Polytech`Lille — GIS 3 — Calcul Numérique — Feuille de TD

Polytech’Lille — GIS 3 — Calcul Numérique — Feuille de TD numéro 5
On considère les calculs suivants, menés en MAPLE :
> with (LinearAlgebra):
> A := <<24,0,-22> | <-34,7,44> | <11,0,-9>>;
[ 24
-34
[
A := [ 0
7
[
[-22
44
> X, Lambda := JordanForm (A, output=[Q,J]);
[-1
2
2]
[
]
X, Lambda := [ 0
1
0],
[
]
[ 2
0
-2]
11]
]
0]
]
-9]
[2
[
[0
[
[0
0
7
0
0]
]
0]
]
13]
Question 1. Quelles sont les valeurs propres de A ? Donner un vecteur propre associé à
chaque valeur propre. Donner une expression du polynôme caractéristique de A.
Question 2. Supposons qu’on applique la méthode de la puissance sur un vecteur v aléatoire. Quel résultat obtient-on ? Qu’obtient-on si on applique la formule du quotient de
Rayleigh sur ce résultat ?
Question 3. On voudrait calculer un vecteur propre pour chacune des valeurs propres
de A, en utilisant la méthode de la puissance inverse. Comment peut-on procéder ?
Question 4. Soit A = Q R une factorisation Q R d’une matrice carrée A et B = R Q.
Que peut-on dire des valeurs propres de A et de B ? Justifier. Dans quel algorithme ce
raisonnement est-il utile ?
Question 5. Voici un algorithme révolutionnaire pour calculer les valeurs propres d’une
matrice symétrique A. On commence par calculer une première matrice de réflexion Q1 ,
comme dans l’algorithme de Householder. On obtient :



x x x

A=
 x x x  ,
x x x

x x x

Q1 A = 
 0 x x .
0 x x
Comme la matrice A est symétrique, on a aussi :


x 0 0


T
A Q1 =  x x x  .
x x x
1
L’idée consiste alors à calculer B = Q1 A QT1 dans l’espoir d’obtenir :


x 0 0


 0 x x  .
0 x x
En répétant ce procédé une deuxième fois (comme dans l’algorithme de Householder), on
devrait alors obtenir une matrice diagonale C.
— Montrer que A, B et C ont mêmes valeurs propres.
— Montrer que cette idée ne peut pas marcher, parce qu’elle contredit un résultat dû à
Abel et Galois.
— Calculatoirement, qu’est-ce qui fait que l’idée ne marche pas ?
Question 6. Programmer la méthode de la puissance en FORTRAN. Des BLAS utiles
sont DGEMV et DNRM2.
Question 7. Programmer la méthode de la puissance inverse en FORTRAN. Pour les résolutions de systèmes linéaires, utiliser la factorisation L U ou la factorisation Q R implantées
dans LAPACK.
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