Algèbre - chap 5
1/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Dans tout le chapitre K désigne
ou
.
1. ENSEMBLE K
KK
K[X]
Définition 1: On appelle polynôme à une indéterminée X et à coefficients dans K
KK
K toute
expression de la forme : P = a
0
+ a
1
X + ... + a
n
X
n
= a X
kk
k
n
=
0
où a
0
, a
1
, ... , a
n
sont des
éléments de K appelés coefficients de P.
Le coefficient a
0
est appelé coefficient constant.
K 0 ; k ; n, le terme a
k
X
k
s’appelle le monôme de degré k.
Lorsque tous les coefficients sont nuls on dit que P est le polynôme nul (noté P = 0).
On note K[X] l’ensemble des polynômes à une indéterminée X et à coefficients dans K.
Remarques :
(i) On identifie K avec l’ensemble des polynômes constants P = a
0
.
(ii) Deux polynômes sont égaux si tous les coefficients des monômes de même degré
sont égaux.
Définition 2 : Soit P = a X
kk
k
n
=
0
un élément non nul de K[X] .
On appelle degré de P et on note deg(P) le plus grand entier k tel que a
k
0.
Le coefficient a
deg(P)
est appelé coefficient du terme de plus haut degré (ou coefficient
dominant).
On dit que P est unitaire ou normalisé si a
deg(P)
= 1.
L’ensemble contenant le polynôme nul et les polynômes de degré inférieur ou égal à n est
noté K
n
[X].
Par convention, le degré du polynôme nul est -o.
Définition 3 : Soit P = a X
kk
k
n
=
0
un élément non nul de K[X] . On lui associe la fonction
polynômiale :
P
ɶ
:
n
k
k
k 0
x a x
=
֏
K K
. L’application f :
[
]
X
P P
֏
K
K K
est une bijection.
Remarque : En pratique on pourra confondre polynôme et fonction polynômiale, et on notera
pour tout a de K, P(a) pour
~
P
(a).
Algèbre 5
– POLYNÔMES –
1.1 Notion de polynôme
Algèbre - chap 5
2/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 4 : On dit qu’un polynôme est pair ( resp. impair ) si la fonction polynômiale
associée est une fonction paire (resp. impaire)..
Proposition 1 : Soit P =
a X
kk
k
p
=
0
.
P est un polynôme pair si et seulement si p est pair (p = 2n) et
k 0;n 1
∀ ∈
, a
2k+1
= 0.
P est un polynôme impair si et seulement si p est impair ( p = 2n + 1) et
k 0;n
∀ ∈
, a
k
= 0.
Définition 5 :
Soient P = a X
kk
k
p
=
0
et Q = b X
kk
k
q
=
0
deux éléments de
K
[X].
En complétant les polynômes par des zéros si besoin est ( par exemple si p < q, on pose
a
p+1
= 0 , ..., a
q
= 0), on définit :
P + Q = ( )
max( , )
a b X
k k k
k
p q +
=
0
K
λ∈K
,
λ
P = ( )
λ
a X
kk
k
p
=
0
P
.
Q =
c X c a b a b
kk
k
p q
k i
i
k
k i i
i j k j
=
+
=+ =
∑ ∑
= =
0 0
.
P
0
= 1, et par récurrence : i
∀ ∈
P
i+1
= P
.
P
i
Proposition 2 :
Soient P et Q deux éléments non nuls de
K
[X].
Si P + Q
0 alors deg(P + Q)
max(deg(P) , deg(Q)).
deg(P
.
Q) = deg(P) + deg(Q)
Remarque
:
(P;Q)
∀ ∈
K
[X],
ɶ
ɶ
P Q P Q et P Q P Q
+ = + =
. .
Propriétés :
(
)
P;Q;R
∀ ∈
K
[X] :
P + (Q + R) = (P + Q) + R ; P
.
(Q
.
R) = (P
.
Q)
.
R (lois associatives) ;
P + Q = Q + P ; P
.
Q = Q
.
P (lois commutatives) ;
P + 0 = P ; P
.
1 = P ;
P
.
( Q + R) = P
.
Q + P
.
R
Définition 6 :
Soient P = a X
kk
k
p
=
0
et Q = b X
kk
k
q
=
0
deux éléments de
K
[X].
Le
polynôme composé
de P et Q, noté P
Q ou P(Q), est le polynôme de l’on obtient en
remplaçant dans l’expression de P la lettre X par Q :
p
k
k
k 0
P Q a Q
=
=
Remarques
:
(P;Q)
∀ ∈
K
[X] :
(i)
ɶ
P Q P Q
=
 
(ii)
En général P
Q
'
Q
P
Proposition 3 :
Soient P et Q deux éléments non nul de
K
[X].
On a : deg(P
Q) = deg(P)
×
deg(Q).
1.2 Opérations
Algèbre - chap 5
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Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Définition 7 : Pour tout P = a X
kk
k
n
=
0
de K[X], on appelle polynôme dérivé de P et on note
P’ le polynôme défini par P’ = 0 si P est constant, P’ = ka X
kk
k
n
=
1
1
sinon.
On définit par récurrence, pour tout iSN
*
: P
(i)
= (P
(i -1)
)’ , avec P
(0)
= P.
Remarque : Lorsque K =
(
)
,P' P '
=
.
Propriétés : ∀α∈K , (P ; Q)(K[X])² :
(P + Q)’ = P’ + Q’
(αP)’ = αP’
(P . Q)’ = P’ . Q + P . Q’
formule de Leibniz : k
, (P . Q)
(k)
=
k
(i) (k i)
i 0
kP Q
i
=
 
 
 
..
Théorème 1 : Formule de Taylor
Soient P K
n
[X] et a K. P = P(a) + P’(a) (X - a) + ... +
P a
n
X a
nn
( ) ( )
!
( )
Remarque :
en particulier pour a = 0, P =
P
k
X
kk
k
n( )
( )
!
0
0=
.
2. FACTORISATION D’UN POLYNÔME
Théorème 2 / Définition 8 :
Soient A et B deux éléments de
K
[X] avec B 0.
Il existe un unique couple (Q ; R)
S
(
K
[X])
2
tel que : A = BQ + R avec deg(R) < deg(B).
Q et R sont appelés
quotient
et
reste
de la
division euclidienne
de A par B.
Proposition 4 :
Soient a
K
et P
K
[X]. Le reste de la division euclidienne de P par X – a
est P(a).
Définition 9 :
Soient A et B deux éléments de
K
[X] .
On dit que
A est
divisible par B
(ou que
B divise A
) s’il existe Q
K
[X] tel que A = BQ .
On note alors B|A.
On dit qu’un élément P de
K
[X] est
irréductible
dans
K
[X] lorsqu’il est divisible seulement
par les polynômes constants et les polynômes de la forme λP (λ∈
K
).
1.3 Polynôme dérivé
2.1 Division euclidienne
Algèbre - chap 5
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Définition 10 : Soient P K[X] et a K.
On dit que a est une racine (ou un zéro) de P si P(a) = 0.
Proposition 5 : Soit P K[X]. a K est une racine de P si et seulement si P est divisible
par X – a.
Proposition 6 : Soit P K[X]. Si a
1
, a
2
, ..., a
n
sont n racines distinctes de P alors P est
divisible par (X - a
1
)(X - a
2
) ... (X - a
n
).
Définition 11 : Soit P K[X]. On dit qu’une racine a de P est de multiplicité k si (X - a)
k
divise P et (X - a)
k+1
ne divise pas P ; si k = 1 on dit que a est une racine simple.
Remarques : Soient P K[X] et a K.
(i) a est une racine de P de multiplicité k si et seulement si il existe Q
[X] tel que
P = (X – a)
k
Q avec Q(a)
0.
(ii) L’ordre de multiplicité d’une racine est au plus égale au degré du polynôme.
Proposition 7 : Soit P K[X]. Si P K
n
[X] s’annule pour au moins n + 1 valeurs
distinctes, alors P = 0.
Théorème 3 : Soient a K et P K[X]. a est une racine de P de multiplicité k si et
seulement si : i{0 ;1 ;... ; k – 1}, P
(i)
(a) = 0 et P
(k)
(a) 0.
2.3 Factorisation dans C
CC
C[X]
Théorème 4 : Théorème de d’Alembert
Tout polynôme non constant de
[X] admet au moins une racine dans
.
Corollaire : Les seuls polynômes irréductibles de
[X] sont les polynômes de degré 1 et les
polynômes constants.
Proposition 8 : Tout polynôme P de
n
[X] admettant r racines distinctes a
1
, a
2
, …, a
r
de
multiplicité m
1
, m
2
, …, m
r
respectivement, et de coefficient dominant a
n
s’écrit :
( )
1
2 r
m
m m
n 1 2 r
P a X (X ) ...(X )
= −α α α
. ( On dit d’un tel polynôme qu’il est scindé.)
Théorème 5 : Soient P
[X], un polynôme de degré n (n
*) , P = a X
kk
k
n
=
0
et
x
1
, x
2
, ... , x
n
les n racines de P distinctes ou confondues.
Alors : x
1
+ x
2
+ ... + x
n
=
a
a
n
n
1
et x
1
x
2
... x
n
=
( )1
0
n
n
a
a
.
2.2 Racines d’un polynôme
2.4 Relation entre coefficients et racines
Algèbre - chap 5
5/5
Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet
Corollaire : Soit P
[X], avec deg(P) = 2.
On note a le coefficient dominant de P, x
1
et x
2
les racines (distinctes ou confondues) de P,
s = x
1
+ x
2
et p = x
1
x
2
. Alors P = a (X
2
– sX + p).
Réciproquement, soient s et p des nombres complexes. Alors les solutions dans
du
système
x y s
xy p
+ =
=
sont les racines du polynôme P = X
2
– sX + p.
Remarque : Tout polynôme de
[X] peut être considéré comme polynôme de
[X].
Proposition 9 : Soit P
[X]. P
[X] si et seulement si z
,
P z P z( ) ( )=
.
Proposition 10 : Soient P
[X] et k
*.
a S
est une racine de multiplicité k de P si et seulement si
a
est une racine de multiplicité k
de P.
Théorème 6 : Tout polynôme P de
[X] de degré non nul est le produit de polynômes
de degré 1 ou de degré 2.
Remarque : Les seuls polynômes irréductibles de
[X] sont les polynômes constants ou de
degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle (discriminant < 0).
Proposition 11 : Tout polynôme de
[X] de degré impair admet au moins une racine réelle.
2.5 Factorisation dans R
RR
R[X]
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