RAPPELS SUR LES ENSEMBLES Dans tout ce qui suit, on consid

RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
Dans tout ce qui suit, on considère un ensemble E.
1. appartenance et inclusion
— Si x est un élément de E, on note x ∈ E. On lit cette relation “x appartient
à E”.
— Si A est un sous-ensemble de E, on note A ⊆ E. On lit cette relation “A est
inclus dans E”.
— On définit l’enemble des parties de E, que l’on note P(E), dont les éléments
sont les sous-ensembles de E. On peut le définir de la manière suivante :
A ∈ P(E) ⇐⇒ A ⊆ E
Remarque. Par convention, ∅ est un sous-ensemble de tout autre ensemble :
∅⊆E
Et donc P(E) n’est jamais vide : il contient toujours l’élément ∅.
— Si A et B sont deux sous-ensembles de E tels que A est aussi un sous-ensemble
de B, on note aussi cette relation A ⊆ B. On a l’équivalence :
A ⊆ B ⇐⇒ (∀x ∈ E, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
En conséquence, pour prouver l’inclusion “A ⊆ B”, on peut écrire “Soit x ∈
E. Supposons que x ∈ A.”, et prouver que x appartient à B. Pour aller plus
vite, on peut écrire directement : “Soit x ∈ A.”, et prouver que x appartient
à B.
Remarque. “x ∈ A” et “A ⊆ B” sont des énoncés mathématiques. Ils ont une
valeur de vérité (on peut dire s’ils sont vrai ou faux).
— L’égalité A = B entre deux sous-ensembles de E est équivalente à la double
inclusion :
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
En conséquence, pour prouver “A = B”, on prouve “A ⊆ B”, puis “B ⊆ A”.
2. Opérations ensemblistes
Soient A et B deux parties de E.
— On définit “l’union de A et B”, notée A ∪ B, et définie par :
∀x ∈ E
((x ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B))
— On définit “l’intersection de A et B”, notée A ∩ B, et définie par :
∀x ∈ E
((x ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B))
Remarque. Ici, “A ∪ B” et “A ∩ B” sont des ensembles, et non pas des énoncés
mathématiques. Ils n’ont pas de valeur de vérité : On ne peut pas dire si A ∪ B est
“vrai” ou “faux”, cela n’a pas de sens. On peut en revanche, étant donné un élément
x de E, se demander si x appartient à A ∪ B, si x appartient à A ∩ B . . .
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RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
La définition des symboles ⊆, ∪ et ∩ font intervenir les connecteurs logiques ⇒, ∨,
et ∧, et en sont un peu les analogues dans la théorie des ensembles. Mais attention :
il faut utiliser les connecteurs logiques avec des énoncés mathématiques
et les opérations ensemblistes avec des ensembles. Ainsi, puisque “A ⊆ B” et
“B ⊆ A” sont des énoncés, on peut les relier par un connecteur logique pour créer
un nouvel énoncé mathématique, par exemple :
(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)
(On retrouve la définition de l’égalite de deux ensembles.) En revanche, la suite de
symboles suivante n’a aucun sens :
(A ⊆ B) ∩ (B ⊆ A)
De même, si A et B sont deux sous-ensembles de E, on peut créer un nouvel ensemble
en leur appliquant une opération ensembliste. On crée par exemple :
A∪B
En revanche, la suite de symboles suivante n’a aucun sens :
A∨B
Si P est un énoncé mathématiques admettant une seule variable libre x, et si A est
un ensemble, on peut se demander si P (x) est vrai ou faux, et si x ∈ A est vrai ou
faux. En revanche, x ∈ P n’a aucun sens.