DM16_sujet

PHYSIQUE
MP1 Lycée Janson de Sailly
Optique : interféromètre de Michelson
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est constitué de deux parties
indépendantes
DM n°16
Formulaire : On rappelle
quele
: 18 mars 2016
Pour
3. L’interféromètre, réglé en configuration lame d’air, est éclairé
par une source quasi-monochromatique ponctuelle située à
distance finie.
p–q
p+q
sin x
sin c ( x ) = ----------- , sin p + sin q = 2 sin ⎛ -------------⎞ cos ⎛ -------------⎞ ,
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
x
Formulaire :
1
cos p cos q = --- ( cos ( p + q ) + cos ( p – q ) ) .
sin(x)
2
sinc(x) =
x
p+q
p−q
sin(p) + sin(q) = 2 sin
cos
2
2
a) Comment réaliser concrètement une source (quasi) ponctuelle à distance finie ?
b) On observe les franges d’interférences sur un écran parallèle
à (M2 ). Où peut-on placer l’écran ? Décrire en quelques mots
la figure d’interférence.
c) On remplace la source ponctuelle par une source monochromatique étendue autour du point S. Comment évolue la figure d’interférence ? Où peut-on voir des franges ? Comment
les nomme-t-on ?
4. La source étant toujours étendue, on place l’écran dans le plan
focal image d’une lentille convergente (L) de distance focale f 0 ,
dont l’axe optique est perpendiculaire à (M2 ).
Partie I - Principe de la tomographie par cohérence
2 cos(p) cos(q)optique
= cos(p +(OCT)
q) + cos(p − q)
La tomographie par cohérence optique (OCT) est un procédé interférométrique
de réaliser des images
en coupe de tissus
biologiques
1non destructif
Sourcepermettant
monochromatique
à distance
finie
avec une résolution de l'ordre du micromètre. On se propose d'en illustrer le
principe.
z
La base de l'appareil est un interféromètre
de Michelson. On raisonnera pour simplifier sur l'interféromètre « théorique », uniz0
( M2)
quement constitué de deux miroirs ( M 1 ) et
( M′ 1 )
z
( M 2 ) et d'une lame séparatrice ( SP )
idéale, c'est-à-dire infiniment mince et
( SP )
( M1)
séparant un faisceau lumineux incident en
deux faisceaux d'égale intensité. L'appareil
est réglé en lame d'air, c'est-à-dire que
S
x
( M 2 ) et l'image ( M′ 1 ) du miroir ( M 1 ) par la
séparatrice sont parallèles. Les positions
de ( M′ 1 ) et ( M 2 ) sont repérées sur l'axe Oz source
Figure 1
(voir figure 1). ( M′ 1 ) est en z , ( M 2 ) en z 0 .
La lumière se propage dans l'air dont
l'indice sera pris égal à 1 .
1. Quelle(s) condition(s) doivent satisfaire deux ondes lumineuses
pour produire des interférences ? Comment réaliser expérimentalement ces conditions ?
Concours Centrale-Supélec 2008
2. Qu’est-ce qu’une onde monochromatique ? Donner deux
exemples de dispositifs permettant, au laboratoire, de produire
une onde quasi-monochromatique.
a) Tracer la marche des rayons lumineux issus d’un point S1
et interférant en un point M de l’écran. En considérant un
second point S2 de la source, justifier le fait que les franges
restent bien contrastées dans le plan focal image de (L).
b) Donner l’expression de la différence de marche au point M
en fonction de r = F 0 M (F 0 foyer image de (L) ), de f 0 , et de
l’épaisseur e de la lame d’air. On supposera que les rayons
lumineux font des angles faibles avec l’axe optique.
2
1/12
1
Source ponctuelle à l’infini
On revient à une source ponctuelle S, placée dans le plan focal
objet d’une lentille convergente (L1 ) de distance focale image f10 . Le
faisceau émerge en faisant un angle i avec l’axe optique de (L1 ), qui
coïncide avec l’axe Ox de l’interféromètre.
MP1 Lycée Janson de Sailly
Optique : interféromètre de Michelson
(L1 )
(L1 )
z
S•
D
•
x
O1
•
i
(E)
f10
•
M
3
Source polychromatique
1. En considérant le point S ∗ symétrique de S par rapport à (SP ),
dessiner le faisceau de rayons parallèles semblant venir de S ∗ ,
ainsi que les deux faisceaux réfléchis respectivement sur (M10 )
et (M2 ).
L’interféromètre est utilisé dans la configuration de la question 1.4.,
éclairé par une source étendue.
2. On observe la figure d’interférence en un point M sur un écran
(E) placé perpendiculairement à Oz (dans l’espace z < 0). Tracer les deux rayons venant se superposer en M et montrer que
leur différence de marche vaut :
2. Lorsqu’on translate (M1 ), on fait les observations suivantes :
• avec une source de lumière blanche, l’éclairement sur l’écran
cesse de varier et devient uniforme après un déplacement de
quelques micromètres ;
• avec une lampe à vapeur de mercure équipée d’un filtre interférentiel sélectionnant la raie verte, le même phénomène
se produit pour un déplacement de quelques millimètres ;
• avec un laser hélium-néon, le phénomène n’est pas observé.
1. Comment nomme-t-on la position particulière z = z0 ? Que voiton alors sur l’écran ?
δ(M ) = 2e cos(i)
3. Quelle est l’expression de l’intensité I(M ) ?
4. On place une lentille convergente (L) en sortie de l’interféromètre, avec son axe optique orthogonal à Oz. Qu’observe-t-on
dans son plan focal image ?
Interpréter qualitativement ces observations. On introduira
la notion de longueur de cohérence que l’on définira.
3. On place au foyer image F 0 de (L), un photodétecteur quasi
ponctuel. La source primaire est une source monochromatique
de longueur d’onde λ0 . On appelle nombre d’onde la quantité
1
ν
σ=
(σ = est donc proportionnel à la fréquence ν de la raλ0
c
diation lumineuse). Donner l’expression de l’intensité lumineuse
I(z) reçue par le photodétecteur, en fonction de z , z0 , λ0 et de
On admettra que, lorsqu’elle n’est pas nulle, l’intensité dans
le plan focal image a la même expression que celle trouvée à la
question 3.
5. La source S est remplacée par une source étendue D, toujours
placée dans le plan focal objet de L1 . Expliquer ce qu’on observe
dans le plan focal image de (L).
2
⎧ G ( σ ) = G 0 si σ ∈ [ σ 0 – ∆σ ⁄ 2, σ 0 + ∆σ ⁄ 2 ]
.
⎨
⎩ G ( σ ) = 0 sinon
On exprimera le résultat sous la forme
: I ( z ) =: C
[ 1 + V cos ( 4πσ 0 (de
z – Michelson
z 0 ) ) ] où C est
Optique
interféromètre
une constante et V le facteur de visibilité (fonction de z – z 0 ), grandeurs que l'on
déterminera.
MP1 Lycée Janson de Sailly
l’intensité lumineuse I0 qu’il recevrait si l’on masquait le miroir
(M2 ).
I(z)/C
2
4. La source primaire n’est plus monochromatique. L’intensité que
produirait l’interféromètre en F 0 dans l’intervalle de nombres
d’onde [σ, σ + dσ] si l’on masquait l’un des deux miroirs est
G(σ)dσ, où G(σ) est une fonction proportionnelle à l’intensité
spectrale de la source.
a) Chaque intervalle spectral élémentaire [σ, σ + dσ] pouvant
être assimilé à une source monochromatique, que dire de
deux intervalles spectraux différents ? En déduire en la justifiant, sous forme d’une intégrale sur σ, la nouvelle expression
de l’intensité I(z) en fonction de z , z0 et G(σ).
b) Calculer explicitement I(z) dans le cas d’une source à profil
spectral rectangulaire de largeur ∆σ :
(
G(σ) =
G0
0
si σ ∈ [σ0 −
sinon
∆σ
2 , σ0
+
1
4.990
4.995
5.000
5.005
5.010
z(mm)
Figure 2
Concours Centrale-Supélec 2008
∆σ
2 ]
On exprimera le résultat sous la forme :
I(z) = C [ 1 + V cos (4πσ0 (z − z0 )) ]
où C est une constante et V le facteur de visibilité (fonction
de z − z0 ), grandeurs que l’on déterminera.
c) La figure ci-contre donne le graphe de I(z). Déterminer z0 ,
σ0 et ∆σ en précisant la méthode utilisée.
d) Cette modélisation permet-elle d’expliquer les observations
expérimentales de la question 3.2) ? Donner les ordres de
grandeur des largeurs spectrales ∆λ des différentes sources.
Préciser la relation qui lie ∆λ à la longueur de cohérence.
3
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