Chapitre 1 Probabilités finies

Probabilités
L2 Maths
21 janvier 2017
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Table des matières
1 Probabilités finies
1.1 Définition ensembliste d’une expérience aléatoire
1.1.1 Vocabulaire ensembliste . . . . . . . . . .
1.1.2 Observations de plusieurs expériences . .
1.1.3 Règles de dénombrement . . . . . . . . .
1.2 Espace de probabilités finies . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mesure de probabilités . . . . . . . . . . .
1.2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 1
Probabilités finies
1.1
Définition ensembliste d’une expérience aléatoire
Déf 1. Expérience aléatoire : Phénomène dont on ne connait pas l’issue
avant observation.
Exemples.
— pile ou face
— lancé de dés
— battage d’un jeu de cartes
— désintégration d’un atome instable
— playlist aléatoire
On s’interresse à l’ensemble des résultats possibles. Pour l’instant les
ensembles considérés seront finis.
Déf 2. Univers : Ensemble des résultats possibles, noté Ω.
Exemples.
— pile ou face Ω = {P ile, F ace}
— lancé de dés Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
— battage d’un jeu de cartes A = {7, 8, 9, 10, V, D, R, As}×{♠, ♥, ♦, ♣}
Un battage sera une suite de 32 éléments de A où chacun figure exactement une fois. on peut noter Ω = σA l’ensemble des battages possibles.
— désintégration d’un atome instable t ∈ R est l’instant dedésintégration, il faudrait prendre Ω = R, ce qui n’est pas le cas dans ce cours
(probabilités finies)
— playlist aléatoire n chansons numérotées de 1 à n, chaque résultat fait
partie de l’ensemble des ordres sur {1, 2, ..., n}
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1.1.1
Vocabulaire ensembliste
On travail dans Ω, ensemble fini appelé l’univers.
Déf 3. Evénement : Tout sous-ensemble de Ω. L’ensemble de tous les événements est donc ℘(Ω)
Les éléments de Ω sont souvent notés ω.
Si ω ∈ Ω, {ω}estunévénement
{ω} est l’événement "l’issue de l’expérience est ω".
Traductions ensemblistes :
— Un résultat possible : ω ∈ Ω
— Un événement : A ⊂ Ω
— la réalisation de l’événement A implique l’événement B : A ⊂ B
— Réalisation d’un événement A ou B : A ∪ B
— Réalisation de A et B : A ∩ B
— Négation ou absence de réalisation de A : Ā = Ac = Ω \ A
— Événement impossible : ∅
— Événement certains : Ω
— Les événements A et B sont incompatibles : A ∪ B = ∅
1.1.2
Observations de plusieurs expériences
On les décrit comme une seule grosse expérience :
Ω = Ω1 × Ω2
Exemples. Le lancer de deux dés est décrit par Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ×
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
1.1.3
Règles de dénombrement
Proposition 1. Le nombre de permutations de {1, ..., n} (ie. le nombre
d’ordres pour ranger les éléments de {1, ..., n} est n !)
|σn | = n!
Proposition 2. Le nombre de façons de choisir k éléments parmi n en tenant compte de l’ordre, ie. le nombre de k-uplets de {1, .., n} sans répétitions
est égal à :
n
Y
n!
=
i = Akn
(n − k)! i=n−k+1
Akn est appelé le nombre d’arrangements.
6
Proposition 3. Le nombre de façons de choisir, sans tenir compte de
l’ordre, k éléments parmi n (ie. le nombre de sous-ensemble à k éléments
d’un ensemble à n éléments) est :
n!
=
(n − k)!k!
1.2
1.2.1
n
k
!
= Cnk
Espace de probabilités finies
Mesure de probabilités
Déf 4. Mesure de probabilité : On appelle mesure de probabilité sur Ω toute
fonction P de P(Ω) dans [0,1] telle que :
1. P(Ω) = 1
2. ∀A, B ∈ P(Ω), A ∩ B = ∅, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Remarque. 1. et 2. ⇒ P(∅) = 0 car P(Ω ∪ ∅) = P(Ω) + P(∅), CAD 1 =
1 + P(∅)
Déf 5. Espace de probabilité fini : Le couple (Ω, P) est appelé espace de
probabilité fini. Pour des raisons de cohérence, on le note souvent :
(Ω, P(Ω), P)
Proposition 4. Soit (Ω, P) un espace de probabilité finie.
P
Alors ∀A ⊂ P(Ω), on a P(A) = ω∈A P({ω})
En particulier, la famille (pω = P(ω))ω∈A caractérise P.
De plus, les pω sont positifs, et leur somme vaut 1.
Démonstration. Commençons par prouver par récurrence que pour tout n ∈
N, si (Ai )1≤i≤n est une famille d’événements deux à deux disjoints :
P(
n
[
Ai ) =
i=1
n
X
P(Ai )
i=1
Initialisation : Pour n=1, le résultat est immédiat.
Hérédité : Soit (Ai )1≤i≤n une famille d’événements deux à deux disjoints
P(
n+1
[
Ai ) = P(
i=1
n
[
i=1
7
Ai ∪ An+1 )
et
n
[
An+1 ∩ (
n
[
Ai ) =
i=1
(An+1 ∩ Ai ) = ∅
i=1
donc
P(
n+1
[
Ai ) = P(
i=1
n
[
Ai ) + P(An+1 )
i=1
d’après l’hypothèse de récurrence
↓
=
n
X
P(Ai ) + P(An+1 )
i=1
n+1
X
=
P(Ai )
i=1
Retour à la preuve :
[
A=
{ω}
ω∈A
et A est une union d’événements 2 à 2 disjoints, donc
P(A) =
X
P({ω})
ω∈A
et en particulier :
1 = P(Ω) =
X
P({ω}) =
ω∈Ω
X
pω
ω∈Ω
Réciproquement :
P
Si (qω ) est une famille de poids positifs tels que ω∈Ω qω = 1
Alors la fonction
Q : P(Ω) → [0, 1]
A 7→
X
qω
ω∈A
est une mesure de probabilité.
Démonstration.
1. Q(Ω) =
P
ω∈Ω qω
8
=1
2. Soient A et b deux événements tels que A ∩ B = ∅
X
Q(A ∪ B) =
qω
ω∈A∪B
Comme A ∩ B = ∅
X
Q(A ∪ B) =
qω +
ω∈A
X
qω = Q(A) + Q(B)
ω∈B
Déf 6. On appelle loi de probabilité finie la famille des poids (pω )ω∈Ω
1.2.2
Exemples
Déf 7. Soit Ω un univers fini.
On appelle mesure de probabilité uniforme sur Ω la mesure de probabilité
définie par :
|A|
∀A ∈ P(Ω), P(A) =
|Ω|
1. Si A ∈ P(Ω) alors |A| ≤ |Ω|, donc P(A) ∈ [0, 1]
Démonstration.
2. P(Ω) =
|Ω|
|Ω|
=1
3. Soient A et B, deux éléments incompatibles :
P(A ∪ B) =
Remarque. pω = P({ω}) =
|A ∪ B|
|A| + |B|
=
= P(A) + P(B)
|Ω|
|Ω|
1
|Ω|
ne dépend pas de ω. On a :
∀ω ∈ Ω, pω =
9
1
|Ω|