Théorème de Thales en 3°

Chapitre 7
LES PUISSANCES
I. Puissances du nombre a
Définition : Si a est un nombre relatif et n un nombre entier
positif non nul :
an = a  a  …  a
n facteurs égaux au nombre a
n
a se lit « a exposant n »
Les nombres écrits sous la forme an sont des
puissances du nombre a.
Exemples :
23 = 2 × 2 × 2 = 8
se lit « 2 au cube »
(4)2 = (4) × (4) = 16
se lit « 4 au carré »
105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000
03 = 0 × 0 × 0 = 0
II. Cas particulier : les puissances du nombre 10
Si n est un nombre entier positif,
10n = 10  10  …  10 = 100 … 0
n facteurs
n « zéros »
Exemples :
Écriture décimale Écriture en lettres Écriture avec les puissances de 10
1 000 000
Un million
106
1 000 000 000
Un milliard
109
0,001
Un millième
103
0,000 001
Un millionième
106
Définition : Si n est un nombre entier positif,
10n =
1
10n
Écriture en lettre
Exemple
: ::
1
1
10 = 2 =
= 0,01 = un centième
10 100
2
Écriture sous la forme
d’une puissance
Écriture décimale
Écriture sous la forme
fractionnaire
III. Calculs sur les puissances :
Soient a et b sont des nombres relatifs
1) Multiplier deux puissances
Exemples :
A = 102 ×103
A =100 × 1 000
A = 1 00 000
A = 105
B = 10 2 × 10-3
B =100 ×0,001
B = 0,1
B = 10-1
C = 10–5 ×108
C=0,00001×100000000
C= 1000
C= 103
Remarque :
A=102+3
B = 102 +(-3)
C = 10(-5)+8
Conclusion :
10a × 10b = 10a+b
2) Diviser deux puissances
Exemple :
E=
F=
E = 10² ×
F = 10-2 ×
E = 100 × 0,001
E = 0,1
E = 10-1
Remarque : E = 102 - 3
F = 0, 01 ×0,001
F = 0,00001
F = 10-5
F = 10(-2)- 3
Conclusion :
= 10a-b
3) Puissance de puissances
Exemples :
2
3
N = 10 
N = (1000)²
N= 1000 × 1000
N = 1 000 000
N = 106
Remarque :
N= 10
3×2
P = (10-3)²
P = 0,001²
P = 0,001 × 0,001
P = 0,000 001
P = 10- 6
P = 10(-3) ×2
Conclusion : ( 10a)b = 10a×b
IV. Décomposition d’un nombre décimal avec des
puissances de 10
Exemple :
23 547,86 = 20 000 + 3 000 + 500 + 40 + 7 + 0,8 + 0,06
23 547,86 = 210 000 + 31 000 + 5×100 + 4×10 + 7×1 + 8×0,1 + 6×0,01
23 547,86 = 2  104 + 3×103 + 5×102 + 4×101 + 7×100 + 8×101 + 6×102
V. Notation scintifique :
Exemples :
Écriture décimale
Notation scientifique
Affichage de la
calculatrice
56 300 000
5,63 × 107
56 300 000
 98 700
 9,87  104
98 700
65 000 000 000 000 000
6,5 × 1016
6,5×1016
0,000 021
2,1 × 105
2,1 05 ou 2,1 ×105
La notation scientifique d’un nombre non nul est l’écriture
sous la forme :
a  10n
L’exposant n
est un nombre
entier relatif.
a est un nombre décimal non nul dont
la distance à zéro est supérieure ou
égale à 1 et strictement inférieure à 10.
Remarque : un nombre a une seule écriture scientifique.
Exemple :
A = 12,5  10
6
A = 1,25  107
Cette écriture n’est pas l’écriture
scientifique du nombre A
est l’écriture scientifique du nombre A
VI. Notation scientifique
Exemples :
Écriture décimale
Notation scientifique
Affichage de la
calculatrice
56 300 000
5,63 × 107
56 300 000
98 700
 9,87  104
98 700
65 000 000 000 000 000
6,5 × 1016
6,5×1016
0,000 021
2,1 × 105
0,000 021 ou 2,1×1005
La notation scientifique d’un nombre non nul est l’écriture
sous la forme :
a  10n
L’exposant n
est un nombre
entier relatif.
a est un nombre décimal non nul dont
la distance à zéro est supérieure ou
égale à 1 et strictement inférieure à 10.
Remarque : un nombre a une seule écriture scientifique.
Exemple :
A = 12,5  10
A=
6
Cette écriture n’est pas l’écriture
scientifique du nombre A
Est l’écriture scientifique du nombre A