Chapitre 2 Langage et raisonnement en math´ematiques

Chapitre 2
Langage et raisonnement en math´ ematiques
2.1 Les r` egles du jeux
En math´ ematique, il y a deux processus fondamentaux :
1. construire des objets math´ ematiques (nombres, fonctions, figures g´ eom´ etriques,
...) ;
2. ´ etablir des relations entre ces objets ; les relations sont soit suppos´ ees
vraies (axiomes), soit d´ eduites des axiomes et de relations ´ etablies pr´ ec´ edemment
au moyen d’un raisonnement logique (th´ eor` emes).
Les deux principales r` egles du jeu sont :
1. La pr´ ecision du langage
Les math´ ematiques, comme toutes les autres sciences, sont formul´ ees en
langage courant. Mais il est important d’expliciter, pour chaque mot cor-
respondant ` a une notion math´ ematique, le sens pr´ ecis qui lui a ´ et´ e donn´ e
et qui peut ˆ etre diff´ erent de celui du langage courant.
Exemple 2.1.1. Le mot ou est utilis´ e dans le langage courant dans le sens strict
ou exclusif (Voulez-vous faire math´ ematique ou informatique ? ) mais aussi
dans le sens large (Avez-vous eu la moyenne en math´ ematiques ou en physique
au Bac ? ). Nous Le ou math´ ematique est toujours employ´ e au sens large, le
sens strict ´ etant toujours pr´ ecis´ e` a l’aide de la conjonction ou bien .
Exemple 2.1.2. Dans le langage courant, faire une hypoth` ese c’est ´ enoncer quelque
chose dont on n’est pas sˆ ur. En math´ ematique, une hypoth` ese est une affirma-
tion suppos´ ee vraie, c’est le point de d´ epart d’une d´ emonstration, sur lequel on
construit le raisonnement.
2. La rigueur des raisonnements
Chaque ´ etape du chemin qui nous m` ene d’affirmations consid´ er´ ees comme
vraies (hypoth` eses)` a la conclusion doit ˆ etre justifi´ ee par un th´ eor` eme
pr´ ec´ edent, une d´ efinition, un axiome ou une r` egle de calcul.
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2.2 Un peu de vocabulaire
Voici quelques mots et expressions qu’on utilise tr` es souvent dans un texte
math´ ematique :
Une d´ efinition est un ´ enonc´ e qui introduit un nouvel objet ou no-
tion math´ ematique.
Un th´ eor` eme est un ´ enonc´ e math´ ematique ´ etabli par une d´ emonstration.
Le mot proposition est employ´ e` a la place du mot th´ eor` eme lorsque
l’´ enonc´ e` a prouver n’est pas tr` es difficile ou trop fondamental.
Remarque 2.2.1. En logique math´ ematique, le mot proposition a le mˆ eme
sens que que le mot assertion.
Un corollaire est un ´ enonc´ e qui se d´ eduit facilement d’un th´ eor` eme
ou d’une proposition.
Un lemme est un ´ enonc´ e pr´ eliminaire ` a la preuve d’un th´ eor` eme
ou d’une proposition.
Remarquons aussi que, pour la correction du langage, toues les lettres utilis´ ees
dans un texte math´ ematique pour d´ esigner des objets math´ ematiques doivent
ˆ
etre explicitement introduites. Les ´ enonc´ es qui d´ efinissent ou nomment un ob-
jet math´ ematique son en g´ en´ eral de la forme suivante :
– Soit xun nombre r´ eel.
– Notons εun nombre r´ eel strictement positif.
– Consid´ erons une fonction fd´ efinie sur Ret ` a valeure r´ eelles.
– Soient aet bdeux nombres complexes, posons c=a−b.
2.3 Les m´ ethodes de raisonnement
L’objectif d’un premier cours d’alg` ebre ` a l’universit´ e n’est pas seulement de
donner ` a l’´ etudiant un certaine quantit´ e de connaissances mais aussi (et peut-
ˆ
etre surtout) de le familiariser avec le raisonnement math´ ematique, la construc-
tion et la r´ edaction de d´ emonstrations correctes. Vous devrez donc prˆ eter une
grande attention a l’´ ecriture tr` es pr´ ecise des hypoth` eses et des conclusions. Le
plus grand probl` eme peut-ˆ etre quelques fois : quel est le sens de la question,
qu’est-ce qu’il y a ` a chercher ?
Comment faire une D´ emonstration ? En g´ en´ eral, on a des objets donn´ es dans
l’´ enonc´ e, des hypoth` eses c’est-` a-dire des propri´ et´ es de ces objets qui sont sup-
pos´ ees vraies, et il s’agit de d´ emontrer un but, qui est une propri´ et´ e que l’on
doit ´ etablir et qui concerne ces mˆ emes objets, ` a laide des hypoth` eses et des pro-
pri´ et´ es d´ ej` a connues . La question est comment s’y prendre pour aboutir au but

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`
a partir des hypoth` eses ? Toutes les d´ emonstrations ne se r´ eduisent pas ` a des
automatismes, il n’y a pas de m´ ethode syst´ ematique, pour chaque probl` eme
on essaye de trouver et d’appliquer la m´ ethode de d´ emonstration qui convient.
Nous allons exposer dans la suite r : le raisonnement direct, par contrapos´ ee,
par l’absurde, par contre-exemple, par disjonction des cas et par r´ ecurrence.
2.3.1 Le raisonnement direct
Le raisonnement direct consiste ` a montrer une implication. C’est la m´ ethode
de raisonnement la plus fr´ equente et on la pr´ ef` ere, chaque fois que possible.
Pour d´ emontrer l’implication (P=⇒Q), on suppose que Pest vraie et on
d´ emontre Q(que Qest vraie). Autrement dit, on ajoute Paux hypoth` eses et on
remplace le but par Q.
Exemple 2.3.1. Soit xun nombre r´ eel, consid´ erons les assertions suivantes :
P(x) : |x|<0,1Q(x) : |2x2−x|<0,12
Montrons l’implication P(x) =⇒Q(x)
P(x) : |x|<0,1 =⇒06x2<0,01 =⇒ |2x2−x|62x2+|x|<2×0,01+0,1=0,12
On a donc d´ emontr´ e le r´ esultat suivant : pour que |2x2−x|<0,12, il suffit que
|x|<0,1.
2.3.2 Le raisonnement par contrapos´ ee
Si on doit d´ emontrer une assertion et si on connaˆ ıt une deuxi` eme assertion qui
lui est ´ equivalente et qui est plus facile ` a d´ emontrer, alors il suffit de d´ emontrer
cette deuxi` eme assertion. Or on sait qu’une implication est ´ equivalente ` a sa
contrapos´ ee. On peut donc remplacer une implication (P=⇒Q)par sa
contrapos´ ee (nonQ =⇒nonP )si celle-ci est plus facile ` a d´ emontrer. On dit
alors qu’on raisonne par contrapos´ ee.
Exemple 2.3.2. Soient donc x1et x2dans [1,2], et la fonction x7→ f(x) = x2. Nous
voulons d´ emontrer l’implication suivante :
x16=x2=⇒f(x1)6=f(x2).
Supposons f(x1) = f(x2)(non Q) c’est ` a dire x2
1=x2 2et comme x1>0et x2>0
alors x1=x2(nonP). Par cons´ equent on a : non Q=⇒nonP , soit P=⇒Q.

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2.3.3 Le raisonnement par l’absurde
C’est une m´ ethode de d´ emonstration qu’on utilise tr` es souvent. Le principe de
cette m´ ethode est le suivant : On veut d´ emontrer qu’une assertion Pest vraie.
On suppose que Pest fausse. Si on arrive alors ` a en d´ eduire une assertion fausse
(on trouve une contradiction), on doit conclure que Pest vraie.
Exemple 2.3.3. Montrons que Le nombre √2n’est pas rationnel.
Nous voulons prouver l’assertion P:√2n’est pas un nombre rationnel . Supposons
que √2est un nombre rationnel (non P). Alors il existe deux entiers naturels aet b
premiers entre eux tels que √2 = a
b. On a donc l’´
equation 2b2=a2, donc le nombre
a2est pair. Il en d´ ecoule que aest pair, donc il existe k∈Ntel que b2= 2k, le nombre
b2est pair, ainsi que b. Or, l’assertion aest pair et best pair est fausse, car aet bsont
premiers entre eux. On conclut que Pest vraie.
2.3.4 Utiliser un contre-exemple
Un contre-exemple permet de montrer qu’une assertion est fausse.
Exemple 2.3.4. Soient a, b, c et ddes nombres r´ eels tels que a6bet c6d, a-t-on
toujours ac 6bd ?
C’ est faut, pour le prouver il suffit de donner un contre-exemple : si a=−3,b= 3,
c=−6et d= 1 on a a6bet c6dmais ac = 18 >3 = bd.
2.3.5 La disjonction des cas (ou raisonnement cas par cas)
Ce type de preuve apparaˆ ıt par exemple dans les probl` emes d´ ependant d’un
param` etre.
Exemple 2.3.5.
2.3.6 Le raisonnement par r´ ecurrence
Soit P(n)une propri´ et´ e qui d´ epend de l’entier naturel n, d´ efinie pour n>0ou
pour n>n0, o ` un0est un entier donn´ e. Par exemple :
P(n) : 2n+ 3 >n2,P(n) : n!>3n
La m´ ethode de raisonnement qui convient ici est le raisonnement par r´ ecurrence
dont voici le principe : Soit P(n)une propri´ et´ e d´ ependant d’un entier naturel
n. Soit n0∈N, supposons que :
1. P(n0)est vraie.
2. Pour chaque entier k>n0on a l’implication : P(k) =⇒P(k+ 1)

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Alors pour tout entier naturel n>n0, la propri´ et´ eP(n)est vraie.
Remarque 2.3.1. Pour d´ emontrer certaines propri´ et´ es, il est n´ ecessaire d’utiliser une
variante du principe de r´ ecurrence (dans la condition 2, on suppose que la propri´ et´ e est
vraie de l’´ etape initiale jusqu’` al’´ etape k; l’´ enonc´ e complet et un exemple se trouvent
dans les compl´ ements de cours ` a la fin du chapitre).
Exemple 2.3.6. Pour quels entiers naturels nn’a-t-on 2n6n!?
Pour tout n∈N, notons P(n)la propri´ et´ e : 2n6n!.
On a 20= 1 = 0!, donc P(0) est vraie ; 21= 2 >1! = 1, donc P(1) est fausse ; on
v´ erifie facilement que P(2) et P(3) sont fausses et que P(4) est vraie (24= 16 624 =
4!). Montrons que pour chaque entier k>4on a : P(k) =⇒ P(k+ 1).
Soit k>4et supposons P(k)vraie ; alors 2k+1 = 2 ×2k>(k+ 1) ×k!=(k+ 1)!,
ou n>4.