Leçon - euclides.fr

DEVELOPPER & FACTORISER
Pourquoi développer ou factoriser ?
Dans de nombreuses situations (économie, sciences de l’ingénieur, informatique, etc.) on doit
procéder à de grandes quantités de calculs. Par exemple, imaginons que l’on doive calculer :
99 001  67 + 99 001  33
99 002  67 + 99 002  33
99 003  67 + 99 003  33
…
99 999  67 + 99 999  33
Si l’on remarque que toutes ces formules peuvent se calculer plus simplement en faisant ceci :
99 001  67 + 99 001  33 = 99 001  (67 + 33) = 99 001  100
on imagine alors aisément le gain de temps accompli : on a remplacé 2997 opérations difficiles par
999 opérations faciles !
Comment développer ou factoriser ?
Cette possibilité de remplacer une formule difficile à calculer par une formule plus facile à
calculer n’est malheureusement pas toujours possible. Il faut que la formule difficile à calculer soit
d’une certaine forme. Reprenons 99 001  67 + 99 001  33 et identifions sa forme :
 notre formule est une somme de deux termes ;
 chaque terme est un produit ;
 dans tous les produits apparaît un facteur commun.
On peut donc coder la forme à l’aide de lettres : AB + AC ; une fois cette forme identifiée, on peut
factoriser la formule : A (B + C).
Propriété 1. Formules de distributivité. Quelques soient les nombres A, B et C on a :
A (B + C) = AB + AC
A (B  C) = AB  AC
Factoriser veut dire « transformer en facteurs » c’est-à-dire « donner la forme d’une produit».
Développer veut dire « enlever les enveloppes » c’est-à-dire « enlever les parenthèses ». Ces deux
formes, quoique différentes dans leur aspect, donnent toujours le même résultat.
La double distributivité
Propriété 2. Formules de double distributivité. Quelques soient les nombres A, B, C et D on a :
(A + B) (C + D) = AC + AD + BC + BD
(A  B) (C + D) = AC + AD  BC  BD
(A + B) (C  D) = AC  AD + BC  BD
(A  B) (C  D) = AC  AD  BC + BD
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Démonstration. (A + B) (C + D) = (A + B) C + (A + B) D
= C (A + B) + D (A + B)
= CA + CB + DA + DB
= AC + BC + AD + BD
= AC + AD + BC + BD
Cette formule peut se justifier, dans le cas de
nombres positifs, en les interprétant comme des
longueurs. Si on assemble quatre rectangles pour
en former un plus grand alors nous avons
(Propriété 1)
(On peut changer l'ordre des facteurs)
(Propriété 1)
(On peut changer l'ordre des facteurs)
(On peut changer l'ordre des termes)
A
B
AC
BC
C
AD
BD
D
Aire totale = Aire  + Aire  + Aire  + Aire 
et nous en déduisons
(A + B) (C + D) = AC + AD + BC + BD.
Les trois autres formules se démontrent de façon analogue.
Exemple. Développer puis réduire l'expression (4x3)(2x+4) :
( 4x 3 ) ( 2x +4 ) =  8x²
Il faut voir 4 facteurs
16x 6x
 12
Il faut faire 4 produits
=  8x²
+22x
 12
Il faut ajouter les 2 termes en x
4x
3
 8x²
16x
 2x
6x
 12
4
Le signe  devant une parenthèse.
Propriété 3. Pour tout nombre a, a = (1)  a.
Propriété 4. Pour tout nombre a et b,  (a + b) = (a) + (b).
Démonstration.  (a + b) = (1)  (a + b)
(Propriété 3)
= (1)  a + (1)  b (Propriété 1)
= (a) + (b)
(Propriété 3).
Exemples.
(5+3)=53
 ( x + 2y  3z + 4t) = x  2y + 3z  4t
Application. Développer puis réduire l'expression (2x  3)(x+2)  (3x + 2)(x + 1) :
(2x  3)(x+2) — (3x + 2)(x + 1) = 2x² + 4x  3x  6 — [3x² + 3x  2x + 2] (on développe chaque terme)
= 2x² + 4x  3x  6 + 3x²  3x + 2x  2
(Propriété 4)
= 5x²  8
(on réduit)
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