Cours 1 - TuniSchool

Dérivabilité
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Titre
Description
Remarques
Définition :
Interprétation
graphique :
xa
f est une fonction définie sur un ouvert I de et a I.
f est si, et seulement si, ; L .
L s'appelle le nombre dérivé de f en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une tangente au point A a,f(a)
d'équation ca
f(x) f(a)
dérivable en a lim L
x
rt s
a
é
1
y f'(a) x a f(a)
f'(a) coefficient directeur ( la p
ienne
est le ou de la tangente.
Son
ente)
vecteur directeur u f'(a) est .
Si f est continue sur I et sa courbe ne présente aucun changement
brusque dans son allure alors f est dérivable en tout point a de I.
f est dérivable en tout réel a f n’est pas dérivable en a
En physique chimie
xa
df
f'(a) dx 
la pente de la tangente
au point x=a.
C(f)
C(f)
a
f(a)
(a

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Dérivabilité à
gauche,
dérivabilité à
droite
Théorème :
Remarque :
11
1
xa
f(x) f
f est une fonction définie sur un intervalle du type a,b .
f est si, et seulement si, ; L .
L s'appelle le nombre dérivé de f à droite en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une demi tangente àd
(a)
dérivable à droite en a lim L
o
a
r
x
1
d
d
d
ite
au point A a,f(a) d'équation cartésienne
est le de cette demi tange
y f '(a) x a f(a)
f '(a) coefficient directeur
vecteur directeur u f'
nte.
Son est .
f est une fonction définie sur un intervalle du type
(a)
dér
b,a .
f es ivt
2
2
2
xa
g
g
si, et seulement si, ; L .
L s'appelle le nombre dérivé de f à gauche en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une demi tangente à gauche
au point A a,f(a) d'équatio
f(x) f(a)
able à gauche en a lim L
x
n cartésie
a
y f '(a) x a f( )
'(
nne a
f
1
g
est le de cette demi tangena) coefficient directeur
vecteu
te.
Son rd est .irecteur u f '(a)
f est dérivable en a si, et seulement si f est dérivable à droite en a, f
est dérivable à gauche en a et fd’(a)= fg’(a).
Si fd’(a)
fg’(a) alors, f n’est pas dérivable en a et le point A(a,f(a))
est un point anguleux. Dans ce cas les deux demi tangentes ne sont
pas portées par la même droite.
Cas particuliers :
Si f est dérivable en a et f’(a)=0, alors la courbe de f admet en
A(a,f(a)) une tangente horizontale.
f
xa
f
xa
à droite
verticale ha
f(x) f(a)
Si lim alors (C ) admet au point A(a,f(a))
xa
une demi tangente dirigée vers le .
f(x) f(a)
Si lim alors (C ) admet au point A(a,f(a))
xa
une demi tan
u
g
t
à droite
verticaente dirigéele ver
f
xa
f
xa
s le .
f(x) f(a)
Si lim alors (C ) admet au point A(a,f(a))
xa
une demi tangente dirigée vers le .
f(x) f(a)
Si lim alor
à gauche
à gauchs (C ) admet au point A(a,f(a))
x
bas
verticale bas
vertical
a
une demi tangen
e
tee diri gée vers le haut.
Mêmes signes + par +
ou - par - donne
une demi tangente
verticale dirigée vers
le haut. Si les signes
sont contraires, ça
donne une demi
tangente verticale
dirigée vers le bas.

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Point d’inflexion :
f deux fois dérivable
f" s'annule en changeant de sign
Soit une fonction sur un ouvert I de et a I.
Si alore en a I(a,f(a))
est un point d'inflex
s le point
pour la courbeif.on de
Interprétation
graphique :
En A(a,f(a)) la courbe
de f traverse sa
tangente.
Rappelons
quelques
résultats
importants :
f(x) f’(x)
a 0
ax+b a
1x
1nn
x n.x 
2
11
xx
1
2
xx
cosx sinx
sinx cosx
2
1tanx tan x
La dérivée de est
.f .f'
f+g f' + g'
f.g f'.g f.g'
2
1f'
ff
2
f f'.g f.g'
gg
2
f'
ff
1nn
f n.f'.f 
g f f' g' f
Voir vidéo « cours
dérivabilité »
Théorème de Rolle :
C(f
)

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Théorème de
Rolle, théorème
des
accroissements
finis
0
continue sur a,b dérivable sur a,b
f a f b
Si f est une fonction et
telle que cal aor ,bs il existe te f'l que .(c)  
Théorème des accroissements finis :
continue sur a,b dérivable suSi f est une fonction et
alors il existe tel q
r a,b
f(b) f(a)
c a,b f'(c)
ba
ue .
Théorème (des inégalités des accroissements finis) :
Si f est une fonction et
et si pour tout x a,b il existe deux réels m et M telsq
continue sur a,b dérivable sur a,b
m f'x) M m.(b a) f(b) f(a) M
ue
a.(b a)lors .      
Corollaire :
f est sur I.
Si on a: pour tou
dérivable
f'(x) k f(b) f(a) k. bt x I, alors a
a et b I
.
.
Interprétation
graphique :
La courbe de f admet
dans ce cas au moins
une tangente
horizontale entre
a et b.
Interprétation
graphique :
La courbe de f admet
au moins une tangente
parallèle à la droite
(AB).
Variations d’une
fonction
Théorème :
a
a
c
a
b
a
A
a
B
a
C(f)
a
f(b)
f(a)
c
a
b
C(f
)

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Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si la dérivée de f est strictement positive sur I, alors f est strictement
croissante sur I.
Si la dérivée de f est strictement négative sur I, alors f est strictement
décroissante sur I.
Théorème :
Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.Si f est
strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur ]a,b[ alors f est
strictement croissante sur [a,b](resp. strictement décroissante sur [a,b]).