I. Densité de probabilité 1. Définition f est une densité de probabilité

Lois à densité
I.
Densité de probabilité
1. Définition
f est une densité de probabilité sur [a ; b] si :
• f est continue sur [a ; b]
• f est positive sur [a ; b]
௕
• ‫׬‬௔ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ = ݔ‬1
2. Variable aléatoire continue
Déf : X est une variable aléatoire continue si elle ses valeurs décrivent un
intervalle. Ex : X ∈ [1 ; 5]
Dans le cas la loi Binomiale, X est une variable aléatoire discrète (i.e. prend
ses valeurs dans un ensemble. Ex : x ∈ {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
Propriété : ∀ a ∈ IR : p(X = a) = 0
3. Loi de probabilité
Déf : X est une variable aléatoire continue à valeur dans [a ; b], munie d’une
densité de probabilité f. Alors, on définit une loi de probabilité sur X par :
ௗ
∀ c, d ∈ IR et tels que : a ≤ c ≤ d ≤ b : p(X ∈ [c ; d]) = ‫׬‬௖ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬.
௕
Déf : L’espérance mathématique est alors : E(X) = ‫׬‬௔ ‫ݔ‬. ݂ሺ‫ݔ‬ሻ݀‫ݔ‬
II.
Une loi à densité : la loi uniforme
1. Définition
Déf : X suit la loi uniforme sur [a ; b] lorsque sa densité de probabilité est
ଵ
donnée par f ainsi définie : f(x) = ௕ି௔ si x ∈ [a ; b] et f(x) = 0 sinon.
ଵ
௕ି௔
a
b
2. Propriétés
ௗି௖
• ∀ c, d ∈ IR tels que a ≤ c ≤ d ≤ b : p(c ≤ X ≤ d) = ௕ି௔
ௗି௔
•
∀ c, d ∈ IR tels que c ≤ a ≤ d ≤ b : p(c ≤ X ≤ d) = ௕ି௔
•
E(X) =
௔ା௕
ଶ