X Maths 2 PC 2002 — Corrigé

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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/21
X Maths 2 PC 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par
Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet traite essentiellement d’algèbre linéaire, même s’il utilise parfois quel-
ques résultats d’analyse pour arriver à ses fins. On cherche à construire, à partir
d’une matrice de départ A, des matrices semblables à Aet ayant des diagonales
« sympathiques ».
•La première partie introduit deux lemmes très faciles et utiles par la suite.
La deuxième partie est beaucoup plus technique (pour ainsi dire, on a plus
tendance à bidouiller qu’à réfléchir). La troisième partie est plus intéressante :
on y établit qu’une matrice est semblable dans le groupe orthogonal à une
matrice dont les éléments diagonaux sont égaux. L’intérêt majeur de cette partie
est qu’elle manie à la fois des notions d’analyse et de l’algèbre linéaire pure.
•La quatrième partie établit un résultat similaire à celui de la seconde, mais plus
puissant. Enfin, la dernière partie cherche à utiliser tous les résultats précédents
pour montrer qu’une application de Mn(R)dans Mn(R)qui laisse stable le
groupe linéaire est un automorphisme. Cependant, ce résultat est faux si nest
pair. Par conséquent, si les trois premières questions de cette partie peuvent être
résolues, en revanche le résultat de la toute dernière nécessite des hypothèses
supplémentaires. On peut néanmoins chercher à la résoudre dans le cas où n
est impair.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/21
Indications
Première partie
1.a Raisonner par contraposition en supposant que tout vecteur est vecteur propre.
Montrer que la valeur propre associée pour chacun est indépendante du choix du
vecteur.
1.b Considérer l’endomorphisme fde Rndont Aest la matrice dans la base
canonique ξet chercher la matrice de fdans la base obtenue en permutant
les vecteurs eiet ejde ξ.
Deuxième partie
2.a Utiliser la question 1.a pour trouver deux vecteurs X1et X2tels que (X1,X2)
soit libre et AX1= X2.
2.b Utiliser la question précédente pour montrer que Aest semblable à une matrice
de la forme :
0∗ · · · ∗
1
0 B
.
.
.
0
et appliquer l’hypothèse de récurrence à B.
3.a Commencer par chercher un vecteur non propre pour Aselon la technique de la
question 1.a.
3.b Remarquer que l’image du second vecteur de la base canonique est nulle
et utiliser les vecteurs de la question précédente.
4 Commencer par montrer qu’il existe Bsemblable à Atelle qu’un de ses éléments
diagonaux soit égal à la trace de A. Pour cela, vérifier que l’on peut appliquer
le résultat de la question 2.a à une matrice non scalaire et l’appliquer alors à un
élément de la forme A−λI.
5 Décomposer Asous la forme A = λI + B et appliquer la question précédente à B
en choisissant convenablement λ.
Troisième partie
6 Poser A = a b
c d et O=cos θsin θ −sin θcos θ
Calculer ensuite tO AO et en déduire un choix convenable de θ.
7.a Utiliser la question 1.b pour trouver une matrice Borthosemblable à Aet telle
que f(B) = |b1,1−b2,2|.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/21
7.b Décomposer Asous la forme :
A = 
a1,1a1,2
a2,1a2,2B
C D
Appliquer ensuite la question précédente à la matrice 2×2ainsi introduite.
7.c Remarquer que s’il n’existe qu’un couple (i, j)tel que f(A) = |ai,i −aj,j |alors
en appliquant la question précédente, la matrice A′obtenue vérifie :
f(A′)< f(A)
En déduire qu’en appliquant plusieurs fois cette transformation, on finit par
avoir une matrice satisfaisante.
8.a Utiliser le fait que l’image d’un compact par une application continue est com-
pact.
8.b Montrer que la fonction fest continue.
8.c Introduire l’élément minimal Apour fsur EAet appliquer la question 7.c en
supposant f(A) >0.
9 Essayer d’établir une récurrence d’ordre 2sur les coefficients diagonaux des
matrices (Am)m∈N.
Quatrième partie
10.b Pour montrer que R(A) est un intervalle, utiliser le fait que l’application suivante
est continue :
Rn−→ Rn
X7−→ (A X |X)
10.c Utiliser le fait que R(A) est un intervalle (l’hypothèse Asymétrique est inutile).
11 À partir d’un vecteur tel que (A X |X) = t, construire une base orthonormée
dont Xest le premier vecteur. Exprimer dans cette nouvelle base l’endomor-
phisme dont Aest la matrice dans la base canonique, puis utiliser le résultat de
la question 8.c sur une matrice extraite de taille n−1.
Cinquième partie
12.a Chercher Yde forme triangulaire supérieure.
13.a Utiliser la propriété :
λ∈Sp(A) ⇐⇒ A−λInon inversible
13.b Ce que l’on nous demande de montrer est faux dans le cas général. On peut
cependant le démontrer si nest impair. Raisonner alors par l’absurde en prenant
Anon nulle dans le noyau de Tet utiliser la question 12.b.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/21
Première partie
1.a C’est un résultat très classique d’algèbre linéaire. On raisonne par contraposi-
tion en supposant que tout vecteur non nul de Rnest vecteur propre pour A.
Soit (e1,...,en)la base canonique de Rn. En vertu de notre hypothèse de départ,
chaque élément de cette base est vecteur propre pour A. Il existe donc des réels
(λi)i∈[[ 1 ; n]] tels que :
∀i∈[[ 1 ; n]] A ei=λiei
Considérons maintenant le vecteur e1+e2(non nul car e1et e2ne sont pas
colinéaires). D’après notre première hypothèse, c’est également un vecteur propre
pour A. Il existe donc un autre réel λ1,2tel que :
A (e1+e2) = λ1,2(e1+e2)
Mais par linéarité, on a également :
A (e1+e2) = A e1+ A e2=λ1e1+λ2e2
soit λ1,2(e1+e2) = λ1e1+λ2e2
Les vecteurs e1et e2sont des éléments d’une base donc (e1, e2)est une famille
libre. L’égalité précédente entraîne alors
λ1,2=λ1=λ2
De la même manière, on montre que pour tous indices i, j, on a λi=λj.
Par conséquent, il existe un réel λtel que :
∀i∈[[ 1 ; n]] A ei=λ ei
Par suite, on a bien A = λIet Aest scalaire.
Par contraposée, on en déduit donc que si Aest une matrice non scalaire, alors il
existe un vecteur non nul qui n’est pas un vecteur propre pour A.
1.b Soient Aun élément de Mn(R)et iet jdeux éléments de {1,...,n}(on peut
supposer i < j). Soient ξ= (e1,...,en)la base canonique de Rnet fl’endomorphisme
dont Aest la matrice dans la base ξ.
On considère la nouvelle base de Rndonnée par la famille ξ′= (e′1,...,e′n)telle
que :
∀k6=i, j e′i=eje′j=eie′k=ek
On a dans cette nouvelle base :
f(e′i) = f(ej) = a1,j e1+···+ai,j ei+···+aj,j ej+···+an,j en
=a1,j e′1+···+ai,j e′j+···+aj,j e′i+···+an,j e′n
(1)
De même, en ce qui concerne l’image de e′j, on a :
f(e′j) = f(ei) = a1,ie1+···+ai,iei+···+aj,iej+···+an,ien
=a1,ie′1+···+ai,ie′j+···+aj,ie′i+···+an,j e′n
(2)
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