MATHF302 Probabilités II. Fiche d`exercices 3.

MATHF302 Probabilités II. Fiche d'exercices 3.
Soit F la fct de répartition d'une v.a. X et F ← (u) := inf{x : F (x) ≥ u}. Montrez
que X ∼ F ← (U ), où U ∼ U (0,1) (loi uniforme).
Ex.1
Soit (Ci,j )i,j≥1 une suite doublement indexée de π -systèmes indépendants les uns des
autres. Montrez que les σ -algèbres An := σ(Cn,k ,k ≥ 1) sont indépendantes les unes des
autres pour tout n ≥ 1.
Ex.2
Soit (Cn )n≥1 une suite de π -systèmes indépendants les uns des autres. Montrez que
A⊥
⊥ σ(C1 , . . . , Cn ) pour tous n ≥ 1 implique que A ⊥
⊥ σ(C1 ,C2 , . . .).
Ex.3
Ex.4
Montrez que les propositions suivantes sont équivalentes.
• Xn −→ X ;
p.s.
• ∀ε > 0,
P (∃n0 , t.q. ∀n ≥ n0 , |Xn − X| < ε) = 1;
• ∀ε > 0,
P (|Xn − X| ≥ ε i.o.) = 0;
• ∀ε > 0,
limn→∞ P (maxk≥n |Xk − X| ≥ ε) = 0
Ex.5
Montrez que Xn −→ X implique qu'il existe (nk )k≥1 telle que Xnk −→ X .
Ex.6
On dit que (Xn ) est uniformement integrable si
p.s.
P
lim sup E|Xn |I{|Xn | > α} = 0.
α→∞
n
Supposons que (Xn )n≥1 soit une suite uniformement integrable avec Xn −→ X . Alors:
p.s.
1. supn E|Xn | < ∞;
2. X est integrable; [lemme de Fatou]
3. ∀α > 0 on a que Xnα → X α avec Z α = ZI{|Z| ≤ α};
4. EXn → EX ;
L1
5. Xn −→ X .
L1
Soit supn E|Xn |1+ < ∞ pour > 0. Alors Xn −→ X . Utilisiez l'inégalité de
Minkowski: pour 1 ≤ p, q ≤ ∞ tel que 1/p + 1/q = 1 et X ∈ Lp , Y ∈ Lq on a que
E|XY | ≤ (E|X|p )1/p (E|X|q )1/q .
Ex.7
Ex.8
Soit (Xn ) une suite i.i.d. telle que EXnp < ∞, p > 0. Montrez que Xn n−1/p −→ 0.
p.s.
Soit (Xn ) ∼ B1,1/2 . On s'intéresse aux nombres de zéros consécutifs à partir rang n
donnée. On dénit


1 si Xn = 0, Xn+1 = 1
Ln := 2 si Xn = 0, Xn+1 = 0, Xn+2 = 1


etc.
Ex.9
a) Montrez que
iid
P∞
n=1
2−rn < ∞ =⇒ P (Ln ≥ rn , i.o.) = 0.
b) En déduire que P (Ln ≥ (1 + ε) log2 (n) i.o.) = 0, ∀ε > 0.
c) En déduire que P
S
{L
≥
(1
+
ε)
log
(n),
i.o.
}
= 0.
n
2
ε∈Q∩]0,∞[
1
d) En déduire que lim supn→∞ logL2n(n) ≤ 1, presque sûrement.
e∗ ) Montrer que
lim sup
n→∞
Ln
= 1,
log2 (n)
presque sûrement.
Soit (Xn )n≥1 une suite de v.a. i.i.d. telles que EX1 = µ et Var(X1 ) = σ 2 < ∞. On
P
dénit X̄n = n1 ni=1 Xi . On a vue en cours que X̄n2 → µ découle facilement de lemme de
Borel-Cantelli.
Ex.10
p.s.
Pour démontrer la loi des grands nombres forte sous la condition de deux moments, montrez
par l'inégalité de Kolmogorov (exercice 6, che 2) que pour tout ε > 0
P
max
n2 <k≤(n+1)2
|X̄n2 − X̄k | > ε i.o.
p.s.
Conclure que X̄n → µ.
2
= 0.