1 Nombre dérivé 2 Tangente à une courbe en un point

Chapitre 0 4 : Nombre dérivé et tangente
Nombre dérivé
Tangente à une courbe en un point
Dérivées des fonctions usuelles
NOMBRE DERIVE ET TANGENTE
1 Nombre dérivé
Soit
f
une fonction définie sur un intervalle
I
et
a
un réel de
I
.
Soit
h
un réel non nul tel que
a+h∈I
1.1 Taux d'accroissement
➢Le taux d'accroissement de
f
entre
a
et
a+h
est le quotient :
f ( a+h ) −f ( a )
h
Exemple
Le taux d'accroissement de la fonction
f
définie par
f
(
x
)
=x2
entre
1
et
1+h
est :
f ( 1+h ) −f ( 1 )
h=
( 1+h )
2−12
h=1+2h+h2−1 h=2h+h2 h=2+h
1.2 Définition
➢On dit que la fonction
f
est dérivable en
a
lorsque le taux d'accroissement devient aussi
proche que l'on veut d'un nombre réel
L
lorsque
h
tend vers
0
.
➢Le nombre
L
est alors appelé le nombre dérivé de la fonction
f
en
a
et on le note :
L=f ' ( a ) =lim
h→0
f ( a+h ) −f ( a )
h
Exemple
Le nombre dérivé de la fonction
f
définie par
f
(
x
)
=x2
en
1
est :
f ' ( 1 ) =lim
h→0
f ( 1+h ) −f ( 1 )
h=lim h→0
2+h=2
1.3 Interprétation graphique
Le taux de variation entre
a
et
a+h
peut être
vu comme le coefficient directeur de la droite
passant par les points
A ( a;f ( a ) )
et
B ( a+h;f ( a+h ) )
Lorsque
h
tend vers
0
, le point
B
se rapproche
du point
A
et les coefficients directeurs des
sécantes
( AB )
tendent vers
L
qui est le
coefficient directeur de la tangente
Δ
à la courbe
au point A.
2 Tangente à une courbe en un point
Soit
Cf
la courbe représentant une fonction
f
dérivable en a.
➢La tangente à
Cf
au point
A ( a;f ( a ) )
a pour coefficient directeur
L=f ' ( a )
➢La tangente à
Cf
au point
A ( a;f ( a ) )
a pour équation :
y=f ' ( a )( x−a ) +f ( a )
Exemple
Soit la fonction
f
définie par
f
(
x
)
=x2
et
Cf
sa courbe représentative dans un repère
(
O;⃗ i,⃗ j
)
orthonormal.
La tangente
Δ
à
Cf
au point d'abscisse
1
est :
Le coefficient directeur est
f ' ( 1 ) =2
(voir précédemment) donc
Δ
a pour début d'équation :
y=2x+b
Δ
passe par le point d'abscisse
1
qui appartient à
Cf
, donc par le point
A
(
1 ; 12
)
donc
A ( 1 ;1 )
1=2×1+b⇔b=1−2⇔b=−1
. Donc
Δ
a pour équation :
y=2x−1
f(a)
a
f(a + h)
Oa + h
A
B
∆

3 Fonctions dérivées
3.1 Définition
➢Si une fonction
f
définie sur un intervalle
I
est dérivable en toute valeur
x
de
I
,
alors on dit que
f
est dérivable sur
I
.
➢La fonction qui, à tout
x
de I, associe le nombre dérivé de f en x s'appelle fonction
dérivée de
f
et se note
f '
3.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles
➢Les fonctions de références (sauf la fonction valeur absolue) sont dérivables sur tout
intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
➢Les fonctions polynômes sont dérivables sur
ℝ
.
Sauf rares exceptions (la fonction racine carrée par exemple), toutes les fonctions que
vous aurez à étudier sont dérivables sur leur ensemble de définition.
f ( x )
f ' ( x )
Df '
k
constante 0
ℝ
x
1
ℝ
ax+b
a
ℝ
x2
2x
ℝ
xn
n∈ℕ
n x n−1
ℝ
1
x
−1
x2
] −∞; 0 [ ∪ ] 0 ;+ ∞ [
1
xn
n∈ℕ
−n
xn+1
] −∞; 0 [ ∪ ] 0 ;+ ∞ [
√
x
1
2
√
x
] 0 ;+ ∞ [
3.3 Propriétés
➢Soit
u
et
v
deux fonctions dérivables sur un intervalle
I
Soit
k
un réel.
➢Le produit de la fonction
u
par un réel
k
est une fonction dérivable sur
I
.
( k u ) '=k u'
➢La somme de ces deux fonctions est dérivable sur
I
.
( u+v ) '=u' +v'
➢Le produit de ces deux fonctions est dérivable sur
I
( u×v ) '=u' ×v+u×v'
➢Le quotient de ces deux fonctions est dérivable sur
I
(
u
v
)
'=u'×v−u×v'
v2
Exemple
La fonction
u
définie sur
ℝ
par
u
(
x
)
=x2
est dérivable sur
ℝ
et
u' ( x ) =2x
La fonction
f
définie sur
ℝ
par
f
(
x
)
=8x2=
(
8u
) (
x
)
est dérivable sur
ℝ
et
f ' ( x ) =8u' ( x ) =8×2x=16 x
v'
(
x
)
=5x4
et la fonction
g
définie sur
ℝ
par
g ( x ) = ( u+v )( x )
est dérivable sur
ℝ
et
g'
(
x
)
=u'
(
x
)
+v'
(
x
)
=2x+5x4
.
La fonction définie sur
ℝ− { 0 }
par
h
(
x
)
=2x+1
x
est dérivables sur
ℝ− { 0 }
et
h' ( x ) =2×x−
( 2x+1 ) ×1
x2=2x−2x−1 x2=− 1 x2