cours 1

1
Limites de fonctions
1.1
1.1.1
limites en l’in…ni
Limites in…nies en l’in…ni
Dé…nition 1 Soit f une fonction.
On dit que f (x) a pour limite +1 lorsque x tend vers +1 ( respectivement 1) si et seulement si :
pour tout nombre A(A 2 R), tous les nombres f (x) sont plus grands dès que x est assez grand (respectivement
x assez grand)
Dé…nition 2 Énoncés analogues pour une limite égale à
1
Exemple 3 des limites à connaitre
lim
x!+1
p
x = +1
lim xn = +1 pout tout n 2 N
x!+1
lim xn =
x! 1
1 pour tout n 2 N impair
lim xn = +1 pour tout n 2 N pair
x! 1
1.1.2
Limite …nie en l’in…ni
Dé…nition 4 limite `
Soit ` un nombre réel. On dit que la fonction f a pour limite ` quand x tend vers +1 (respectivement
1)si et seulement si : pour tout intervalle ouvert I centré sur `, les nombres f (x) sont tous dans I dès que
x est assez grand (respectivement x assez grand). On note :
lim f (x) = `
x!+1
( Respectivement :
lim f (x) = `)
x! 1
Dé…nition 5 On dira alors que la droite d’équation y = ` est asymptote horizontale à la courbe représentative de f (en +1 ou 1 selon le cas.)
Propriété 6 Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle I de la forme ]A; +1[. S’il existe deux réels a et b
tels que f (x) = ax + b + g(x) avec lim g(x) = 0 alors la droite
d’équation y = ax + b est une asymptote
x!+1
oblique à la courbe de f au voisinage de +1.
2x + x2 2
x
c
Trouvons trois nombres a, b et c tels que f (x) = ax + b + .
x
2
La courbe de f : x 7! x 2 +
x
Exemple 7 Soit f (x) =
y
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
5
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
admet une asymptote oblique d’équation y =
2 au voisinage de +1 et au voisinage de
x
1.
Exercise 1 Soit f la fonction dé…nie par :
f (x) =
x3 + 2x2 x + 3
x2 + 1
1. Déterminer trois réels a, b et c tels que f (x) = ax + b +
2. Calculer la limite de f (x)
(ax + b) en +1 puis en
c
.
x2 + 1
1.
3. En déduire que la courbe représentative de f , C admet une asymptote oblique
4. Étudier les positions relatives de C et de
1.2
en
1 et en +1.
.
limite d’une fonction lorsque la variable tend vers un réel a
f est une fonction dé…nie sur un intervalle I contenant a ou dont a est une borne. (f peut ne pas être dé…nie
en a)
1.2.1
limite …nie en a
Dé…nition 8 Limite ` en a
On dit que f tend vers ` quand x tend vers a si et seulement si :
pour tout intervalle ouvert J contenant `, tous les nombres f (x) appartiennent à J dès que x 2 I est assez
proche de a
1.2.2
Limite in…nie en a
Dé…nition 9 On dit que f tend vers +1 (respectivement 1) lorsque x tend vers a si et seulement si :
pour tout intervalle J =] ; +1[ ( respectivement ] 1; [) 2 R, tous les nombres f (x) appartiennent à J
dès que x 2 I est assez proche de a.
Dé…nition 10 Lorsque l’on a :
lim f (x) =
x!a
1
on dira que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe de f .
Exemple 11 L’hyperbole d’équation y =
1
admet une asymptote d’équation x =
x+2
y
2.
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
1.3
Opérations sur les limites
Dans tous les tableaux qui suivent, désigne un réel, ou +1, ou 1 et ` et `0 désignent deux réels.
Les fonctions f et g considérées sont dé…nies au voisinage de .
Les limites de ces fonctions sont déterminées en .
1.3.1
limite d’une somme
Si f a pour limite
Si g a pour limite
f + g a pour limite
1.3.2
`
`0
`+`
`
+1
+1
0
`
1
1
+1
+1
+1
1
1
1
`<0
+1
1
`<0
1
+1
+1
1
?
limite d’un produit
Si f a pour limite
Si g a pour limite
f g a pour limite
`
`0
``0
`>0
+1
+1
`>0
1
1
+1
+1
+1
+1
1
1
1
1
+1
0
1
?
Exemple 12 Déterminer la 9
limite en 1 de la fonction f dé…nie sur R par : f (x) = x3
limx! 1 x1 2 = 2 =
limx! 1 f (x) = +1.
;
3
limx! 1 x = 1
1
x
2 .
limite en l’in…ni d’une fonction polynôme
Déterminer limx!+1 2x4 4x2 + 16
Méthode 13 La limite en
1 d’un polynôme est égale à la limite en
1 de son monôme de plus haut degré.
1.3.3
limite d’un quotient
cas où le dénominateur a une limite non nulle
Si f a pour limite
`
`
+1
+1
0
0
Si g a pour limite ` 6= 0
1 ` >0 `0<0
f
`
0
+1
1
a pour limite
g
`0
cas où le dénominateur a une limite nulle
f a pour limite ` > 0 ` > 0 ` < 0 ` < 0
g a pour limite
0+
0
0+
0
f
a pour limite +1
1
1
+1
g
1
2
Soit f la fonction dé…nie sur R n
1
` >0
1
` <0
0
1
1
0
1
+1
?
0
0
?
par : f (x) =
x2
.
4x 2
1
limx! 1 x2 =
et limx! 1 4x 2 = 0.
2
2
4
1
Si x > , alors 4x 2 > 0 et dans ce cas, limx! 12 f (x) = +1
2
x> 12
1
Si x < , alors 4x 2 < 0 et dans ce cas, limx! 12 f (x) = 1
2
x< 1
La droite d’équation y =
1
2
2
est asymptote verticale à la courbe de f .
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
Exemple 14 limite en l’in…ni d’une fonction rationnelle
Déterminer limx! 1 4x2x+6
2 7
Méthode 15 La limite d’une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) en 1 est égale à la limite
en 1 du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
1.4
Limites et ordre
Proposition 16 (Compatibilité avec l’ordre) Soit a un réel, +1 ou
que lim f (x) = ` et lim g(x) = `0 .
x!a
x!a
Si f (x) < g(x) alors `
1. Soit f et g deux fonctions telles
`0 .
Théorême 17 (Théorème des gendarmes) Soit trois fonctions f , g et h telles que f (x) g(x) h(x) au
voisinage de a (réel ou 1). Si les fonctions f et h ont la même limite …nie ` au voisinage de a, alors g a
pour limite ` au voisinage de a.
Démonstration. On démontre ce théorème dans le cas particulier de +1. Soit I un intervalle ouvert contenant
`, on doit montrer que I contient tous les réels g(x) pour x assez grand.
Par hypothèse,
lim f (x) = ` donc I contient tous les réels f (x) pour x assez grand, plus précisément, il existe un réel A
x!+1
tel que si x > A alors f (x) 2 I.
lim h(x) = ` donc I contient tous les réels h(x) pour x assez grand, plus précisément, il existe un réel
x!+1
B tel que si x > B alors h(x) 2 I.
Posons N = max(A; B) alors pour x > N , on a f (x) 2 I et h(x) 2 I. Dire que f (x)
g(x)
h(x) au
voisinage de +1, signi…e qu’il existe un réel C tel que pour x > C, on a f (x) g(x) h(x).
Posons M = max(N ; C) alors pour x > M , on a f (x) 2 I, h(x) 2 I et f (x) g(x) h(x).
On en déduit que pour x > M , on a g(x) 2 I; c’est à dire que I contient les réels g(x) pour x assez grand.
Démonstration.
Exemple 18 Soit f la fonction dé…nie sur R par f (x) = x sin
1
x
100
y
80
60
40
20
-100
-80
-60
-40
-20
20
40
-20
60
80
100
x
-40
-60
-80
-100
.
Pour tout x > 0, on a
x f (x) x.
Comme
1 6 sin
1
x
61
lim x = lim+ ( x) = 0
x!0+
x!0
on en déduit que
lim f (x) = 0
x!0+
.
De même pour x < 0, on obtient
lim f (x) = 0
x!0
.
Donc
lim f (x) = 0
x!0
Corollaire 19 (Corollaire du théorème des gendarmes) Soit deux fonctions f et g telles que f
voisinage de a (réel ou 1),
g au
si lim f (x) = +1 alors lim g(x) = +1;
x!a
x!a
si lim g(x) =
x!a
1 alors lim f (x) =
x!a
1.
Exemple 20 chercher les limites en +1 des fonctions suivantes :
f (x) =
sin x
x
g(x) = x2 + x cos x
1.5
limite de fonction composée
Théorême 21 Soit f , g et h trois fonctions telles que f = g h:chaque lettre a, b ou c désigne soit un réèl,
soit +1;soit 1:
Si limx!a h(x) = b et si limX!b g(X) = c alors limx!a g(h(x)) = c
p
Exemple 22 limx!+1 x2 2x + 7
2
Continuité
2.1
Notion de fonction continue
Dé…nition 23 On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est dé…nie sur I et que sa
courbe sur I peut se tracer sans lever le crayon .
Dé…nition 24 Soit f une fonction dé…nie sur un intervalle I contenant a.
On dit que f est continue en a si :
lim f (x) = f (a)
x!a
On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point a de I.
Remarque 25 Parfois le comportement d’une fonction f est di¤érent à gauche et à droite d’un réel a. Il pourra
alors être utile, pour étudier l’existence d’une limite en a; d’étudier les éventuelles limites à gauche et à droite
de a, c’est à dire :
lim
f (x) et lim
f (x)
x!a
x!a
x<a
x>a
Si ces limites existent, alors, dire que f est continue en a revient à dire que ces deux limites sont égales à
f (a).
Remarque 26 Dans un tableau de variation, une ‡èche pour une fonction croissante (ou décroissante) sur un
intervalle signi…e la continuité de la fonction sur cet intervalle.
Proposition 27 (Admise) Les fonctions usuelles: polynômes, racine carrée, valeur absolue, fractions rationnelles,
sin, cos et leurs composées sont continues sur les intervalles où elles sont dé…nies.
p
Exemple 28 Soit f dé…nie par: f (x) = x2 1. f est dé…nie dès que x2 1 est positif donc sur les intervalles
] 1 1] et [1; +1[ . Sur chacun de ces intervalles, f est la composée de la fonction racine (continue sur R+ )
et d’un polynôme (donc continu sur R). Ainsi f est continue sur les intervalles ] 1 1] et [1; +1[.
2.2
La fonction partie entière
Dé…nition 29 On appelle partie entière d’un réel x, notée E(x), le plus grand entier inférieur ou égal à x.
C’est à dire E(x) est l’entier tel que: E(x) x < E(x) + 1
Exemple 30 E(3:14) = 3; E(4) = 4; E( ) = 3; E( 3:14) =
4
Proposition 31 Pour tout entier n, sur l’intervalle [n; n + 1[, la fonction partie entière est constante égale à n.
Elle n’est pas continue sur R, elle admet une discontinuité pour chaque entier. 8x 2 [n; n + 1[; E(x) = n:
Démonstration. Soit n 2 Z. Par dé…nition de E, pour x 2 [n; n + 1[ on a E(x) = n. Prouvons la discontinuité
de E en n + 1. Par passage à la limite (en restant dans l’intervalle [n; n + 1[
lim E(x) = n 6= E(n + 1) = n + 1
x!n+1
x<n+1
On en déduit la courbe de la fonction partie entière, on dit que c’est une fonction en escalier.
2.3
Prolongement par continuité
Exemple 32 La fonction f dé…nie sur R n f3g par:
f (x) =
x2
x
9
3
n’est pas continue sur R car non dé…nie en 3, mais:
x 6= 3 =) f (x) =
(x
3)(x + 3)
=x+3
x 3
Ainsi la courbe de f est la droite d’équation: y = x + 3 à laquelle il manque le point d’abscisse 3. On pose alors
la fonction fe dé…nie sur R:
(
f (x) si x 6= 3,
fe(x) = x + 3: donc fe(x) =
6
si x = 3.
La fonction fe est alors continue sur R, on dit que c’est un prolongement de f par continuité en 3.