X Maths 2 PC 2002 — Corrigé

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X Maths 2 PC 2002 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par
Jean Starynkévitch (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet traite essentiellement d’algèbre linéaire, même s’il utilise parfois quelques résultats d’analyse pour arriver à ses fins. On cherche à construire, à partir
d’une matrice de départ A, des matrices semblables à A et ayant des diagonales
« sympathiques ».
• La première partie introduit deux lemmes très faciles et utiles par la suite.
La deuxième partie est beaucoup plus technique (pour ainsi dire, on a plus
tendance à bidouiller qu’à réfléchir). La troisième partie est plus intéressante :
on y établit qu’une matrice est semblable dans le groupe orthogonal à une
matrice dont les éléments diagonaux sont égaux. L’intérêt majeur de cette partie
est qu’elle manie à la fois des notions d’analyse et de l’algèbre linéaire pure.
• La quatrième partie établit un résultat similaire à celui de la seconde, mais plus
puissant. Enfin, la dernière partie cherche à utiliser tous les résultats précédents
pour montrer qu’une application de Mn (R) dans Mn (R) qui laisse stable le
groupe linéaire est un automorphisme. Cependant, ce résultat est faux si n est
pair. Par conséquent, si les trois premières questions de cette partie peuvent être
résolues, en revanche le résultat de la toute dernière nécessite des hypothèses
supplémentaires. On peut néanmoins chercher à la résoudre dans le cas où n
est impair.
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Indications
Première partie
1.a Raisonner par contraposition en supposant que tout vecteur est vecteur propre.
Montrer que la valeur propre associée pour chacun est indépendante du choix du
vecteur.
1.b Considérer l’endomorphisme f de Rn dont A est la matrice dans la base
canonique ξ et chercher la matrice de f dans la base obtenue en permutant
les vecteurs ei et ej de ξ.
Deuxième partie
2.a Utiliser la question 1.a pour trouver deux vecteurs X1 et X2 tels que (X1 , X2 )
soit libre et AX1 = X2 .
2.b Utiliser la question précédente pour montrer que A est semblable à une matrice
de la forme :


0 ∗ ··· ∗
 1



 0

B
 ..

.
0
et appliquer l’hypothèse de récurrence à B.
3.a Commencer par chercher un vecteur non propre pour A selon la technique de la
question 1.a.
3.b Remarquer que l’image du second vecteur de la base canonique est nulle
et utiliser les vecteurs de la question précédente.
4 Commencer par montrer qu’il existe B semblable à A telle qu’un de ses éléments
diagonaux soit égal à la trace de A. Pour cela, vérifier que l’on peut appliquer
le résultat de la question 2.a à une matrice non scalaire et l’appliquer alors à un
élément de la forme A − λ I.
5 Décomposer A sous la forme A = λI + B et appliquer la question précédente à B
en choisissant convenablement λ.
Troisième partie
6 Poser
A=
a
c
b
d
et
O=
cos θ
− sin θ
sin θ
cos θ
Calculer ensuite t O AO et en déduire un choix convenable de θ.
7.a Utiliser la question 1.b pour trouver une matrice B orthosemblable à A et telle
que f (B) = |b1,1 − b2,2 |.
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7.b Décomposer A sous la forme :

a1,1
 a2,1

A=
a1,2
a2,2
C
B
D




Appliquer ensuite la question précédente à la matrice 2 × 2 ainsi introduite.
7.c Remarquer que s’il n’existe qu’un couple (i, j) tel que f (A) = |ai,i − aj,j | alors
en appliquant la question précédente, la matrice A′ obtenue vérifie :
f (A′ ) < f (A)
En déduire qu’en appliquant plusieurs fois cette transformation, on finit par
avoir une matrice satisfaisante.
8.a Utiliser le fait que l’image d’un compact par une application continue est compact.
8.b Montrer que la fonction f est continue.
8.c Introduire l’élément minimal A pour f sur EA et appliquer la question 7.c en
supposant f (A) > 0.
9 Essayer d’établir une récurrence d’ordre 2 sur les coefficients diagonaux des
matrices (Am )m∈N .
Quatrième partie
10.b Pour montrer que R(A) est un intervalle, utiliser le fait que l’application suivante
est continue :
Rn −→ Rn
X 7−→ (A X | X)
10.c Utiliser le fait que R(A) est un intervalle (l’hypothèse A symétrique est inutile).
11 À partir d’un vecteur tel que (A X | X) = t, construire une base orthonormée
dont X est le premier vecteur. Exprimer dans cette nouvelle base l’endomorphisme dont A est la matrice dans la base canonique, puis utiliser le résultat de
la question 8.c sur une matrice extraite de taille n − 1.
Cinquième partie
12.a Chercher Y de forme triangulaire supérieure.
13.a Utiliser la propriété :
λ ∈ Sp(A) ⇐⇒ A − λI non inversible
13.b Ce que l’on nous demande de montrer est faux dans le cas général. On peut
cependant le démontrer si n est impair. Raisonner alors par l’absurde en prenant
A non nulle dans le noyau de T et utiliser la question 12.b.
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Première partie
1.a C’est un résultat très classique d’algèbre linéaire. On raisonne par contraposition en supposant que tout vecteur non nul de Rn est vecteur propre pour A.
Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn . En vertu de notre hypothèse de départ,
chaque élément de cette base est vecteur propre pour A. Il existe donc des réels
(λi )i∈[[ 1 ; n ]] tels que :
∀i ∈ [[ 1 ; n ]]
A ei = λi ei
Considérons maintenant le vecteur e1 + e2 (non nul car e1 et e2 ne sont pas
colinéaires). D’après notre première hypothèse, c’est également un vecteur propre
pour A. Il existe donc un autre réel λ1,2 tel que :
A (e1 + e2 ) = λ1,2 (e1 + e2 )
Mais par linéarité, on a également :
A (e1 + e2 ) = A e1 + A e2 = λ1 e1 + λ2 e2
soit
λ1,2 (e1 + e2 ) = λ1 e1 + λ2 e2
Les vecteurs e1 et e2 sont des éléments d’une base donc (e1 , e2 ) est une famille
libre. L’égalité précédente entraîne alors
λ1,2 = λ1 = λ2
De la même manière, on montre que pour tous indices i, j, on a λi = λj .
Par conséquent, il existe un réel λ tel que :
∀i ∈ [[ 1 ; n ]]
A ei = λ ei
Par suite, on a bien A = λ I et A est scalaire.
Par contraposée, on en déduit donc que si A est une matrice non scalaire, alors il
existe un vecteur non nul qui n’est pas un vecteur propre pour A.
1.b Soient A un élément de Mn (R) et i et j deux éléments de {1, . . . , n} (on peut
supposer i < j). Soient ξ = (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et f l’endomorphisme
dont A est la matrice dans la base ξ.
On considère la nouvelle base de Rn donnée par la famille ξ ′ = (e′ 1 , . . . , e′ n ) telle
que :
∀k 6= i, j
e′ i = ej
e′ j = ei
e′ k = ek
On a dans cette nouvelle base :
f (e′ i ) = f (ej ) = a1,j e1 + · · · + ai,j ei + · · · + aj,j ej + · · · + an,j en
(1)
= a1,j e′ 1 + · · · + ai,j e′ j + · · · + aj,j e′ i + · · · + an,j e′ n
De même, en ce qui concerne l’image de e′ j , on a :
f (e′ j ) = f (ei ) = a1,i e1 + · · · + ai,i ei + · · · + aj,i ej + · · · + an,i en
= a1,i e′ 1 + · · · + ai,i e′ j + · · · + aj,i e′ i + · · · + an,j e′ n
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