Chapitre 3 - Polynômes

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Chapitre 3 - Polynômes
A. Définitions
Terme : expression formée par le produit de nombres ou de variables.
ex. 2x, -4v, 5gh, 32, 10t2
Coefficient : le nombre qui multiplie une variable.
ex. dans 4mb, le quatre est le coefficient
Variable : une lettre représentant un nombre pouvant avoir une valeur qui varie.
ex. dans 3m, la lettre m est la variable
Il peut avoir plus d’une variable dans un terme comme dans -5mn
Constante : un nombre qui n’est pas rattaché à une variable, la valeur de ce nombre ne
change pas, elle est constante
Polynôme : Expression algébrique composée de termes liés par des opérations
d’addition ou de soustraction.
- un monôme est un polynôme à un terme ex. –g, 3y, 5ab
- un binôme est un polynôme à deux termes ex. -3x + 5
- un trinôme est un polynôme à trois termes ex. 2x2 – 6x + 5
Degré d’un terme : somme des exposants dans un monôme ex. 7yx2 le degré est 3 car
1+2=3
Degré d’un polynôme : trouve le degré de chaque terme du polynôme, le terme avec
le degré le plus haut est le degré du polynôme
Exemple : 7x2 – 3x
7x2 est du 2e degré et 3x est du premier degré, le plus grand nombre est 2 alors ce
binôme est du 2e degré
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Symboliquement, on peut représenter les constantes et les variables par des tuiles.
1
+1 unité
-1 unité
variable positive
variable négative
-1
x
-x
variable au carré positive
x2
variable au carré négative
- x2
Une paire nulle s’agit d’une tuile positive et d’une tuile équivalente négative. Leur
somme est égale à zéro.
B. Addition et soustraction de termes et de polynômes
On peut seulement additionner des termes exactement semblables.
Lorsqu’on veut savoir si un terme est semblable à un autre (et par conséquent si on
peut les additionner), nous devons seulement comparer les variables.
Semblable :
2x et 4x
m et -4m
Pas semblable :
2x et 3y
3n et 4n2 (compare les tuiles; elles ne sont pas les mêmes)
4ab et 5a (le premier terme a deux variables, le deuxième n’en a qu’une)
Mathématiquement :
On additionne les coefficients, les variables restent pareilles (comme compter des
objets).
Exemple :
2x + 5x = 7x
4x + 5 – 9x – 4 = -5x + 1
3 autos + 2 autos = 5 autos
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Symboliquement :
2x + 5x = 7x
4x + 5 – 9x – 4 =
-5x + 1
Nous voyons qu’il y a des paires nulles qui peuvent s’annuler.
Le processus est le même pour la soustraction par contre, s’il n’y a pas assez de tuiles
pour pouvoir enlever le montant exact, il faut ajouter des paires nulles afin de pouvoir
le faire.
Exemple :
2x – 5x On ajoute les paires nulles suivantes et on enlève 5x qui donne -3x.
Lorsque nous additionnons des polynômes et qu’il y a des parenthèses il faut éliminer
les parenthèses pour pouvoir trouver le polynôme équivalent.
S’il y a un positif (ou rien) devant la parenthèse, on l’élimine tout simplement. S’il y
a un négatif devant la parenthèse, on élimine la parenthèse mais on change le signe de
chaque terme dans celle-ci.
Exemple :
(2x – 3) + (4x + 2) devient 2x – 3 + 4x + 2
(-3x + 5) – (2x – 7) devient -3x + 5 – 2x + 7
Le – a changé le +2x à -2x et le -7 à +7
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C. Multiplication et division
1. multiplication de monômes
- On multiplie les coefficients entre eux
- On multiplie les variables utilisant la loi des exposants
exemple
(3x)(2x) = 6x1+1 = 6x2
2. division de monômes
- On divise les coefficients entre eux
- On divise les variables utilisant la loi des exposants
exemple
6x 2
 3x 21  3x
2x
?
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3. multiplication avec un binôme
- on applique la distributivité (on multiplie le monôme avec chaque partie du
binôme)
exemple
(2x)(2x – 1) = 4x2 – 2x
4. division d’un polynôme
- on applique la distributivité sauf on divise chaque partie du polynôme par le
monôme
exemple
6x 2  4x
 3x  2
2x
?