Algèbre et géométrie II Série 2

Cours du Prof. Dr. Anand Dessai
Algèbre et géométrie II
Rafael Guglielmetti, Nicolas Weisskopf
Série 2
À rendre avant jeudi 6 mars, 17h00
Exercice 0 (Métrique discrète)
Soit X un ensemble. On dénit l'application suivante :
d : X × X −→ R,
(
1 si x 6= y
(x, y) 7−→
0 sinon.
Montrez que d dénit une distance sur X . Quelles sont les boules ouvertes pour cette métrique ?
Exercice 1 (Convergence uniforme)
Soit X un espace topologique et Y un espace métrique. Une suite d'applications fn : X → Y
converge uniformément vers une application f : X → Y si, pour tout ε > 0 il existe un
Nε ∈ N, tel que pour tout x ∈ X et tout n ≥ Nε on a d(fn (x), f (x)) < ε.
Montrez que si les fn sont continues, alors f est continue.
Exercice 2 (Une autre caractérisation de la continuité)
Soient X et Y deux espaces métriques et f : X → Y une application. Montrez que les assertions
suivantes sont équivalentes :
(i) f est continue (pour la topologie métrique).
(ii) Pour tout x ∈ X et toute suite (xn )n∈N ⊂ X telle que limn→∞ xn = x, implique
limn→∞ f (xn ) = f (x).
Indication : dans cet exercice, il faut utiliser le lemme suivant :
U
est ouvert si et seulement si
∀u ∈ U, ∃ε > 0
tel que
Bε (u) ⊆ U.
Commencez par montrer (i) implique (ii). Pour montrer que (ii) implique (i) supposez par l'absurde qu'il existe
V ⊂Y
ouvert tel que
construire une suite
f −1 (V )
(xn )
n'est pas ouvert. Pour arriver à une contradiction, utilisez le lemme ci-dessus pour
telle que
que ceci contredit le fait que
V
(xn ) 6⊂ f −1 (V ),
mais
limn→∞ xn = x
pour un certain
x ∈ f −1 (V ).
Montrez
est ouvert.
Dénition 1 (Norme Lp )
Soit p ∈ [1, ∞[ et soit
Cc0 (R, R) := {f : R → R | f une fonction continue à support borné}.
On appelle support de f l'adhérence de l'ensemble des points en lesquels la fonction f ne
s'annule pas.
On dénit une norme sur l'espace vectoriel Cc0 (R, R) de la manière suivante : si f ∈ Cc0 (R, R),
alors
Z ∞
1/p
|f (x)|p dx
kf kp =
.
−∞
Exercice 3 (Normes L2 et L1 )
Soit V = Cc0 (R, R) munit des normes L1 et L2 . Trouvez une suite de fonctions (fn )n∈N ⊂ V
qui converge vers la fonction nulle en norme L2 mais pas en norme L1 . En déduire que les deux
normes ne sont pas équivalentes.
Exercice 4 (Distance à un ensemble)
Soit X un espace métrique munit d'une métrique d et A ⊂ X . Pour tout x ∈ X on dénit
d(x, A) := inf{d(x, a) | a ∈ A}.
Montrez que :
(a) l'application X → R, x 7→ d(x, A) est continue ;
(b) d(x, A) = 0 si et seulement si x ∈ A.
L'adhérence de A, notée A, est dénie comme étant l'intersection de tous les ensembles fermés
contenant A, i.e.
\
A = {F | A ⊆ F, F est fermé}.