RAPPELS SUR LES ENSEMBLES Dans tout ce qui suit, on consid

RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
Dans tout ce qui suit, on consid`ere un ensemble E.
1. appartenance et inclusion
— Si xest un ´el´ement de E, on note x∈E. On lit cette relation “xappartient
`a E”.
— Si Aest un sous-ensemble de E, on note A⊆E. On lit cette relation “Aest
inclus dans E”.
— On d´efinit l’enemble des parties de E, que l’on note P(E), dont les ´el´ements
sont les sous-ensembles de E. On peut le d´efinir de la mani`ere suivante :
A∈ P(E)⇐⇒ A⊆E
Remarque. Par convention, ∅est un sous-ensemble de tout autre ensemble :
∅ ⊆ E
Et donc P(E) n’est jamais vide : il contient toujours l’´el´ement ∅.
— Si Aet Bsont deux sous-ensembles de Etels que Aest aussi un sous-ensemble
de B, on note aussi cette relation A⊆B. On a l’´equivalence :
A⊆B⇐⇒ (∀x∈E, x ∈A⇒x∈B)
En cons´equence, pour prouver l’inclusion “A⊆B”, on peut ´ecrire “Soit x∈
E. Supposons que x∈A.”, et prouver que xappartient `a B. Pour aller plus
vite, on peut ´ecrire directement : “Soit x∈A.”, et prouver que xappartient
`a B.
Remarque. “x∈A” et “A⊆B” sont des ´enonc´es math´ematiques. Ils ont une
valeur de v´erit´e (on peut dire s’ils sont vrai ou faux).
— L’´egalit´e A=Bentre deux sous-ensembles de Eest ´equivalente `a la double
inclusion :
(A⊆B)∧(B⊆A)
En cons´equence, pour prouver “A=B”, on prouve “A⊆B”, puis “B⊆A”.
2. Op´ erations ensemblistes
Soient Aet Bdeux parties de E.
— On d´efinit “l’union de Aet B”, not´ee A∪B, et d´efinie par :
∀x∈E((x∈A∪B)⇐⇒ (x∈A∨x∈B))
— On d´efinit “l’intersection de Aet B”, not´ee A∩B, et d´efinie par :
∀x∈E((x∈A∩B)⇐⇒ (x∈A∧x∈B))
Remarque. Ici, “A∪B” et “A∩B” sont des ensembles, et non pas des ´enonc´es
math´ematiques. Ils n’ont pas de valeur de v´erit´e : On ne peut pas dire si A∪Best
“vrai” ou “faux”, cela n’a pas de sens. On peut en revanche, ´etant donn´e un ´el´ement
xde E, se demander si xappartient `a A∪B, si xappartient `a A∩B...
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2 RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
La d´efinition des symboles ⊆,∪et ∩font intervenir les connecteurs logiques ⇒,∨,
et ∧, et en sont un peu les analogues dans la th´eorie des ensembles. Mais attention :
il faut utiliser les connecteurs logiques avec des ´enonc´es math´ematiques
et les op´erations ensemblistes avec des ensembles. Ainsi, puisque “A⊆B” et
“B⊆A” sont des ´enonc´es, on peut les relier par un connecteur logique pour cr´eer
un nouvel ´enonc´e math´ematique, par exemple :
(A⊆B)∧(B⊆A)
(On retrouve la d´efinition de l’´egalite de deux ensembles.) En revanche, la suite de
symboles suivante n’a aucun sens :
(A⊆B)∩(B⊆A)
De mˆeme, si Aet Bsont deux sous-ensembles de E, on peut cr´eer un nouvel ensemble
en leur appliquant une op´eration ensembliste. On cr´ee par exemple :
A∪B
En revanche, la suite de symboles suivante n’a aucun sens :
A∨B
Si Pest un ´enonc´e math´ematiques admettant une seule variable libre x, et si Aest
un ensemble, on peut se demander si P(x) est vrai ou faux, et si x∈Aest vrai ou
faux. En revanche, x∈Pn’a aucun sens.