TD 1 Cin´ematique

Système bielle-manivelle
Un syst€me bielle-manivelle est constitu• de 2 tiges OA et AB de longueur 2a.
Le point A d•crit un mouvement circulaire uniforme avec une vitesse angulaire  .
La tige AB est articul•e en A et l’extr•mit• B est astreinte ƒ rester sur l’axe Ox. Une but•e
plac•e en O emp„che B de passer ƒ gauche de O.
1. D•terminer l’•quation horaire de B sur l’axe Ox.
Equation horaire de A
 2a.cos  
 2a.cos  t 
=> OA 
OA 


 2a.sin  
 2a.sin t 
Comme OA  AB => OH  HB =>
OB  2.OH
Il faut prendre en compte l’effet de la but•e
sur le mouvement de B.
 4a.cos t 
0
  
  
Pour     ,  => OB 
et pour    ,   => OB  

0
 2 2
2 2


0
AN : a  1
2. D•terminer l’•quation horaire de M milieu de AB. Quelles sont les propri•t•s
g•om•triques de la trajectoire de M
OM 
 2a.cos  t 
 4a.cos t 
OA  OB
  
avec OA 
et OB 
pour     ,  et


2
0
 2 2
 2a.sin t 


0
  
OB   pour    ,   =>
2 2
0
 3a.cos t 
 a.cos t 
  
  
Pour     ,  => OM 
et pour    ,   => OM 


 2 2
2 2
 a.sin t 
 a.sin  t 
Trajectoire de M
3. D•terminer les composantes de la vitesse et de l’acc•l•ration de M. Montrer que
l’acc•l•ration de M passe par un point fixe. Lequel ?
dOM  3a.sin t 
dOM   a.sin t 
  
  
Si     ,  =>
et si    ,   =>




dt  a.cos t 
dt  a.cos t 
 2 2
2 2
d 2OM  3a 2 .cos t 
d 2OM   a 2 .cos  t 
  
  
Si     ,  =>
si


,

=>



 [1]


dt 2   a 2 .sin  t 
dt 2   a 2 .sin t 
 2 2
2 2
Le vecteur
d 2OM
est oppos• au vecteur OM , il est donc central. Il passe toujours par O.
dt 2
4. Calculer les rayons de courbure de la trajectoire de M aux points d’intersection avec
l’axe Ox.
sT + s2
Selon Frenet: a  aT T + a N N  
N
avec ρ rayon de courbure local

2
Pour y  0  t  0 ou 1 selon [1] => aT = 0 => a 
2
s 2
 dv 
or s 2 =   pour  t  0 =>

 dt 
2
a
 dv 
 dv 
2 2
2 2
2
2
   a  et a  3.a. =>   pour  t   =>    a  et a  a. =>   a
3
 dt 
 dt 
Remarque : dans ce dernier cas le r•sultat donne bien le rayon du cercle suivi par M.