I. Densité de probabilité 1. Définition f est une densité de probabilité

I. Densité de probabilité
1. Définition
f est une densité de probabilité sur [a ; b] si :
• f est continue sur [a ; b]
• f est positive sur [a ; b]
• ׬݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
= 1
2. Variable aléatoire continue
Déf : X est une variable aléatoire continue si elle ses valeurs décrivent un
intervalle. Ex : X ∈ [1 ; 5]
Dans le cas la loi Binomiale, X est une variable aléatoire discrète (i.e. prend
ses valeurs dans un ensemble. Ex : x ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Propriété : ∀ a ∈ IR : p(X = a) = 0
3. Loi de probabilité
Déf : X est une variable aléatoire continue à valeur dans [a ; b], munie d’une
densité de probabilité f. Alors, on définit une loi de probabilité sur X par :
∀ c, d ∈ IR et tels que : a ≤ c ≤ d ≤ b : p(X ∈ [c ; d]) = ׬݂ሺݔሻ݀ݔ
ௗ
௖
.
Déf : L’espérance mathématique est alors : E(X) = ׬ݔ. ݂ሺݔሻ݀ݔ
௕
௔
II. Une loi à densité : la loi uniforme
1. Définition
Déf : X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque sa densité de probabilité est
donnée par f ainsi définie : f(x) =
ଵ
௕ି௔
si x ∈ [a ; b] et f(x) = 0 sinon.
ଵ
௕ି௔
a b
2. Propriétés
• ∀ c, d ∈ IR tels que a ≤ c ≤ d ≤ b : p(c ≤ X ≤ d) =
ௗି௖
௕ି௔
• ∀ c, d ∈ IR tels que c ≤ a ≤ d ≤ b : p(c ≤ X ≤ d) =
ௗି௔
௕ି௔
• E(X) =
௔ା௕
ଶ
Lois à densité