TD 1 Cin´ematique

Système bielle-manivelle
Un syst€me bielle-manivelle est constitu• de 2 tiges OA et AB de longueur 2a.
Le point A d•crit un mouvement circulaire uniforme avec une vitesse angulaire .
La tige AB est articul•e en A et l’extr•mit• B est astreinte ƒ rester sur l’axe Ox. Une but•e
plac•e en O emp„che B de passer ƒ gauche de O.
1. D•terminer l’•quation horaire de B sur l’axe Ox.
Equation horaire de A
2.cos
2.sin
a
a
OA => 2.cos
2.sin
a t
a t
OA
Comme
OA AB
=>
OH HB
=>
2.
OB OH
Il faut prendre en compte l’effet de la but•e
sur le mouvement de B.
Pour
,
2 2
=> 4.cos
0
a t
OB et pour ,
2 2
=>
0
0
OB
AN :
1
a

2. D•terminer l’•quation horaire de M milieu de AB. Quelles sont les propri•t•s
g•om•triques de la trajectoire de M
2
OA OB
OM avec 2.cos
2.sin
a t
a t
OA et 4.cos
0
a t
OB pour
,
2 2
et
0
0
OB pour ,
2 2
=>
Pour
,
2 2
=> 3.cos
.sin
a t
a t
OM et pour ,
2 2
=> .cos
.sin
a t
a t
OM
Trajectoire de M
3. D•terminer les composantes de la vitesse et de l’acc•l•ration de M. Montrer que
l’acc•l•ration de M passe par un point fixe. Lequel ?
Si
,
2 2
=> 3.sin
.cos
a t
d
a t
dt
OM et si ,
2 2
=> .sin
.cos
a t
d
a t
dt
OM
Si
,
2 2
=>
2
2
22
3.cos
.sin
a t
d
dt
a t
OM si ,
2 2
=>
2
2
22
.cos
.sin
a t
d
dt
a t
OM [1]
Le vecteur
2
2
d
dt
OM
est oppos• au vecteur
OM
, il est donc central. Il passe toujours par O.
4. Calculer les rayons de courbure de la trajectoire de M aux points d’intersection avec
l’axe Ox.
Selon Frenet: 2
T N
a a s s
N
a T+ N T+ avec ρ rayon de courbure local
Pour
0
y
t 0
ou 1 selon [1] => T
a 0
=
=>
2
s
a or
2
2
dv
s =
dt
pour
0
t
=>
2
2 2
dv a
dt
  et
2
3. .
a
a=>
3
a
pour
t
=>
2
2 2
dv a
dt
  et
2
.
a
a=>
a
Remarque :dans ce dernier cas le r•sultat donne bien le rayon du cercle suivi par M.