Théorie algébrique des nombres - IMJ-PRG

Universit´e Pierre et Marie Curie - Paris VI Facult´e de Math´ematiques
Master Math´ematiques fondamentales 2013–2014
Th´ eorie alg´ ebrique des nombres
Examen du 21 Octobre 2013. Dur´ ee 3h00.
Exercice 1. Soit q∈Npremier et Kun sous-corps de Q(ζq) de degr´e n:= [K:Q]>1.
i. Montrer que l’extension K⊃Qest Galoisienne de groupe de Galois cyclique.
ii. Montrer que {premiers pramifi´es dans K}={q}.
iii. Soit ppremier distinct de q. Montrer que pour tout p∈Max(OK) contenant p, le
degr´e r´esiduel f(p|p) est l’ordre de p[Q(ζq):K]dans (Z/qZ)×.
Exercice 2. Soit d∈Z\{0,1}sans facteur carr´e et K:= Q(√d). On se donne un premier
ptotalement d´ecompos´e dans OKet on ´ecrit (p) = p.p0sa d´ecomposition.
i. Supposons que pmsoit principal, de la forme pm= (α) pour un α∈ OK. Montrer
que α /∈Zet que |NK/Q(α)|=pm.
ii. Supposons de plus d < 0. Montrer alors que pm>|d|/4. En d´eduire que |C`(OK)|>
log(|d|/4)/log(p).
iii. Montrer qu’il existe une infinit´e de dcomme ci-dessus tels que d≡1(mod 3), et en
conclure que le nombre de classes des corps quadratiques imaginaires n’est pas born´e.
Exercice 3. Soit Kun corps de nombres.
i. Soit p∈Max(OK), et supposons que pmest principal. Trouver une extension Lde
Ktelle que p.OLsoit principal.
ii. Montrer qu’il existe une extention finie de Kdans laquelle tout id´eal de OKdevient
principal.
Exercice 4. Montrer que le polynˆome (X2−2)(X2−17)(X2−34) admet une racine dans
Zppour tout premier p.
Exercice 5. Soit f(X) = X3−3X+ 1.
i. Montrer que fest irr´eductible.
ii. Soit K=Q[X]/(f) et α∈Kl’image de X. Montrer que OK=Z[α].
iii. Montrer que OKest principal.