Lycée CHARLEMAGNE 1S POLYNOMES I définitions Définition 1 : Soit n un entier naturel et a un réel non nul la fonction quantité ax n , est appelée monôme de degré n Exemple x 2 x est un monôme de degré 1 , Une constante non nulle est un monôme de degré o. f : x ax n , ou parfois la x 2 x et x x−1 ne sont pas des monômes . Définition2 : un polynôme est une somme de monômes . Losqu' un polynôme contient plusieurs monômes de même degré, on les regroupe et on simplifie : on dit que l'on a réduit le polynôme Exemple P x =1 2x 2x 2 3x −1 =2x 2 3x −14x 36x 2 −2x =8x 2 x−1 4x 3 On peut aussi ordonner P selon les puissances croissantes : P x =−1 x8x 2 4x 3 ou bien selon les puissances décroissantes : P x =4x 3 8x 2 x −1 Remarque: une fonction polynôme est toujours définie sur ℝ Définition 3: Le degré d'un polynôme non nul est le degré de son momôme de plus haut degré après réduction degré 2. Exemples : P est de degré 3 ; un trinôme du second degré est comme son nom l'indique un polynôme de 2− x x 4−2x est de degré 5 Définition 4 : Un nombre réel a est racine d'un polynôme P ssi P(a)=0 Définition 5 : On appelle fonction rationnelle toute fonction de la forme f :x P x Q x où P et Q sont 2 fonctions polynômes (Q non nulle) . Remarque : Le domaine de définition de f est ℝ \ S où S est l'ensemble des racines de Q . II Propriétés 1. Si P et Q sont 2 polynômes P+Q, PQ sont des polynômes. 2. Si a est un réel aP est un polynôme 3. si n est un entier naturel P n est un polynôme Egalité de 2 polynômes P=Q ssi pour tout x de :P(x)=Q(x) ( comme pour toutes les fonctions ) Théorème 1(admis) Deux polynômes sont égaux ssi tous les monômes respectifs de même degré ont mêmes coefficients . Autrement dit il y a unicité de l'écriture réduite et ordonnée d'un polynôme. Exercice : Soit P x = x 32x 2− 6x 3 . a) vérifier que 1 est racine de P . b) Montrer qu'il existe un trinôme du second degré Q(x) tel que : Pour tout réel x : P(x)= (x-1)Q(x) c) résoudre l'équation P(x)=0 ; puis l'inéquation P(x)>0 Théorème 2 (admis) Si a est racine de P alors il existe un polynôme Q tel que: pour tout réel x : P(x) = (x-a) Q(x) Remarque: pour trouver Q on procède par identification des coefficients (Th 1)