Le formalisme de la Mécanique Quantique

LectureNotes
Le formalisme de la Mécanique Quantique
Rappel: une solution de l’éq de Schrödinger est un état
possible d’un système
Une superposition de solutions différentes est aussi une
solution
Supposons que je peux trouver un ensemble de solutions
n (x) avec lesquelles je peux écrire tous les solutions
possibles comme une superposition:
(x) =
N
X
cn
n (x)
1
L’ensemble des
constituent “une base” pour tout les
états possibles.
n (x)
1
LectureNotes
Comparaison avec un espace de vecteurs
Par exemple, en 2 dimensions:
La base est les vecteurs x̂ et ŷ . Tout vecteur dans l’espace
2D peut être écrit comme superposition de x̂ et ŷ .
Il y a une analogie!!!
Pourquoi ne pas représenter tous les solutions de l’éq de
Schrödinger (tous les états) comme des vecteurs?
Si je trouve un ensemble de solutions avec lequelle je peux
exprimer tous les états possibles:
-> j’ai une base avec laquelle je peux définir un
“espace des états”
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LectureNotes
L’espace de Hilbert
- Un espace de fonctions d’ondes (états)
- L’idée est d’exprimer les composantes de la MQ comme
composantes d’un espace vectoriel
- Après, les operations mathématiques vont suivre les règles
de l’algèbre
- L’objectif de l’idée (introduit par Paul Dirac) est de rendre
les calculs moins difficiles
Les éléments de la MQ:
- Fonctions d’ondes
-> décrits comme des vecteurs abstraits
- Opérateurs : un opérateur transforme un vecteur en un
autre vecteur (transformation linéaire)
-> décrits comme des matrices
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LectureNotes
Notation de Dirac
- Vecteur d’état = “ket” = |↵i
0
B
B
|↵i = B
B
@
a1
a2
a3
...
aN
1
C
C
C
C
A
* Ce vecteur correspond à une fonction d'onde (un état
d'un système physique)
- Le conjugué du vecteur ket = “bra” = h↵|
⇤
⇤
h↵| = (|↵i) = (↵1⇤ , ↵2⇤ , ↵3⇤ , . . . , ↵N
)
* Correspond à la conjuguée d'une fonction d'onde
Alors, les composantes de ces vecteurs sont
les différentes fonctions d’onde qui permettent de représenter
le système physique
- L’ensemble de ces fonctions d’onde = L’espace d’Hilbert,
de dimension N : HN
Les vecteurs d’états se trouvent dans HN
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LectureNotes
- Transformation (avec un opérateur) : T |↵i = | i
0
10
1 0
t11 t12 t13 . . . t1N
a1
b1
B t21 t22 . . .
C B a 2 C B b2
B
CB
C B
B t31 . . . . . .
C B a 3 C = B b3
B
CB
C B
@ ...
A
@
...
... A @ ...
tN 1 . . .
tN N
aN
bN
- Produit scalaire :
h↵| i = a⇤1 b1 + a⇤2 b2 + a⇤3 b3 + · · · + a⇤N bN
Exemple:
- La fonction f(x) -> |f i
- La fonction g(x) -> |gi
hf |gi =
N
X
fi⇤ gi
=
i=1
Z
1
f (x)⇤ g(x) dx
1
en plus:
- (hf |gi)⇤ Z= hg|f i
- hf |f i =
1
1
|f (x)|2 dx
- Si hf |f i = 1 -> f (x) est “normalisé”
- Si hg|f i = 0 -> g(x) et f (x) sont “orthogonaux”
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1
C
C
C
C
A
LectureNotes
- Si, pour un ensemble de fonctions, fi (x) :
hfn |fm i = nm ( = 1 si n = m ; = 0 si n ≠ m )
-> l’ensemble {fi (x)} est “orthonormé”
- Si toutes les fonctions dans l’espace de Hilbert peuvent
être exprimées comme une combinaison linéaire d’un
ensemble {fi (x)} :
N
X
g(x) =
ci fi (x)
i=1
cet ensemble est “complet”
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LectureNotes
Eléments d’une matrice
Supposons que Q est la transforme linéaire
(= l’opérateur, décrit comme une matrice) qui transforme le
vecteur |↵i en | i :
| i = Q |↵i
Dans une base particulière, {|'i i} , |↵i et | i peuvent être
décomposés:
|↵i =
N
X
i=1
ai |'i i et | i =
-> | i =
N
X
i=1
bi |'i i =
N
X
i=1
N
X
i=1
bi |'i i
ai Q|'i i
Prendre le produit scalaire avec le vecteur bra h'k |
)
N
X
i=1
bi h'k |'i i =
N
X
bi
ki
=
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
bk =
N
X
ai h'k |Q|'i i
ai h'k |Q|'i i
ai Qki
i=1
où Qki ⌘ h'k |Q|'i i sont “les éléments de matrice” de Q
Donc, une matrice s’écrit bien comme une matrice N ⇥ N
dans l’espace de Hilbert, dans une base spécifiée, {|'i i}
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