
Donc :
dS =rdrdφ(1)
L’id´ee est que pour dr et dφsuffisamment petits dS peut ˆetre assimil´e `a l’aire d’un carr´e. La
surface d’un disque est donc l’int´egration de ce petit ´el´ement de surface selon le rayon de 0 `a Ret
sur un tour complet soit pour φallant de 0 `a 2π,i.e.:
S=
2π
0
R
0
rdrdφ.(2)
c) On projette eret eφsur les vecteurs de base cart´esiens :
er=cos φ
sin φ≡cos φex+sinφey,(3)
eφ=−sin φ
cos φ≡−sin φex+ cos φey.(4)
On calcule les d´eriv´ees de eret eφen d´erivant leurs expressions en coordonn´ees cart´esiennes puis
en les r´eexprimant dans la base (O, er,eφ):
der
dt =˙
φ−sin φ
cos φ=˙
φeφ,(5)
deφ
dt =−˙
φcos φ
sin φ=−˙
φer.(6)
d) La vitesse vest la d´eriv´ee du vecteur position OM :
v=d
dt (rer)= ˙rer+rder dt =˙rer+r˙
φeφ.(7)
L’acc´el´eration aest la d´eriv´ee du vecteur vitesse v:
a=dv
dt =¨r−r˙
φ2er+r¨ φ+2˙r˙ φeφ.(8)
Coordonn´ees cylindriques
a) Le point Mde coordonn´ees cylindriques (ρ,φ, z) a pour vecteur position OM =ρeρ+zez.
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b) L’´el´ement de volume ´el´ementaire dV en coordonn´ees cylindriques est le produit de l’´el´ement de
longueur dρdˆu `a une variation infinit´esimale dρde ρ, avec l’´el´ement de longueur ρdφdˆu `a une
variation infinit´esimale dφde φ, et avec l’´el´ement de longueur dz dˆu `a une variation infinit´esimale
dz de z. Donc dV s’´ecrit :
dV =ρdρdφdz . (9)
Le volume Vd’un cylindre de rayon Ret de hauteur hest donc l’int´egration de cet ´el´ement de
volume sur tout le cylindre :
V=
h
0
2π
0
R
0
ρdρdφdz . (10)
c) Comme pour les coordonn´ees polaires :
eρ=
cos φ
sin φ
0
≡cos φex+sinφey,(11)
eφ=
−sin φ
cos φ
0
≡−sin φex+ cos φey,(12)
ez=
0
0
1
.(13)
Les d´eriv´ees temporelles de ces vecteurs, exprim´ees en coordonn´ees cart´esiennes, sont :
deρ
dt =
−˙
φsin φ
˙
φcos φ
0
,(14)
deφ
dt =
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
,(15)
dez
dt =
0
0
0
.(16)
On cherche maintenant `a exprimer les d´eriv´ees temporelles des vecteurs de base, i.e. les vecteurs
deρ
dt ,deφ dt et dez dt , dans la base de notre rep`ere cylindrique. Pour ce faire, on utilise le produit scalaire
pour calculer les diff´erentes composantes de ces vecteurs. On rappelle qu’un vecteur bpeut s’´ecrire
dans une base quelconque (e1,e2,e3) `a l’aide du produit scalaire comme :
b=(b·e1)e1+(b·e2)e2+(b·e3)e3.(17)
Ainsi, voici comment proc´eder pour projeter deρ
dt sur le rep`ere cylindrique :
deρ
dt =deρ dt ·eρeρ+deρ dt ·eφeφ+deρ dt ·ezez,(18)
deρ
dt ·eρ=
−˙
φsin φ
˙
φcos φ
0
·
cos φ
sin φ
0
=−˙
φcos φsin φ+˙ φcos φsin φ=0,(19)
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deρ
dt ·eφ=
−˙
φsin φ
˙
φcos φ
0
· −sin φ
cos φ
0
=˙
φsin2φ+˙ φcos2φ=˙ φ,(20)
deρ
dt ·ez=
−˙
φsin φ
˙
φcos φ
0
·
0
0
1
=0.(21)
On obtient ainsi l’expression de deρ
dt dans la base cylindrique :
deρ
dt =˙
φeφ.(22)
On r´ep`ete la d´emarche pour exprimer deφ
dt dans le rep`ere (O, eρ,eφ,ez):
deφ
dt =deφ dt ·eρeρ+deφ dt ·eφeφ+deφ dt ·ezez,(23)
deφ
dt ·eρ=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
·
cos φ
sin φ
0
=−˙
φcos2φ−˙ φsin2φ=−˙ φ,(24)
deφ
dt ·eφ=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
· −sin φ
cos φ
0
=˙
φcos φsin φ−˙ φcos φsin φ=0,(25)
deφ
dt ·ez=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
·
0
0
1
=0.(26)
On obtient ainsi : deφ
dt =−˙
φeρ.(27)
Finalement, la d´ecomposition de dez
dt sur la base (O, eρ,eφ,ez) est triviale et se r´eduit au vecteur
nul.
d) De mˆeme que pour les coordonn´ees polaires :
v=d
dt (OM)= d dt (ρeρ+zez)= ˙ρeρ+ρ˙
φeφ+˙zez,(28)
a=dv
dt =¨ρ−ρ˙
φ2eρ+ρ¨ φ+2˙ρ˙ φeφ+¨zez.(29)
Coordonn´ees sph´eriques
a) Le point M, de coordonn´ees sph´eriques (r, θ,φ), a pour vecteur position OM =rer.
b) L’´el´ement de volume ´el´ementaire dV en coordonn´ees sph´eriques est le produit de la l’´el´ement de
longueur dr dˆu `a une variation infinit´esimale dr de r, avec l’´el´ement de longueur rdθdˆu `a une
variation infinit´esimale dθde l’angle θ, et avec l’´el´ement de longueur rsin θdφdˆu `a une variation
infinit´esimale dφde l’angle φ. On peut donc exprimer dV comme :
dV =r2sin θdrdθdφ.(30)
Par cons´equent, le volume Vd’une sph`ere de rayon Rs’´ecrit :
V=
2π
0
π
0
R
0
r2sin θdrdθdφ.(31)
Nous attirons ici votre attention sur le fait que le domaine de d´efinition de l’angle θen coordonn´ees
sph´eriques est [0,π], et celui de l’angle φest [0,2π].
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c) Les vecteurs de base du rep`ere sph´erique se projettent comme ceci sur le rep`ere cart´esien :
er=
sin θcos φ
sin θsin φ
cos θ
≡sin θcos φex+sinθsin φey+ cos θez,(32)
eθ=
cos θcos φ
cos θsin φ
−sin θ
≡cos θcos φex+ cos θsin φey−sin θez,(33)
eφ=
−sin φ
cos φ
0
≡−sin φex+ cos φey.(34)
Et leurs d´eriv´ees s’expriment comme cela :
der
dt =
˙
θcos θcos φ−˙ φsin θsin φ
˙
θcos θsin φ+˙ φsin θcos φ
−˙ θsin θ
,(35)
deθ
dt =
−˙
θsin θcos φ−˙ φcos θsin φ
−˙ θsin θsin φ+˙ φcos θcos φ
−˙ θcos θ
,(36)
deφ
dt =
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
.(37)
Maintenant et comme pour les coordonn´ees cylindriques, il faut projeter ces d´eriv´ees sur le rep`ere
sph´erique. Commen¸cons par der
dt :
der
dt =der dt ·erer+der dt ·eθeθ+der dt ·eφeφ,(38)
der
dt ·er=
˙
θcos θcos φ−˙ φsin θsin φ
˙
θcos θsin φ+˙ φsin θcos φ
−˙ θsin θ
·
sin θcos φ
sin θsin φ
cos θ
=˙ θcos θsin θcos2θ+sin
2θ−˙
θsin θcos θ=˙ θcos θsin θ−˙ θsin θcos θ=0,(39)
der
dt ·eθ=
−˙
θsin θcos φ−˙ φcos θsin φ
−˙ θsin θsin φ+˙ φcos θcos φ
−˙ θcos θ
·
cos θcos φ
cos θsin φ
−sin θ
=˙ θcos2θcos2φ+sin
2φ+˙
θsin2θ=˙ θ,(40)
der
dt ·eφ=
˙
θcos θcos φ−˙ φsin θsin φ
˙
θcos θsin φ+˙ φsin θcos φ
−˙ θsin θ
· −sin φ
cos φ
0
=˙ φsin θcos2φ+sin
2φ=˙
φsin θ.(41)
On obtient ainsi l’expression suivante pour der
dt :
der
dt =˙
θeθ+˙ φsin θeφ.(42)
Projetons maintenant deθ
dt sur la base (O, er,eθ,eφ):
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deθ
dt =deθ dt ·erer+deθ dt ·eθeθ+deθ dt ·eφeφ,(43)
deθ
dt ·er=
−˙
θsin θcos φ−˙ φcos θsin φ
−˙ θsin θsin φ+˙ φcos θcos φ
−˙ θcos θ
·
sin θcos φ
sin θsin φ
cos θ
=−˙ θsin2θcos2φ+sin
2φ−˙
θcos2θ=−˙ θcos2θ+sin
2θ=−˙
θ,(44)
deθ
dt ·eθ=
−˙
θsin θcos φ−˙ φcos θsin φ
−˙ θsin θsin φ+˙ φcos θcos φ
−˙ θcos θ
·
cos θcos φ
cos θsin φ
−sin θ
=−˙ θsin θcos θcos2φ+sin
2φ+˙
θsin θcos θ=0,(45)
deθ
dt ·eφ=
−˙
θsin θcos φ−˙ φcos θsin φ
−˙ θsin θsin φ+˙ φcos θcos φ
−˙ θcos θ
· −sin φ
cos φ
0
=˙ φcos θcos2φ+sin
2φ=˙
φcos θ.(46)
Et donc deθ
dt peut s’´ecrire comme :
deθ
dt =−˙
θer+˙ φcos θeφ(47)
Il nous reste `a projeter deφ
dt sur le rep`ere sph´erique :
deφ
dt =deφ dt ·erer+deφ dt ·eθeθ+deφ dt ·eφeφ,(48)
deφ
dt ·er=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
·
sin θcos φ
sin θsin φ
cos θ
=−˙ φsin θcos2φ+sin
2φ=−˙
φsin θ,(49)
deφ
dt ·eθ=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
·
cos θcos φ
cos θsin φ
−sin θ
=−˙ φcos θcos2φ+sin
2φ=−˙
φcos θ,(50)
deφ
dt ·eφ=
−˙
φcos φ
−˙ φsin φ
0
· −sin φ
cos φ
0
=˙ φcos φsin φ−˙ φcos φsin φ.(51)
On obtient ainsi pour deφ
dt :
deφ
dt =−˙
φsin θer−˙ φcos θeθ.(52)
d) De mˆeme que pour les coordonn´ees polaires et cylindriques :
v=d
dt (OM)= d dt (rer)= ˙rer+r˙
θeθ+r˙ φsin θeφ,(53)
a=¨r−r˙ θ2−r˙ φ2sin2θer+r¨ θ+2˙r˙ θ−r˙ φ2cos θsin θeθ
+r¨ φsin θ+2r˙ φ˙ θcos θ+2˙r˙ φsin θeφ(54)
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