Cycle de transition – Année 2015

école supérieure d’informatique, électronique, automatique
1A – Cycle de transition – Année 2015-2016
Renforcement numérique : nombres complexes et trigonométrie
Exercice 1
On se place dans le plan usuel muni d’un repère orthonormal direct (O;⃗u, ⃗v)d’unité 6cm.
Le cercle trigonométrique de ce repère sera noté C.
1.a. Tracer le cercle Cet y placer les réels suivants :
π
6
π
40π 3
π
2
1.b. Indiquer le cosinus et le sinus de chacun de ces réels sur les axes de coordonnées.
2.a. Calculer les opposés de tous les réels de la question 1.a. et les placer sur C.
2.b. Comparer les valeurs trouvées à la question 1.b. au cosinus et au sinus de ces réels.
2.c. Pour tout réel x, que vaut cos(−x)? que vaut sin(−x)?
3.a. Dans le quadrant supérieur gauche, marquer les réels qui correspondent aux angles
supplémentaires à ceux représentés par les réels de la question 1.a., puis indiquer les valeurs
des cosinus et des sinus associés.
3.b. Pour tout réel x, que vaut cos(π−x)? que vaut sin(π−x)?
4.a. Compléter le dernier quadrant.
4.b. En s’appuyant sur le dessin obtenu, préciser les valeurs de cos(π+x)et sin(π+x)en
fonction de cos xet de sin x, pour tout réel x.
5. Simplifier, pour tout réel x, les quantités suivantes :
cos π
2+xsin π 2+xcos π 2−xsin π 2−x
Exercice 2
Soit fla fonction définie pour tout réel xpar f(x) = sin x−π
3. Sa courbe dans un repère
orthonormé est notée C.
1. Déterminer les abscisses de tous les points d’intersection de Cavec l’axe des abscisses.
2. Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels Cadmet une tangente horizontale.
Exercice 3
Pour tout réel t, on pose u(t) = √2 sin 3
2t+π 4.
1. Pourquoi la fonction uest-elle périodique de période 4π
3?
2. Démontrer que la fonction 4u′′ + 9uest la fonction nulle.

Exercice 4
On considère un signal électrique en régime sinusoïdal que l’on modélise par une fonction x
définie pour tout tde Rpar :
x(t) = Asin(ωt +φ),
où le réel Aest l’amplitude du signal, le réel φest la phase à l’origine et le réel ωest la
pulsation du signal. La pulsation ωet la période Tsont liées par l’égalité ωT = 2π.
On donne les représentations graphiques de sept fonctions x1,x2,x3,x4,x5,x6et x7qui
modélisent sept tensions électriques uen régime sinusoïdal. Déterminer l’amplitude Ak, la phase
à l’origine φket la pulsation ωkdu signal xkpour tout kde J1,7K.Indication : toutes les phases
à l’origine sont des angles remarquables.
u=x1(t)
1
−1
1 2 3 4−1−2−3−4
Ot
u
u=x2(t)1
2
−1
−2
12345−1−2−3−4−5Ot
u
u=x3(t)
1
−1
1 2 3 4−1−2−3−4O
t
u

u=x4(t)
1
2
−1
−2
12345−1−2−3−4−5Ot
u
u=x5(t)
1
−1
1234567−1−2−3−4−5−6−7Ot
u
u=x6(t)
1
−1
1 2 3−1−2−3
Ot
u
1
2
−1
−2
12345−1−2−3−4−5
u=x7(t)
Ot
u

Exercice 5
Soit xun nombre réel tel que cos x= 0,6et sin x= 0,8.
1. Donner la valeur de cos(−x), la valeur de sin(π+x)et la valeur de cos π
2−x.
2. Quelle est la valeur de tan x?
Exercice 6
1. Après avoir calculé π
3+π 4, déterminer les valeurs exactes de :
cos 7π
12 sin 7π 12 .
2.a. En remarquant que π
6= 2 ×π 12, calculer la valeur exacte de cos2π 12.
2.b. En déduire la valeur exacte de cos π
12.
Exercice 7
On pose z= 2 −3i, z′=−1 + i et z′′ =√3−i. Écrire sous forme algébrique les nombres
complexes suivants.
z+z′z−z′(z′′)3zz′z2
1
z′2z−3z′2 z′′ z2+ (z′)2
Exercice 8
On note (E)l’équation (2 −i)z= 2 −6i à une inconnue complexe z.
1.a. Résoudre (E)dans l’ensemble C; on notera z1la solution trouvée.
1.b. Donner la forme algébrique de z1puis la forme exponentielle de z1.
2. Soit z2le nombre complexe défini par l’égalité z2=e−iπ
2×z1. Déterminer la forme
algébrique et la forme exponentielle de z2.
Exercice 9
On considère les complexes z1et z2définis par z1=−3+3i et z2=−1 + i√3.
1. Calculer le produit z1z2sous forme algébrique.
2.a. Déterminer le module et un argument de z1; en déduire la forme exponentielle de z1.
2.b. Reprendre la question 2.a. pour le complexe z2.
2.c. En déduire la forme exponentielle du produit z1z2.
3. À l’aide des questions précédentes, donner les valeurs exactes de cos 17π
12 et sin 17π 12 .

Exercice 10
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O;⃗u, ⃗v).
Pour tout nde N, on note Mnle point d’affixe zndéfini par z0= 1 et zn+1 =3
4+i√3 4zn.
On définit enfin la suite (rn)par rn=|zn|pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme algébrique de z0, de z1, de z2et de z3.
2. Donner la forme exponentielle de 3
4+i√3 4.
3.a. Montrer que la suite (rn)est géométrique de raison √3
2.
3.b. En déduire l’expression de rnen fonction de tout entier naturel n.
3.c. Que devient la longueur OMnlorsque ntend vers +∞?
Exercice 11
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (O;⃗u, ⃗v)d’unité graphique 1cm. Les
points A,Bet Csont définies par leurs affixes respectives zA,zBet zCde la manière suivante.
zA= 1 zB= 2 + 3izC=4 + 3i
1 + 2i
1.a. Faire une figure en respectant les unités et placer les points Aet B.
1.b. Calculer la distance AB.
1.c. Montrer l’égalité suivante : zC= 2 −i.
2. Donner l’écriture exponentielle de zC−zA.
3.a. Déterminer et tracer l’ensemble Edes points d’affixe zqui vérifient |z−zA|= 2√2.
3.b. Vérifier que les points Bet Cappartiennent à l’ensemble E.
Exercice 12
Soit gla fonction définie pour tout réel tpar g(t) = (1 + cos t) sin t.
1. Résoudre l’équation g(t) = 0 dans R.
2. Étudier la parité et la périodicité de la fonction g.
3. Calculer la dérivée de get factoriser g′(t)pour tout tde R.
4. Dresser le tableau de variations de gsur [0, π]puis tracer la courbe représentative de g.
Exercice 13
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
A=3i
2−5iB= 1 −3i−2 + i 3iC= 2 + i−(5 −i)