polynomes - Charlemaths

Lycée CHARLEMAGNE
1S POLYNOMES
I définitions
Définition 1 : Soit n un entier naturel et a un réel non nul la fonction
f : x ax n
, ou parfois la
quantité
axn
, est appelée monôme de degré n
Exemple
x2x
est un monôme de degré 1 ,
x 2x
et
xx−1
ne sont pas des monômes .
Une constante non nulle est un monôme de degré o.
Définition2 : un polynôme est une somme de monômes .
Losqu' un polynôme contient plusieurs monômes de même degré, on les regroupe et on simplifie : on dit
que l'on a réduit le polynôme
Exemple
Px=12x2x23x−1=2x23x−14x36x2−2x=8x2x−14x3
On peut aussi ordonner P selon les puissances croissantes :
Px=−1x8x24x3
ou bien selon les puissances décroissantes :
Px=4x38x2x−1
Remarque: une fonction polynôme est toujours définie sur
ℝ
Définition 3: Le degré d'un polynôme non nul est le degré de son momôme de plus haut degré après
réduction
Exemples : P est de degré 3 ; un trinôme du second degré est comme son nom l'indique un polynôme de
degré 2.
2−x x4−2x 
est de degré 5
Définition 4 : Un nombre réel a est racine d'un polynôme P ssi P(a)=0
Définition 5 : On appelle fonction rationnelle toute fonction de la forme
f : x Px
Qx
où P et Q sont
2 fonctions polynômes (Q non nulle) .
Remarque : Le domaine de définition de f est
ℝ
\ S où S est l'ensemble des racines de Q .
II Propriétés
1. Si P et Q sont 2 polynômes P+Q, PQ sont des polynômes.
2. Si a est un réel aP est un polynôme
3. si n est un entier naturel
Pn
est un polynôme
Egalité de 2 polynômes P=Q ssi pour tout x de :P(x)=Q(x) ( comme pour toutes les fonctions )
Théorème 1(admis) Deux polynômes sont égaux ssi tous les monômes respectifs de même degré ont mêmes
coefficients . Autrement dit il y a unicité de l'écriture réduite et ordonnée d'un polynôme.
Exercice : Soit
Px=x32x2−6x3
.
a) vérifier que 1 est racine de P .
b) Montrer qu'il existe un trinôme du second degré Q(x) tel que :
Pour tout réel x : P(x)= (x-1)Q(x)
c) résoudre l'équation P(x)=0 ; puis l'inéquation P(x)>0
Théorème 2 (admis) Si a est racine de P alors il existe un polynôme Q tel que:
pour tout réel x : P(x) = (x-a) Q(x)
Remarque: pour trouver Q on procède par identification des coefficients (Th 1)