Cours 1 - TuniSchool

Dérivabilité
Titre
Définition :
Cours
Description
Remarques
 f est une fonction définie sur un ouvert I de et a  I.
f(x)  f(a)
 f est dérivable en a si, et seulement si, lim
 L; L  .
x a
x a
L s'appelle le nombre dérivé de f en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une tangente au point A  a,f(a) 
d'équation cartésienne y  f'(a)  x  a  f(a)
En physique chimie
 df 
f'(a)   
 dx x a
la pente de la tangente
au point x=a.
f'(a) est le coefficient directeur ( ou la pente) de la tangente.
1 
Son vecteur directeur est u 
.
 f'(a) 
Interprétation
graphique :
 Si f est continue sur I et sa courbe ne présente aucun changement
brusque dans son allure alors f est dérivable en tout point a de I.
C(f)
f(a)
(a
C(f)
a
f est dérivable en tout réel a
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f n’est pas dérivable en a
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Dérivabilité
Dérivabilité à
gauche,
dérivabilité à
droite
Cours
 f est une fonction définie sur un intervalle du type a,b .
 f est dérivable à droite en a si, et seulement si, lim
x a
f(x)  f(a)
 L1 ; L1  .
x a
L1 s'appelle le nombre dérivé de f à droite en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une demi tangente à droite
au point A  a,f(a)  d'équation cartésienne y  fd '(a)  x  a  f(a)
fd '(a) est le coefficient directeur de cette demi tangente.
1

Son vecteur directeur est u 
.
f
'
(a)
d 
 f est une fonction définie sur un intervalle du type b,a.
f est dérivable à gauche en a si, et seulement si, lim
x a
f(x)  f(a)
 L2 ; L2  .
x a
L 2 s'appelle le nombre dérivé de f à gauche en a.
Dans ce cas la courbe de f admet une demi tangente à gauche
au point A  a,f(a)  d'équation cartésienne y  fg '(a)  x  a  f(a)
fg '(a) est le coefficient directeur de cette demi tangente.
 1

Son vecteur directeur est u 
.
 fg '(a) 
Théorème :
Remarque :
Cas particuliers :
f est dérivable en a si, et seulement si f est dérivable à droite en a, f
est dérivable à gauche en a et fd’(a)= fg’(a).
Si fd’(a)  fg’(a) alors, f n’est pas dérivable en a et le point A(a,f(a))
est un point anguleux. Dans ce cas les deux demi tangentes ne sont
pas portées par la même droite.
 Si f est dérivable en a et f’(a)=0, alors la courbe de f admet en
A(a,f(a)) une tangente horizontale.
f(x)  f(a)
   alors (C f ) admet à droite au point A(a,f(a))
x a
x a
une demi tangente verticale dirigée vers le haut.
f(x)  f(a)
 Si lim
   alors (C f ) admet à droite au point A(a,f(a))
x a
x a
une demi tan gente verticale dirigée vers le bas.
f(x)  f(a)
 Si lim
   alors (C f ) admet à gauche au point A(a,f(a))
x a 
x a
une demi tangente verticale dirigée vers le bas.
f(x)  f(a)
 Si lim
   alors (C f ) admet à gauche au point A(a,f(a))
x a 
x a
une demi tangente verticale dirigée vers le haut.
 Si lim
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Mêmes signes + par +
ou - par - donne
une demi tangente
verticale dirigée vers
le haut. Si les signes
sont contraires, ça
donne une demi
tangente verticale
dirigée vers le bas.
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Dérivabilité
Point d’inflexion :
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un ouvert I de et a  I.
Si f" s'annule en changeant de signe en a alors le point I(a,f(a))
est un point d'inflexion pour la courbe de f.

Rappelons
quelques
résultats
importants :
Cours
C(f
)
f(x)
f’(x)
a
0
ax+b
a
x
1
xn
1
x
cosx
n.xn1
1
 2
x
1
2 x
 sinx
sinx
cosx
tanx
1  tan2 x
x
La dérivée de
Interprétation
graphique :
En A(a,f(a)) la courbe
de f traverse sa
tangente.
est
.f
f+g
f.g
1
f
f
g
.f'
f' + g'
f'.g  f.g'
f'
f2
f'.g  f.g'
g2
f'
2 f
n.f'.fn1
f' g' f
f
fn
g f
Voir vidéo « cours
dérivabilité »
 Théorème de Rolle :
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Dérivabilité
Cours
Si f est une fonction continue sur a,b et dérivable sur a,b
Théorème de
Rolle, théorème
des
accroissements
finis
telle que f  a  f b  alors il existe c a,b tel que f'(c)  0.
C(f
)
ac
Interprétation
graphique :
La courbe de f admet
dans ce cas au moins
une tangente
horizontale entre
a et b.
b
 Théorème des accroissements finis :
Si f est une fonction continue sur a,b et dérivable sur a,b
alors il existe c a,b tel que
f(a)
A
f(b)  f(a)
 f'(c).
ba
C(f)
a
a
f(b)
B
a
a c
a
a
Interprétation
graphique :
La courbe de f admet
au moins une tangente
parallèle à la droite
(AB).
b
a
 Théorème (des inégalités des accroissements finis) :
Si f est une fonction continue sur a,b  et dérivable sur a,b
et si pour tout x  a,b il existe deux réels m et M tels que
m  f'x)  M alors m.(b  a)  f(b)  f(a)  M.(b  a).
 Corollaire :
 f est dérivable sur I.

Si on a:  f'(x)  k pour tout x  I, alors f(b)  f(a)  k. b  a .
 a et b  I.

Variations d’une
fonction
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Théorème :
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Dérivabilité
Cours
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si la dérivée de f est strictement positive sur I, alors f est strictement
croissante sur I.
Si la dérivée de f est strictement négative sur I, alors f est strictement
décroissante sur I.
Théorème :
Si f est une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.Si f est
strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur ]a,b[ alors f est
strictement croissante sur [a,b](resp. strictement décroissante sur [a,b]).
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