Algèbre 5 – POLYNÔMES

Algèbre - chap 5 1/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Dans tout le chapitre K désigne
ℝ
ou
ℂ
.
1. ENSEMBLE K
KK
K[X]
Définition 1: On appelle polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K
KK
K toute
expression de la forme : P = a
0
+ a
1
X + ... + a
n
X
n
= a X
kk
k
n
=
∑
0
où a
0
, a
1
, ... , a
n
sont des
éléments de K appelés coefficients de P.
Le coefficient a
0
est appelé coefficient constant.
K 0 ; k ; n, le terme a
k
X
k
s’appelle le monôme de degré k.
Lorsque tous les coefficients sont nuls on dit que P est le polynôme nul (noté P = 0).
On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans K.
Remarques :
(i) On identifie K avec l’ensemble des polynômes constants P = a
0
.
(ii) Deux polynômes sont égaux si tous les coefficients des monômes de même degré
sont égaux.
Définition 2 : Soit P = a X
kk
k
n
=
∑
0
un élément non nul de K[X] .
On appelle degré de P et on note deg(P) le plus grand entier k tel que a
k
≠ 0.
Le coefficient a
deg(P)
est appelé coefficient du terme de plus haut degré (ou coefficient
dominant).
On dit que P est unitaire ou normalisé si a
deg(P)
= 1.
L’ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré inférieur ou égal à n est
noté K
n
[X].
Par convention, le degré du polynôme nul est -o.
Définition 3 : Soit P = a X
kk
k
n
=
∑
0
un élément non nul de K[X] . On lui associe la fonction
polynômiale :
P
ɶ
:
n
k
k
k 0
x a x
=
→
∑
֏
K K
. L’application f :
[
]
X
P P
→
ɶ
֏
K
K K
est une bijection.
Remarque : En pratique on pourra confondre polynôme et fonction polynômiale, et on notera
pour tout a de K, P(a) pour
~
P
(a).
Algèbre 5
– POLYNÔMES –
1.1 Notion de polynôme

Algèbre - chap 5 2/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 4 : On dit qu’un polynôme est pair ( resp. impair ) si la fonction polynômiale
associée est une fonction paire (resp. impaire)..
Proposition 1 : Soit P =
a X
kk
k
p
=
∑
0
.
P est un polynôme pair si et seulement si p est pair (p = 2n) et
k 0;n 1
∀ ∈ −
, a
2k+1
= 0.
P est un polynôme impair si et seulement si p est impair ( p = 2n + 1) et
k 0;n
∀ ∈
, a
k
= 0.
Définition 5 : Soient P = a X
kk
k
p
=
∑
0
et Q = b X
kk
k
q
=
∑
0
deux éléments de K [X].
En complétant les polynômes par des zéros si besoin est ( par exemple si p < q, on pose
a
p+1
= 0 , ..., a
q
= 0), on définit :
P + Q = ( )
max( , )
a b X
k k k
k
p q +
=
∑
0
K λ∈K , λ P = ( )
λ a X
kk
k
p
=
∑
0
P . Q =
c X où c a b a b
kk
k
p q
k i
i
k
k i i
i j k j =
+
=−+ =
∑ ∑ ∑
= =
0 0
.
P
0
= 1, et par récurrence : i
∀ ∈
ℕ
P
i+1
= P . P
i
Proposition 2 : Soient P et Q deux éléments non nuls de K [X].
• Si P + Q ≠ 0 alors deg(P + Q) ≤ max(deg(P) , deg(Q)).
• deg(P . Q) = deg(P) + deg(Q)
Remarque :
(P;Q)
∀ ∈
K [X],
ɶ
ɶ
P Q P Q et P Q P Q
+ = + =
. .
Propriétés :
(
)
P;Q;R
∀ ∈
K [X] :
• P + (Q + R) = (P + Q) + R ; P . (Q . R) = (P . Q) . R (lois associatives) ;
• P + Q = Q + P ; P . Q = Q . P (lois commutatives) ;
• P + 0 = P ; P . 1 = P ;
• P . ( Q + R) = P . Q + P . R
Définition 6 : Soient P = a X
kk
k
p
=
∑
0
et Q = b X
kk
k
q
=
∑
0
deux éléments de K [X].
Le polynôme composé de P et Q, noté P Q ou P(Q), est le polynôme de l’on obtient en
remplaçant dans l’expression de P la lettre X par Q :
p
k
k
k 0
P Q a Q
=
=
∑
Remarques :
(P;Q)
∀ ∈
K [X] :
(i)
ɶ
P Q P Q
=
(ii) En général P Q ' Q P
Proposition 3 : Soient P et Q deux éléments non nul de K [X].
On a : deg(P
Q) = deg(P)
×
deg(Q).
1.2 Opérations

Algèbre - chap 5 3/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 7 : Pour tout P = a X
kk
k
n
=
∑
0
de K[X], on appelle polynôme dérivé de P et on note
P’ le polynôme défini par P’ = 0 si P est constant, P’ = ka X
kk
k
n−
=
∑
1
1
sinon.
On définit par récurrence, pour tout iSN
*
: P
(i)
= (P
(i -1)
)’ , avec P
(0)
= P.
Remarque : Lorsque K =
(
)
,P' P '
= ℝ .
Propriétés : ∀α∈K , ∀(P ; Q)∈(K[X])² :
• (P + Q)’ = P’ + Q’
• (αP)’ = αP’
• (P . Q)’ = P’ . Q + P . Q’
• formule de Leibniz : ∀k∈
ℕ
, (P . Q)
(k)
=
k
(i) (k i)
i 0
kP Q
i
−
=
∑
..
Théorème 1 : Formule de Taylor
Soient P ∈ K
n
[X] et a ∈ K. P = P(a) + P’(a) (X - a) + ... +
P a
n
X a
nn ( ) ( )
!
( )−
Remarque : en particulier pour a = 0, P =
P
k
X
kk
k
n( )
( )
!
0
0=
∑
.
2. FACTORISATION D’UN POLYNÔME
Théorème 2 / Définition 8 : Soient A et B deux éléments de K [X] avec B ≠ 0.
Il existe un unique couple (Q ; R) S ( K [X])
2
tel que : A = BQ + R avec deg(R) < deg(B).
Q et R sont appelés quotient et reste de la division euclidienne de A par B.
Proposition 4 : Soient a ∈ K et P ∈ K [X]. Le reste de la division euclidienne de P par X – a
est P(a).
Définition 9 : Soient A et B deux éléments de K [X] .
On dit que A est divisible par B (ou que B divise A ) s’il existe Q ∈ K [X] tel que A = BQ .
On note alors B|A.
On dit qu’un élément P de K [X] est irréductible dans K [X] lorsqu’il est divisible seulement
par les polynômes constants et les polynômes de la forme λP (λ∈ K ).
1.3 Polynôme dérivé
2.1 Division euclidienne

Algèbre - chap 5 4/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 10 : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P(a) = 0.
Proposition 5 : Soit P ∈ K[X]. a ∈ K est une racine de P si et seulement si P est divisible
par X – a.
Proposition 6 : Soit P ∈ K[X]. Si a
1
, a
2
, ..., a
n
sont n racines distinctes de P alors P est
divisible par (X - a
1
)(X - a
2
) ... (X - a
n
).
Définition 11 : Soit P ∈ K[X]. On dit qu’une racine a de P est de multiplicité k si (X - a)
k
divise P et (X - a)
k+1
ne divise pas P ; si k = 1 on dit que a est une racine simple.
Remarques : Soient P ∈ K[X] et a ∈ K.
(i) a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si il existe Q
∈
ℝ
[X] tel que
P = (X – a)
k
Q avec Q(a)
≠
0.
(ii) L’ordre de multiplicité d’une racine est au plus égale au degré du polynôme.
Proposition 7 : Soit P ∈ K[X]. Si P ∈ K
n
[X] s’annule pour au moins n + 1 valeurs
distinctes, alors P = 0.
Théorème 3 : Soient a ∈ K et P ∈ K[X]. a est une racine de P de multiplicité k si et
seulement si : ∀i∈{0 ;1 ;... ; k – 1}, P
(i)
(a) = 0 et P
(k)
(a) ≠ 0.
2.3 Factorisation dans C
CC
C[X]
Théorème 4 : Théorème de d’Alembert
Tout polynôme non constant de
ℂ
[X] admet au moins une racine dans
ℂ
.
Corollaire : Les seuls polynômes irréductibles de
ℂ
[X] sont les polynômes de degré 1 et les
polynômes constants.
Proposition 8 : Tout polynôme P de
ℂ
n
[X] admettant r racines distinctes a
1
, a
2
, …, a
r
de
multiplicité m
1
, m
2
, …, m
r
respectivement, et de coefficient dominant a
n
s’écrit :
( )
1
2 r
m
m m
n 1 2 r
P a X (X ) ...(X )
= −α −α −α . ( On dit d’un tel polynôme qu’il est scindé.)
Théorème 5 : Soient P
∈
ℂ
[X], un polynôme de degré n (n∈
ℕ
*) , P = a X
kk
k
n
=
∑
0
et
x
1
, x
2
, ... , x
n
les n racines de P distinctes ou confondues.
Alors : x
1
+ x
2
+ ... + x
n
=
−
−
a
a
n
n
1
et x
1
x
2
... x
n
=
( )−1
0
n
n
a
a
.
2.2 Racines d’un polynôme
2.4 Relation entre coefficients et racines

Algèbre - chap 5 5/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Corollaire : Soit P
∈
ℂ
[X], avec deg(P) = 2.
On note a le coefficient dominant de P, x
1
et x
2
les racines (distinctes ou confondues) de P,
s = x
1
+ x
2
et p = x
1
x
2
. Alors P = a (X
2
– sX + p).
Réciproquement, soient s et p des nombres complexes. Alors les solutions dans
ℂ
du
système
x y s
xy p
+ =
=
sont les racines du polynôme P = X
2
– sX + p.
Remarque : Tout polynôme de
ℝ
[X] peut être considéré comme polynôme de
ℂ
[X].
Proposition 9 : Soit P∈
ℂ
[X]. P∈
ℝ
[X] si et seulement si ∀z∈
ℂ
,
P z P z( ) ( )=
.
Proposition 10 : Soient P∈
ℝ
[X] et k∈
ℕ
*.
a S
ℂ
est une racine de multiplicité k de P si et seulement si
a
est une racine de multiplicité k
de P.
Théorème 6 : Tout polynôme P de
ℝ
[X] de degré non nul est le produit de polynômes
de degré 1 ou de degré 2.
Remarque : Les seuls polynômes irréductibles de
ℝ
[X] sont les polynômes constants ou de
degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (discriminant < 0).
Proposition 11 : Tout polynôme de
ℝ
[X] de degré impair admet au moins une racine réelle.
2.5 Factorisation dans R
RR
R[X]