RelationsComparaison..

Relations de comparaison, ´etude locale,
continuit´e, d´erivabilit´e des fonctions
15 octobre 2016
Il s’agit l`a, pour l’essentiel, de rappels de cours de premi`ere ann´ee.
Table des mati`eres
1 Rappels 2
2 Relations de comparaison 2
2.1 Relation de domination au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 N´egligeabilit´e et ´equivalence au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Exercices ..................................... 6
2.4 Formulaire-comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Th´eor`emes de Rolle, des accroissements finis pour les fonctions num´eriques 11
4 Formules de Taylor et d´eveloppements limit´es 14
4.1 Formules de Taylor pour des fonctions d’une variable r´eelle . . . . . . . . . 14
4.2 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.3 D´eveloppements limit´es des fonctions usuelles : . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 D´eveloppements asymptotiques 19
6 Probl`eme 20
7 Corrig´e de quelques exercices 22
Avertissement
On donne ici quelques d´efinitions dans le cadre des espaces norm´es. Si aucun des chapitres,
fonctions vectorielles (1D,2D,...,3V ) ou Espaces Norm´es n’a pr´ealablement ´et´e vu, on
remplacera Eespace norm´e par K=Rou C,le symbole || || par | | et on
´evitera les (rares) exercices qui font intervenir des fonctions vectorielles. Rien ne change
fondamentalement et ce sera plus profitable au moment des r´evisions.
1

1 Rappels
D´efinition 1 Rappels
•Soient (E, || ||),un espace norm´e et a∈E, V une partie de E. On dit que Vest un
voisinage de assi il existe r > 0,tel que B(a, r) = {x∈E;||x−a|| < r} ⊂ V;
Dans le cas E=R,un voisinage de Acontient un intervalle de longueur strictement
positive, centr´e en a.
•Soient (E, || ||),un espace norm´e et Dune partie de E. On dit que a∈Eest adh´erent
`a Dssi :
∀ε > 0, B(a, ε)∩D6=∅.
ie : tout voisinage de arencontre D.
Lorsque E=R,on dit aussi que +∞est adh´erent `a Dssi
∀A > 0, D∩]A, +∞[6=∅.
Exercice 1 caract´erisation des points adh´erents
D´emontrer que aest adh´erent `a Dssi il existe une suite (xn)n∈DNtelle que lim xn=a.
2 Relations de comparaison
2.1 Relation de domination au voisinage d’un point
D´efinition 2 Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur D, `a valeurs dans un espace
norm´e (F, ||k|F),et aun point adh´erent `a D. On dit que f(x) est domin´ee par g(x)
lorsque xtend vers assi il existe un voisinage Vde a et une constante positive Ctels que :
∀x∈V∩D, ||f(x)||F≤C||g(x)||F.
On note :
f(x)=
x→aO(g(x)).
Proposition 1
On suppose que f, g et hsont des fonctions d´efinies sur un ensemble Dauquel le point
a∈Eest adh´erent, `a valeurs dans F.
–fest domin´ee par f(r´eflexivit´e)
– si fest domin´ee par get gest domin´ee par h, alors fest domin´ee par h(transitivit´e).
– si fet gsont domin´ees par h, alors αf +βg est domin´ee par h(l’ensemble Oa(h) des
fonctions d´efinies sur Det domin´ees par hest un espace vectoriel)
Exercice 2 majorer, minorer...
Montrer, qu’au voisinage de +∞,
x3+ 3 x
x2−xln x=
x→+∞O(x).
Expliciter un voisinage et une constante.
2

2.2 N´egligeabilit´e et ´equivalence au voisinage d’un point
D´efinition 3
Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur D, `a valeurs dans un espace norm´e (F, k k),et a
un point adh´erent `a D. On dit que f(x) est n´egligeable devant g(x) lorsque xtend vers
assi il existe un voisinage Vde aet une fonction ε(x) telle que :
lim
x→aε(x) = 0 et ∀x∈D∩V, ||f(x)|| =ε(x)||g(x)||.
On note indiff´eremment :
f(x)=
x→ao(g(x)) ou ||f(x)|| = x→ao(||g(x)||).
CONSEIL : dans toute d´emonstration, dans tout calcul dans Rou Cavec des o, remplacer
=
x→ao(g(x)) par la forme plus explicite = ε(x)g(x)
Exercice 3
1. Que signifie
f(x) =
x→ao(1)?
2. Que signifie
f(x) =
x→ao(0)?
Faire un dessin.
3. Montrer que pour tout α > 0 et pour fcontinue au voisinage de 0, on a :
f(x) =
x→0o(|x|α)⇒Zx
0
f(t)dt =
x→0o|x|α+1.(2.1)
Indications :
– Remplacer (comme vous devez toujours le faire) la notation f(x) =
x→0o(|x|α) par
sa d´efinition.
– Faire la d´emonstration pour x > 0 et lorsque la fonction εest croissante.
– Adapter la d´emonstration pour le cas g´en´eral.
D´efinition 4
Soient Eet Fdeux espaces norm´es, fet gdeux fonctions d´efinies sur un ensemble D⊂E,
`a valeurs dans F, et aun point adh´erent `a D. On dit que f(x) et g(x) sont ´equivalents
au voisinage de a, et on note f(x)∼
x→ag(x) ssi
||f(x)−g(x)|| =
x→ao(||g(x)||) ou encore si f(x)−g(x)= x→ao(g(x))
Th´eor`eme 2 relation d’´equivalence
f, g, h sont des fonctions comme dans la d´efinition pr´ec´edente.
3

1. r´efl´exivit´e : f(x)∼
x→af(x)
2. sym´etrie : f(x)∼
x→ag(x)⇒g(x)∼ x→af(x).
3. transitivit´e : f(x)∼
x→ag(x) et g(x)∼ x→ah(x)⇒f(x)∼ x→ah(x).
D´emonstration
D´emontrons par exemple la sym´etrie. Pour le plaisir envisageons les cas f, g :D→K
(K=Rou C) et f, g :D→F(fnorm´e quelconque).
•Dans le cas d’un espace d’arriv´e num´erique on r´e´ecrira l’hypoth`ese f(x)−g(x)=
x→ao(g(x))
sous la forme f(x)−g(x) = ε(x)g(x) avec limaε= 0.On a, en se pla¸cant sur un intervalle
sur lequel |ε(x)|<1,par exemple,
f(x)−g(x) = ε(x)g(x)
f(x) = (1 + ε(x))g(x)
1
1 + ε(x)f(x) = g(x)
g(x)−f(x) = 1
1 + ε(x)−1f(x) = ε1(x)
•Dans le cas d’un espace quelconque, jouons avec l’in´egalit´e triangulaire sous la forme :
|||a|| − ||b||| ≤ ||a±b||
l’hypoth`ese ||f(x)−g(x)|| =
x→ao(||g(x)||) se r´e´ecrit ||f(x)−g(x)|| =ε(x)||g(x)||.
||f(x)−g(x)|| =ε(x)||g(x)||
||g(x)|| − ||f(x)|| ≤ ε(x)||g(x)||
(1 −ε(x))||g(x)|| ≤ ||f(x)||
En observant que si limaε= 0,il existe un voisinage Vde atel que sur V∩D|ε(x)|<1,
on poursuit
||g(x)|| ≤ 1
1−ε(x)||f(x)||
ce qui, en reprenant notre premi`ere ligne, donne
||f(x)−g(x)|| =ε(x)||g(x)|| ≤ ε(x)
1−ε(x)||f(x)||.
Exercice 4
Soient f, g :D→Fet aadh´erent `a D. On suppose que f(x)∼
x→ag(x).
Montrer que pour toute fonction u:D→F, on a u(x)=
x→ao(f(x)) ssi u(x)= x→ao(g(x)).
4

Th´eor`eme 3 caract´erisation partielle, pratique
Soient Eet Fdeux espaces norm´es, fet gdeux fonctions d´efinies sur un ensemble D⊂E,
`a valeurs dans F, et aun point adh´erent `a D.
– Si f(x)∼
x→ag(x),et si fadmet une limite en a, alors g admet aussi une limite en aet
ces deux limites sont ´egales.
La r´eciproque n’est vraie que si la limite commune est non nulle.
– Si F=Rou C,et si g(x) ne s’annule pas sur V, alors :
f(x)∼
x→ag(x)⇔lim x→a
f(x)
g(x)= 1
D´emonstration
Th´eor`eme 4 R`egles de calcul avec les ´equivalents
Soient Eun espace norm´e, f, g, u, v quatre fonctions num´eriques d´efinies sur un ensemble
D⊂E, `a valeurs dans F, et aun point adh´erent `a D. On suppose que
f(x)∼
x→ag(x) et u(x)∼ x→av(x).
Alors :
1. les produits fu et gv sont ´equivalents au voisinage de a;
2. s’ils sont d´efinis sur D, les quotients f
uet g vsont ´equivalents au voisinage de a;
3. si elles sont d´efinies, les puissances des fonctions fet g, f(x)αet g(x)α,sont ´equivalentes
au voisinage de a;
4. si limx→aln g(x) = ±∞,alors ln f(x)∼
x→aln g(x).
D´emonstration
Attention : en dehors de ces r`egles, on risque fort de dire des ...
Construire des contre-exemples pour les assertions (fausses) suivantes :
•f∼g⇒f−h∼g−h
•f∼g⇒h◦f∼h◦g
•f∼g⇒ln(f)∼ln(g)
Quelques observations utiles, y compris avant les d´emonstrations :
1. Ces d´efinitions d´ependent elles de la norme choisie (en dimension finie) ?
2. Que signifie f∼o(1) au voisinage de a?
3. Quelles sont les fonctions ´equivalentes `a 0 ?
4. Soit (un)ntelle que un=o(1),a-t-on un
n=o(1/n)?
5. Est il vrai que f∼g⇒(u=o(f)⇔u=o(g))?
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