Le nombre d`Euler e.

Le nombre d’Euler e.
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A l’instar du nombre irrationnel π, il y a un autre nombre irrationnel qui surgit de fa¸con
naturelle dans plusieurs diff´erents contextes en math´ematiques. On l’appelle le nombre
d’Euler et on le d´enote par le symbole e. Lorsqu’un nombre tel que celui-ci survient souvent
en math´ematiques il cesse d’ˆetre un “´etranger”. On finit mˆeme par l’adopter et l’apprivoiser
en ´etudiant ses propri´et´es pour mieux le comprendre. Sa valeur approximative est:
e≈2,718 281 828 459 045 235 360 287 4...
Il existe de nombreuses fa¸cons d’exprimer ou de reconnaˆıtre le nombre e. Nous en pr´esentons
que quelques-unes.
Les deux suivantes sont les plus connues et les plus utilis´ees.
e= 1 + 1
2! +1 3! +1 4! +1 5! +1 6! +···
et
e= lim
n→∞ 1 + 1
nn
La premi`ere est une somme infinie de fractions ayant comme d´enominateurs des entiers
factoriels (par exemple, 6! = 6 ·5·4·3·2·1). L’expression 1 + 1
2! +1 3! +1 4! +1 5! +1 6! n’est
qu’une approximation de la valeur de e. Plus on allonge la somme, plus la valeur de la
somme s’approche de e.
L’expression e= limn→∞ 1 + 1
nnveut dire que la suite num´erique infinie
(1 + 1
11
,1 + 1
22
,1 + 1
33
,1 + 1
44
,...1 + 1
nn
,...)
converge vers e. Plus la valeur de nest grande plus l’expression 1 + 1
nns’approche de e.
En voici trois autres:
e= 2 + 2
2 + 3
3+ 4
4+ 5
5+ 6
6+···
e= 2 + 1
1 + 1
2+ 2
3+ 3
4+ 4
5+···
1

e= 1 + 2
1 + 1
1+ 1
6+ 1
10+ 1
14+ 1···
Au 19`eme si`ecle le math´ematicien Joseph Fourier d´emontra que, comme π,eest un nombre
irrationnel. Au cas o`u la preuve int´eresserait certains lecteurs, la voici:
`
A d´emontrer: le nombre d’Euler eest irrationnel:
•Supposons que eest un nombre rationnel.
•Donc il existe deux entiers aet btels que e=a
b. Nous savons que en’est pas un entier
et donc bn’est pas ´egale `a 1.
•Nous pouvons donc ´ecrire
e=a
b= 1 + 1 2! +1 3! +1 4! +1 5! +1 6! +···+1 (b−1)! +1 b!+1 (b+ 1)! +···
•Multiplions les deux cˆot´es de l’´equation par b!:
b!·e=b!·a
b=b! + b! 2! +b! 3! +b! 4! +···+b! (b−1)! +b! b!+b! (b+ 1)! +···
•Si le concept des factoriels vous est familier vous d´eduisez rapidement que b!·e=b!·a
b
est une nombre entier, ainsi que l’expression b! + b!
2! +b! 3! +b! 4! +···+b! (b−1)! +b! b!.
•Si b!·eet b! + b!
2! +b! 3! +b! 4! +···+b!
(b−1)! +b!
b!sont des entiers, il faut que b!
(b+1)! +b! (b+2)! +
b!
(b+3)! +··· soit ´egalement un entier.
•Si R=b!
(b+1)! +b! (b+2)! +b! (b+3)! +··· nous poursuivons avec la chaˆıne suivante d’´egalit´es
et d’in´egalit´es:
R=b!
(b+ 1)! +b! (b+ 2)! +b! (b+ 3)! +···
=1
(b+ 1) +1 (b+ 1)(b+ 2) +1 (b+ 1)(b+ 2)(b+ 3) +···
≤1
(b+ 1) +1 (b+ 1)2+1 (b+ 1)3+···
=1
(b+ 1) 1 + 1 (b+ 1) +1 (b+ 1)2+···
=1
(b+ 1) 1
1−1
(b+1) !
=1
b
2

•Donc nous avons l’entier R≤1
b. Ceci est impossible puisque best un entier pas ´egale
`a 1.
•La source de notre contradiction est d’avoir suppos´e que epouvait prendre la forme
d’une fraction a
b
•Donc ene peut pas ˆetre un nombre rationnel.
c
Club Pythagore, 2007
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