DM16_sujet

MP1 Lycée Janson de Sailly Optique : interféromètre de Michelson
DM n°16
Pour le 18 mars 2016
Formulaire :
sinc(x) = sin(x)
xsin(p) + sin(q) = 2 sin p+q 2cos p−q 2
2 cos(p) cos(q) = cos(p+q) + cos(p−q)
1 Source monochromatique à distance finie
PHYSIQUE
Concours Centrale-Supélec 2008 1/12
PHYSIQUE Filière PSI
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est constitué de deux parties indépendantes
Formulaire : On rappelle que :
, ,
.
Partie I - Principe de la tomographie par cohérence
optique (OCT)
La tomographie par cohérence optique (OCT) est un procédé interférométrique
non destructif permettant de réaliser des images en coupe de tissus biologiques
avec une résolution de l'ordre du micromètre. On se propose d'en illustrer le
principe.
La base de l'appareil est un interféromètre
de Michelson. On raisonnera pour simpli-
fier sur l'interféromètre « théorique », uni-
quement constitué de deux miroirs et
et d'une lame séparatrice
idéale, c'est-à-dire infiniment mince et
séparant un faisceau lumineux incident en
deux faisceaux d'égale intensité. L'appareil
est réglé en lame d'air, c'est-à-dire que
et l'image du miroir par la
séparatrice sont parallèles. Les positions
de et sont repérées sur l'axe
(voir figure 1). est en , en .
La lumière se propage dans l'air dont
l'indice sera pris égal à .
cx()sin xsin
x
-----------
=pqsin+sin 2 pq–
2
-------------
⎝⎠
⎛⎞pq+
2
-------------
⎝⎠
⎛⎞
cossin=
pqcoscos 1
2
---
=pq+()cos pq–()cos+()
z0
M2 ()
M′1
()
SP() M1
()
S
source
Figure 1
z
M1 ()
M2
() SP()
M2
() M′1 () M1 ()
M′1
() M2 () Oz
M′1
() zM
2
() z0
1
!
x
z
1. Quelle(s) condition(s) doivent satisfaire deux ondes lumineuses
pour produire des interférences ? Comment réaliser expérimen-
talement ces conditions ?
2. Qu’est-ce qu’une onde monochromatique ? Donner deux
exemples de dispositifs permettant, au laboratoire, de produire
une onde quasi-monochromatique.
3. L’interféromètre, réglé en configuration lame d’air, est éclairé
par une source quasi-monochromatique ponctuelle située à
distance finie.
a) Comment réaliser concrètement une source (quasi) ponc-
tuelle à distance finie ?
b) On observe les franges d’interférences sur un écran parallèle
à (M2). Où peut-on placer l’écran ? Décrire en quelques mots
la figure d’interférence.
c) On remplace la source ponctuelle par une source monochro-
matique étendue autour du point S. Comment évolue la fi-
gure d’interférence ? Où peut-on voir des franges ? Comment
les nomme-t-on ?
4. La source étant toujours étendue, on place l’écran dans le plan
focal image d’une lentille convergente (L) de distance focale f0,
dont l’axe optique est perpendiculaire à (M2).
a) Tracer la marche des rayons lumineux issus d’un point S1
et interférant en un point Mde l’écran. En considérant un
second point S2de la source, justifier le fait que les franges
restent bien contrastées dans le plan focal image de (L).
b) Donner l’expression de la différence de marche au point M
en fonction de r=F0M(F0foyer image de (L) ), de f0, et de
l’épaisseur ede la lame d’air. On supposera que les rayons
lumineux font des angles faibles avec l’axe optique.
2 Source ponctuelle à l’infini
On revient à une source ponctuelle S, placée dans le plan focal
objet d’une lentille convergente (L1) de distance focale image f0
1. Le
faisceau émerge en faisant un angle iavec l’axe optique de (L1), qui
coïncide avec l’axe Ox de l’interféromètre.
1

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x
•
•
S
(L1)
O1
i
f0
1M
•
z
(E)
1. En considérant le point S∗symétrique de Spar rapport à (SP ),
dessiner le faisceau de rayons parallèles semblant venir de S∗,
ainsi que les deux faisceaux réfléchis respectivement sur (M0
1)
et (M2).
2. On observe la figure d’interférence en un point Msur un écran
(E) placé perpendiculairement à Oz (dans l’espace z < 0). Tra-
cer les deux rayons venant se superposer en Met montrer que
leur différence de marche vaut :
δ(M)=2ecos(i)
3. Quelle est l’expression de l’intensité I(M)?
4. On place une lentille convergente (L) en sortie de l’interféro-
mètre, avec son axe optique orthogonal à Oz. Qu’observe-t-on
dans son plan focal image ?
On admettra que, lorsqu’elle n’est pas nulle, l’intensité dans
le plan focal image a la même expression que celle trouvée à la
question 3.
5. La source Sest remplacée par une source étendue D, toujours
placée dans le plan focal objet de L1. Expliquer ce qu’on observe
dans le plan focal image de (L).
D
•
(L1)
3 Source polychromatique
L’interféromètre est utilisé dans la configuration de la question 1.4.,
éclairé par une source étendue.
1. Comment nomme-t-on la position particulière z=z0? Que voit-
on alors sur l’écran ?
2. Lorsqu’on translate (M1), on fait les observations suivantes :
•avec une source de lumière blanche, l’éclairement sur l’écran
cesse de varier et devient uniforme après un déplacement de
quelques micromètres ;
•avec une lampe à vapeur de mercure équipée d’un filtre in-
terférentiel sélectionnant la raie verte, le même phénomène
se produit pour un déplacement de quelques millimètres ;
•avec un laser hélium-néon, le phénomène n’est pas observé.
Interpréter qualitativement ces observations. On introduira
la notion de longueur de cohérence que l’on définira.
3. On place au foyer image F0de (L), un photodétecteur quasi
ponctuel. La source primaire est une source monochromatique
de longueur d’onde λ0. On appelle nombre d’onde la quantité
σ=1
λ0
(σ=ν
cest donc proportionnel à la fréquence νde la ra-
diation lumineuse). Donner l’expression de l’intensité lumineuse
I(z)reçue par le photodétecteur, en fonction de z,z0,λ0et de
2

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l’intensité lumineuse I0qu’il recevrait si l’on masquait le miroir
(M2).
4. La source primaire n’est plus monochromatique. L’intensité que
produirait l’interféromètre en F0dans l’intervalle de nombres
d’onde [σ, σ +dσ]si l’on masquait l’un des deux miroirs est
G(σ)dσ, où G(σ)est une fonction proportionnelle à l’intensité
spectrale de la source.
a) Chaque intervalle spectral élémentaire [σ, σ +dσ]pouvant
être assimilé à une source monochromatique, que dire de
deux intervalles spectraux différents ? En déduire en la justi-
fiant, sous forme d’une intégrale sur σ, la nouvelle expression
de l’intensité I(z)en fonction de z,z0et G(σ).
b) Calculer explicitement I(z)dans le cas d’une source à profil
spectral rectangulaire de largeur ∆σ:
G(σ) = (G0si σ∈[σ0−∆σ
2, σ0+∆σ 2]
0sinon
On exprimera le résultat sous la forme :
I(z) = C[ 1 + Vcos (4πσ0(z−z0)) ]
où Cest une constante et Vle facteur de visibilité (fonction
de z−z0), grandeurs que l’on déterminera.
c) La figure ci-contre donne le graphe de I(z). Déterminer z0,
σ0et ∆σen précisant la méthode utilisée.
d) Cette modélisation permet-elle d’expliquer les observations
expérimentales de la question 3.2) ? Donner les ordres de
grandeur des largeurs spectrales ∆λdes différentes sources.
Préciser la relation qui lie ∆λà la longueur de cohérence.
PHYSIQUE Filière PSI
Concours Centrale-Supélec 2008 3/12
•avec une source de lumière blanche, l'éclairement sur l'écran cesse de varier
et devient uniforme après un déplacement de quelques micromètres ;
•avec une lampe à vapeur de mercure équipée d'un filtre interférentiel sélec-
tionnant la raie verte, le même phénomène se produit pour un déplacement
de quelques millimètres ;
• avec un laser hélium-néon, le phénomène n'est pas observé.
Interpréter qualitativement ces observations. On introduira les notions de con-
traste et de longueur de cohérence que l'on définira.
I.B.3) On place au foyer image de , un photodétecteur quasi ponctuel.
La source primaire est une source monochromatique de longueur . On appelle
nombre d'onde la quantité ( est donc proportionnel à la fré-
quence de la radiation lumineuse). Donner l'expression de l'intensité lumi-
neuse reçue par le photodétecteur, en fonction de , , et de l'intensité
lumineuse , qu'il recevrait si l'on masquait le miroir .
I.B.4) La source primaire n'est plus monochromatique. L'intensité que pro-
duirait l'interféromètre en dans l'intervalle de nombres d'onde si
l'on masquait l'un des deux miroirs est , où est une fonction propor-
tionnelle à l'intensité spectrale de la source.
a) Chaque intervalle spectral élémentaire pouvant être assimilé à
une source monochromatique, que dire de deux intervalles spectraux
différents ? En déduire en la justifiant, sous forme d'une intégrale sur , la nou-
velle expression de l'intensité en fonction de , et .
b) Calculer explicitement dans le cas d'une source à profil spectral rectan-
gulaire de largeur :
.
On exprimera le résultat sous la forme : où est
une constante et le facteur de visibilité (fonction de ), grandeurs que l'on
déterminera.
F′L()
λ0
σ1λ⁄=σνc⁄=
ν
Iz() zz
0σ0
I0M2 ()
F′σσdσ+,[]
Gσ()dσGσ()
σσ dσ+,[]
σ
Iz() z
z0
Gσ()
Iz()
∆σ
Gσ() G0 si σσ
0∆σ 2⁄–σ0∆σ 2⁄+,[]∈=
Gσ() 0 sinon =
⎩
⎨
⎧
Iz() C1V4πσ0zz
0
–()()cos+[]=C
Vzz
0
–
Figure 2
5.000 5.005 5.0104.9954.990 z(mm)
I(z)/C
1
2
3