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UNIVERSITÉ MONTPELLIER
Département de Mathématiques
Année 20162017
Algèbre Linéaire et Analyse 2
HLMA203
Série 1 & Série 3
◦
Recueil d'Exercices n 4
La plupart de ces exercices sont tirés du site internet exo7. On peut donc les retrouver (ainsi
que des indications supplémentaires et une correction) à l'adresse suivante : http://exo7.emath.fr.
Exercice 1.
Soit


3 1 −3
A = −1 1 1 
1 1 −1
On note B = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 . Soit f l'endomorphisme de R3 dont la
matrice dans la base B est égale à A. On pose f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, −1, 0), f3 = (1, 0, 1) et
C = (f1 , f2 , f3 ).
1. Montrer que C est une base de R3 .
2. Écrire la matrice de f dans cette base.
3. Déterminer une base de ker f et de Imf
Exercice 2.
(e1 , e2 , e3 ) est
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice par rapport à la base canonique


15 −11 5
A =  20 −15 8  .
8 −7 6
Montrer que les vecteurs
e01 = 2e1 + 3e2 + e3 ,
e02 = 3e1 + 4e2 + e3 ,
e03 = e1 + 2e2 + 2e3
forment une base de R3 et calculer la matrice de f par rapport à cette base.
Exercice 3.
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
7 11
−8 4

0
1

1
1

1
0

a

b
0




1 0 2
3 4 5
5 6 7
1 0 6
3 4 15
5 6 21
1
0
1
1
1
0
0
1

0
1

1
0
0
1
0
a
b
3
0
a
0
0
0
3
0
a
0

1
1

2
1

2
3
1
1
1
1
0
1

2
3

6
7


 0
1 0 −1 
2 3 5  1
2
4 1 3
3


a b c
c a b
b c a

0
1
0 0 1
0  a1

0
0
  0 −4 3 0

 a1


3 −3 0 0 −3 −2

 ..
0  0
1 7 0
0 .
a1
a
4
0 0 7
1
1

1
2
3
0
2
3
0
1

0
b

a
a

a2 · · · an
.
..
. .. 
a1


..
..
.
. a2 
· · · a1 a1
a
a

c
0
a
a
0
c
b
0
a
a

3
0

1
2
Exercice 4. En utilisant la notion de déterminant refaire l'exercice 2 de la feuille précédente, à
savoir déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les vecteurs (1, 0, t), (1, 1, t), (t, 0, 1) forment
une base de R3 .
2
Exercice 5.
1. Calculer l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs ~u =
3
1
et ~v =
.
4
2. Calculer
parallélépipède
construit sur les vecteurs
 levolume
du 
 
1
0
1
~u =  2 , ~v =  1  et w
~ =  1 .
0
3
1
3. Montrer que le volume d'un parallélépipède dont les sommets sont des points de R3 à
coecients entiers est un nombre entier.
On se place dans l'espace vectoriel E = R3 . Soit (v1 , v2 ) une famille libre de
vecteurs de E .
1. Rappeler pourquoi F = Vect{v1 , v2 } est un plan.
2. Si w = (x, y, z) est un vecteur de E , en utilisant la notion de déterminant, donner une
condition nécessaire et susante pour que w ∈ F .
3. En déduire une méthode pour calculer l'équation du plan F .
4. Application : donner l'équation du plan engendré par les vecteurs (1, 1, 0) et (2, 0, −1).
Exercice 6.
Soit M = (mij ) une matrice carrée de taille n. On construit à partir de M la
matrice N = (nij ) de la manière suivante : pour tout couple d'indices i, j , on appelle Mij la
matrice obtenue à partir de M en rayant la ligne i et la colonne j ; alors nij = (−1)i+j det(Mji ).
Démontrer que M N = N M = det(M )I , où I désigne la matrice identité. En déduire une
méthode d'inversion de matrices passant par le calcul de déterminants, et l'appliquer à la
matrice


3 −2 0 −1
 0 2
2
1 

M =
 1 −2 −3 −2  .
0 1
2
1
Exercice 7.
Exercice 8.
Soit a un réel. On note ∆n le
a
0
∆n = ...
0
n − 1
déterminant suivant :
0 · · · 0 n − 1
.
.. ..
. ..
a
. ..
..
.
. 0
2 ··· 0 a
1 ··· 2 1
a 1. Calculer ∆n en fonction de ∆n−1 .
2. Démontrer que : ∀n ≥ 2
n
∆n = a − a
n−2
n−1
X
i2 .
i=1
Exercice 9.
Montrer que
1
t1 t21
1
t2 t22
... ... ...
1 tn t2n
. . . t1n−1
. . . t2n−1
... ...
. . . tnn−1
2
Y
=
(tj − ti )
1≤i<j≤n