Eléments de logique et raisonnements mathématiques

Lyc´ee Dominique Villars Cours
ECE 1
Logique et raisonnements math´ematiques...
Rappels de quantificateurs `a connaitre
”Traduction” math´ematiques des quantificateurs :
• ∀ = ” pour tout ...” ou ”quelque soit ...” • ∃ = ”il existe”
•∄= ”il n’existe pas ...” • ∃! = ” il existe un unique ...”
1 Utilit´e d’un contre exemple
Pour d´emontrer qu’une assertion du type :
(P)∀x∈R, x2−x>0
est fausse, il suffit de donner un exemple qui ne convient pas. Dans ce cas un r´eel xpour lequel la conclusion
est fausse.
Ainsi montrer qu’une proposition (P) est fausse revient `a montrer que la proposition contraire (ou n´egation)
(NON P ) est vraie. En effet ici :
(NON P )∃x∈R:x2−x < 0
2 Implication et Equivalence
Implication.
Bien souvent, d´emontrer une propri´et´ee math´ematiques corresponds `a v´erifier que sous certaines conditions
(les hypoth`eses H) une voire plusieurs propositions sont vraies (les conclusions C).
Aussi bien les hypoth`eses que les conclusions sont exprim´es sous forme de propositions math´ematiques.
Exemples :
1/ On peut lire sur un sujet : ”D´emontrer que pour tout x∈[−1; +∞[, x2+ 4x+ 3 >0”.
Cela peut ´egalement se lire : Si x > −1 alors x2+ 4x+ 3 >0
2/ On peut lire dans un cours : ”Toute suite croissante et major´ee est convergente”
Cela peut ´egalement se lire : Si (un)n∈Nest une suite croissante et major´ee alors (un)n∈Nest convergente.
De mani`ere logique ceci revient `a d´emontrer que lorsque la proposition ”HYPOTHESE” est VRAIE, celle-
ci implique que la proposition ”CONCLUSION” est elle aussi VRAIE. On parle alors de d´emontrer une
implication!!
Sch´ematiquement, cela peut s’´ecrire :
(H) =⇒(C)
Exemples concrets de la notion d’implication au sens logique :
(i) ”Si il fait beau demain, (alors) je ferais une sortie en v´elo”.
(ii) ”Si un jour j’ai 4h de cours de math´ematiques, le lendemain j’aurai mal `a la tˆete”.
Equivalence.
Etant donn´ee des propositions (P) et (Q) on dit que (P) est ´equivalent `a (Q), on note (P)⇐⇒ (Q), ou
(P) si et seulement si (Q) lorsque :
(P) =⇒(Q) ET (Q) =⇒(P)
Exemples :
(i) (P) : x>2 est ´equivalente `a (Q) : ln x>ln 2.
(ii) (P) : |x|64 est ´equivalent `a (Q) : −46x64.

3 Raisonnement par contrapos´ee
Ce raisonnement permet de montrer une implication logique.
Raisonnement par contrapos´ee :
V´erifier qu’une proposition (P1) implique une proposition (P2) est ´equivalent `a v´erifier que la proposition
(NON P2) implique la proposition (NON P1).
(P1) =⇒(P2) ´equivaut `a (NON P2) =⇒(N ON P1)
Exemples - Exercices :
1/ Soit nun nombre entier. D´emontrer que si n2est impair alors nest impair.
2/ Montrer que si xet ysont des nombres r´eels disctincts de 1, et si x6=yalors 1
x−16=1 y−1.
4 Raisonnement par l’absurde
Montrer qu’une proposition (P) est vraie ´equivaut `a montrer que la proposition n´egation (N ON P ) est
fausse. C’est le principe du raisonnement par l’absurde.
Principe : On suppose (NON P ) VRAIE et on montre que
(NON P ) =⇒(Q)
tout en justifiant que (Q) est FAUSSE, ce qui implique alors que (N ON P ) est fausse donc (P) est VRAIE!!
Exemple : Montrer que √2 est un nombre irrationnel.