Eléments de logique et raisonnements mathématiques

Lycée Dominique Villars
ECE 1
Cours
Logique et raisonnements mathématiques...
Rappels de quantificateurs à connaitre
”Traduction” mathématiques des quantificateurs :
• ∀ = ” pour tout ...” ou ”quelque soit ...”
• ∄ = ”il n’existe pas ...”
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• ∃ = ”il existe”
• ∃! = ” il existe un unique ...”
Utilité d’un contre exemple
Pour démontrer qu’une assertion du type :
∀ x ∈ R, x2 − x > 0
(P )
est fausse, il suffit de donner un exemple qui ne convient pas. Dans ce cas un réel x pour lequel la conclusion
est fausse.
Ainsi montrer qu’une proposition (P ) est fausse revient à montrer que la proposition contraire (ou négation)
(N ON P ) est vraie. En effet ici :
∃ x ∈ R : x2 − x < 0
(N ON P )
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Implication et Equivalence
Implication.
Bien souvent, démontrer une propriétée mathématiques corresponds à vérifier que sous certaines conditions
(les hypothèses H) une voire plusieurs propositions sont vraies (les conclusions C).
Aussi bien les hypothèses que les conclusions sont exprimés sous forme de propositions mathématiques.
Exemples :
1/ On peut lire sur un sujet : ”Démontrer que pour tout x ∈ [−1; +∞[, x2 + 4x + 3 > 0”.
Cela peut également se lire : Si x > −1 alors x2 + 4x + 3 > 0
2/ On peut lire dans un cours : ”Toute suite croissante et majorée est convergente”
Cela peut également se lire : Si (un )n∈N est une suite croissante et majorée alors (un )n∈N est convergente.
De manière logique ceci revient à démontrer que lorsque la proposition ”HYPOTHESE” est VRAIE, celleci implique que la proposition ”CONCLUSION” est elle aussi VRAIE. On parle alors de démontrer une
implication!!
Schématiquement, cela peut s’écrire :
(H) =⇒ (C)
Exemples concrets de la notion d’implication au sens logique :
(i) ”Si il fait beau demain, (alors) je ferais une sortie en vélo”.
(ii) ”Si un jour j’ai 4h de cours de mathématiques, le lendemain j’aurai mal à la tête”.
Equivalence.
Etant donnée des propositions (P ) et (Q) on dit que (P ) est équivalent à (Q), on note (P ) ⇐⇒ (Q), ou
(P ) si et seulement si (Q) lorsque :
(P ) =⇒ (Q)
ET
Exemples :
(i) (P ) : x > 2 est équivalente à (Q) : ln x > ln 2.
(ii) (P ) : |x| 6 4 est équivalent à (Q) : −4 6 x 6 4.
(Q) =⇒ (P )
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Raisonnement par contraposée
Ce raisonnement permet de montrer une implication logique.
Raisonnement par contraposée :
Vérifier qu’une proposition (P1 ) implique une proposition (P2 ) est équivalent à vérifier que la proposition
(N ON P2 ) implique la proposition (N ON P1 ).
(P1 ) =⇒ (P2 )
équivaut à
(N ON P2 ) =⇒ (N ON P1 )
Exemples - Exercices :
1/ Soit n un nombre entier. Démontrer que si n2 est impair alors n est impair.
2/ Montrer que si x et y sont des nombres réels disctincts de 1, et si x 6= y alors
4
1
x−1
6=
1
y−1 .
Raisonnement par l’absurde
Montrer qu’une proposition (P ) est vraie équivaut à montrer que la proposition négation (N ON P ) est
fausse. C’est le principe du raisonnement par l’absurde.
Principe : On suppose (N ON P ) VRAIE et on montre que
(N ON P ) =⇒ (Q)
tout en justifiant que (Q) est
√ FAUSSE, ce qui implique alors que (N ON P ) est fausse donc (P ) est VRAIE!!
Exemple : Montrer que 2 est un nombre irrationnel.