Distributivité et expressions littérales

Distributivité et expressions littérales
I. Distributivité
Règle Le produit d’un nombre par la somme de deux autres nombres est égal à la somme des produits du
premier par chacun des deux autres.
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Autrement dit, pour tous nombres k, a et b, on a :
k × ( a + b ) = k × a + k × b
La multiplication est également distributive par rapport à la soustraction.
k × ( a – b ) = k × a – k × b
Illustrations
Aire du grand rectangle :
k × ( a + b ) ou k × a + k × b
Aire du rectangle de gauche :
k × ( a – b ) ou k × a – k × b
Application La distributivité peut servir à calculer astucieusement des produits :
( )
7 16
7 10 6
7 10 7 6
70 42
112
A
A
A
A
A
= ×
= × +
= × + ×
= +
=
( )
998 3,5
1000 2 3,5
1000 3,5 2 3,5
3500 7
3493
B
B
B
B
B
= ×
= − ×
= × − ×
= −
=
7 0,3 7 2,7
7 (0,3 2,7)
7 3
21
C
C
C
C
= × + ×
= × +
= ×
=
( )
26 11,1
26 10 1 0,1
26 10 26 1 26 0,1
260 26 2,6
288,6
D
D
D
D
D
= ×
= × + +
= × + × + ×
= + +
=
II. Expressions littérales
Définition Une expression littérale est une expression dans laquelle des lettres représentent des nombres.
Exemples Formules :
Les lettres L et l remplacent la longueur et la largeur du rectangle.
On calcule l’aire du rectangle avec la formule : A = L × l
« en fonction de … » :
La longueur AB s’exprime en fonction de
x
:
AB =
5
x x x
+++
ou AB =
3 5
x
× +
Nombre inconnu :
« Le triple d’un nombre est égal à la somme de ce nombre et de cinq. Quel est ce nombre ? »
Cette question peut se traduire par la recherche du nombre
x
rendant vraie l’égalité
3 5
x x
× = +
.
b
k
a
l
L
k
a b

III. Simplification d’écritures littérales
Convention On peut simplifier certaines écritures littérales en supprimant le signe « × » lorsqu’il est suivi d’une
lettre ou d’une parenthèses :
Exemples
3
a
×
peut s’écrire
3
a
.
k a
×
peut s’écrire
ka
.
(
)
2 3
x
× +
peut s’écrire
(
)
2 3
x
+
.
Les égalités du I peuvent donc s’écrire :
(
)
k a b ka kb
+ = +
(
)
k a b ka kb
− = −
.
Remarques
4 5
×
ne s’écrit pas 45.
3
x
×
s’écrit
3
x
(plutôt que
3
x
).
1
x
×
peut s’écrire
x
.
0
x
×
peut s’écrire 0.
Notations Le produit
a a
×
s’écrit
2
a
(se lit «
a
au carré »).
Le produit
a a a
× ×
s’écrit
3
a
(se lit «
a
au cube »).
IV. Développer et factoriser
Définition Développer un produit c’est l’écrire sous la forme d’une somme (ou d’une différence).
Factoriser une somme (ou une différence) c’est l’écrire sous la forme d’un produit.
Vocabulaire
(
)
k a b
+
ka kb
+
Exemples
(
)
2
10
10
10
A a a
A a a a
A a a
= −
= × − ×
= −
(
)
3
3 3 3
3 3 3
B a b c
B a b c
B a b c
= + + ×
= × + × + ×
= + +
( )
7 8
7 8
15
C x x
C x
C x
= +
= +
=
( )
7 14
7 7 2
7 2
D xy y
D y x y
D y x
= −
= × − ×
= −
je développe
je factorise
Développer
Factoriser
Produit d’un
nombre par une
somme
Somme de produits
ayant un facteur
commun