1 Nombre dérivé 2 Tangente à une courbe en un point

Chapitre 04: Nombre dérivé et tangente
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Nombre dérivé
Tangente à une courbe en un point
Dérivées des fonctions usuelles
NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
1 Nombre dérivé
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I .
Soit h un réel non nul tel que a+ h∈I
1.1 Taux d'accroissement
➢ Le taux d'accroissement de f entre a et a+ h est le quotient :
f ( a+ h ) − f ( a )
h
Exemple
Le taux d'accroissement de la fonction f définie par f ( x ) =x 2 entre 1 et 1+ h est :
f ( 1+ h ) − f ( 1 ) ( 1+ h ) 2−12 1+ 2 h+ h2−1 2 h+ h2
=
=
=
=2+ h
h
h
h
h
1.2 Définition
➢ On dit que la fonction f est dérivable en a lorsque le taux d'accroissement devient aussi
proche que l'on veut d'un nombre réel L lorsque h tend vers 0 .
➢ Le nombre L est alors appelé le nombre dérivé de la fonction f en a et on le note :
f ( a+ h ) − f ( a )
L= f ' ( a )=lim
h→ 0
h
Exemple
Le nombre dérivé de la fonction f définie par f ( x ) =x 2 en 1 est :
f ( 1+ h ) − f ( 1 )
f ' ( 1 )=lim
=lim 2+ h=2
h→0
h
h→0
1.3 Interprétation graphique
Le taux de variation entre a et a+ h peut être
vu comme le coefficient directeur de la droite
passant par les points A ( a ; f ( a ) ) et
B ( a +h ; f ( a+ h ) )
Lorsque h tend vers 0 , le point B se rapproche
du point A et les coefficients directeurs des
sécantes ( AB ) tendent vers L qui est le
coefficient directeur de la tangente Δ à la courbe
au point A.
2
B
f(a + h)
∆
f(a)
O
A
a
a+h
Tangente à une courbe en un point
Soit C f la courbe représentant une fonction f dérivable en a.
➢ La tangente à C f au point A ( a ; f ( a ) ) a pour coefficient directeur L= f ' ( a )
➢ La tangente à C f au point A ( a ; f ( a ) ) a pour équation : y= f ' ( a )( x −a )+ f ( a )
Exemple
Soit la fonction f définie par f ( x ) =x 2 et C f sa courbe représentative dans un repère
(O ; ⃗i , ⃗j ) orthonormal.
La tangente Δ à C f au point d'abscisse 1 est :
Le coefficient directeur est f ' ( 1 )=2 (voir précédemment) donc Δ a pour début d'équation :
y=2 x+ b
Δ passe par le point d'abscisse 1 qui appartient à C f , donc par le point A (1 ; 12 ) donc
A ( 1 ;1 )
1=2×1+ b⇔ b=1−2 ⇔b=−1 . Donc Δ a pour équation : y=2 x−1
3
Fonctions dérivées
3.1
Définition
➢ Si une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en toute valeur x de I ,
alors on dit que f est dérivable sur I .
➢ La fonction qui, à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x s'appelle fonction
dérivée de f et se note f '
3.2
Fonctions dérivées des fonctions usuelles
➢ Les fonctions de références (sauf la fonction valeur absolue) sont dérivables sur tout
intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
➢ Les fonctions polynômes sont dérivables sur ℝ .
Sauf rares exceptions (la fonction racine carrée par exemple), toutes les fonctions que
vous aurez à étudier sont dérivables sur leur ensemble de définition.
Df'
f ( x)
f ' ( x)
k constante
0
ℝ
x
1
ℝ
ax+ b
a
ℝ
x2
2x
ℝ
x
n
n∈ℕ
nx
1
x
−
1
n∈ℕ
xn
√x
3.3
−
n−1
ℝ
1
x2
]−∞; 0 [ ∪] 0 ;+ ∞ [
n
]−∞; 0 [ ∪] 0 ;+ ∞ [
x n+ 1
1
] 0 ;+ ∞ [
2√x
Propriétés
➢ Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I
Soit k un réel.
➢ Le produit de la fonction u par un réel k est une fonction dérivable sur I .
( k u )' =k u'
➢ La somme de ces deux fonctions est dérivable sur I .
( u+v ) ' =u' +v'
➢ Le produit de ces deux fonctions est dérivable sur I
( u×v )' =u' ×v+ u×v'
➢ Le quotient de ces deux fonctions est dérivable sur I
u
u' ×v−u×v'
'=
v
v2
Exemple
La fonction u définie sur ℝ par u ( x )= x 2 est dérivable sur ℝ et u' ( x )=2 x
( )
La fonction f définie sur ℝ par f ( x ) =8 x 2=( 8 u ) ( x ) est dérivable sur ℝ
et f ' ( x ) =8u' ( x ) =8×2 x=16 x
4
v' ( x ) =5 x et la fonction g définie sur ℝ par g ( x ) =( u+ v )( x ) est dérivable sur ℝ
et g' ( x ) =u' ( x ) + v' ( x )=2 x +5 x 4 .
La fonction définie sur ℝ− {0 } par h ( x )=
h' ( x )=
2 x+ 1
est dérivables sur ℝ− {0 } et
x
2× x−( 2 x+ 1 ) ×1 2 x−2 x−1
1
=
=− 2
2
2
x
x
x