Distributivité et expressions littérales I. Distributivité Règle Le produit d’un nombre par la somme de deux autres nombres est égal à la somme des produits du premier par chacun des deux autres. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition. Autrement dit, pour tous nombres k, a et b, on a : k×(a+b)=k×a+k×b La multiplication est également distributive par rapport à la soustraction. k×(a–b)=k×a–k×b a Illustrations a b k k Aire du grand rectangle : k × ( a + b ) ou Application b Aire du rectangle de gauche : k × ( a – b ) ou k × a – k × b k×a+k×b La distributivité peut servir à calculer astucieusement des produits : A = 7 ×16 B = 998 × 3,5 C = 7 × 0, 3 + 7 × 2, 7 D = 26 ×11,1 A = 7 × (10 + 6 ) B = (1000 − 2 ) × 3,5 D = 26 × (10 + 1 + 0,1) A = 7 ×10 + 7 × 6 A = 70 + 42 A = 112 B = 1000 × 3,5 − 2 × 3,5 C = 7 × (0,3 + 2, 7) C = 7×3 B = 3500 − 7 C = 21 D = 260 + 26 + 2, 6 B = 3493 D = 26 ×10 + 26 × 1 + 26 × 0,1 D = 288, 6 II. Expressions littérales Définition Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres. L Exemples Formules : Les lettres L et l remplacent la longueur et la largeur du rectangle. l On calcule l’aire du rectangle avec la formule : A=L×l « en fonction de … » : La longueur AB s’exprime en fonction de x : ou AB = 3 × x + 5 AB = x + x + x + 5 Nombre inconnu : « Le triple d’un nombre est égal à la somme de ce nombre et de cinq. Quel est ce nombre ? » Cette question peut se traduire par la recherche du nombre x rendant vraie l’égalité 3 × x = x + 5 . III. Simplification d’écritures littérales Convention On peut simplifier certaines écritures littérales en supprimant le signe « × » lorsqu’il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèses : Exemples 3 × a peut s’écrire 3a . k × a peut s’écrire ka . 2 × ( x + 3) peut s’écrire 2 ( x + 3) . Les égalités du I peuvent donc s’écrire : k ( a + b ) = ka + kb k ( a − b ) = ka − kb . Remarques 4 × 5 ne s’écrit pas 45. x × 3 s’écrit 3x (plutôt que x3 ). 1× x peut s’écrire x . 0 × x peut s’écrire 0. Notations Le produit a × a s’écrit a 2 (se lit « a au carré »). Le produit a × a × a s’écrit a 3 (se lit « a au cube »). IV. Développer et factoriser Définition Développer un produit c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence). Factoriser une somme (ou une différence) c’est l’écrire sous la forme d’un produit. Développer Vocabulaire k (a + b) ka + kb Factoriser Produit d’un nombre par une somme Exemples Somme de produits ayant un facteur commun A = a ( a − 10 ) A = a × a − a × 10 C = 7 x + 8x je développe C = ( 7 + 8) x A = a 2 − 10a C = 15 x B = (a + b + c)× 3 D = 7 xy − 14 y B = a×3+ b×3+ c×3 B = 3a + 3b + 3c je factorise D = 7y× x −7y×2 D = 7 y ( x − 2)