Télécharger

Contrôle 6
PCSI
24 mars 2012
Exercice 1 :
1. a) Donner la dénition d'une forme linéaire.
b) Donner la dénition d'un hyperplan.
c) Dans un espace vectoriel de dimension nie, quelle propriété lie formes linéaires et hyperplans ?
2. Soit E un espace vectoriel de dimension nie et φ une forme linéaire sur E . Montrer que φ est soit nulle, soit surjective.
3. Soit F = {(x, y, z) ∈ R3 , x − y + 3z = 0} et G = {(x, y, z) ∈ R3 , y − z = 2x + z = 0}. On admet que F et G sont des
sous-espaces vectoriels de R3 . Déterminer une base de F et une base de G et en déduire qu'ils sont supplémentaires.
Exercice 2 : u et v les suites dénies par u0 = 1 et v0 = 2 et pour tout n ∈ N, un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 2un + 3vn .
1) Montrer que la suite u − v est constante.
2) En déduire que u est arithmético-géométrique.
3) Calculer u et v en fonction de n et déterminer leur limite en +∞.
Exercice 3 :
1) a)
b)
c)
d)

 0 si x = 0
x
Soit f la fonction dénie par f (x) =
sinon

ln(x)
Déterminer l'ensemble de dénition D de f .
f est-elle dérivable en 0 ?
Justier que f est de classe C 1 sur [0; 1[.
Dresser le tableau de variations de f . On y fera apparaître les diérentes limites et la valeur de f (e).
2) Soit v la suite dénie par v0 = 3 et pour tout n ∈ N vn+1 =
vn
.
ln(vn )
a) Montrer que : ∀n ∈ N, vn ≥ e.
b) Justier que la suite v converge et déterminer sa limite.
1
4
c) Montrer que : ∀x ≥ e, 0 ≤ f 0 (x) ≤ .
d) Enoncer l'inégalité des accroissements nis.
e) Montrer que : ∀n ∈ N, |vn − e| ≤
1
.
4n
f) Sachant que 45 > 1000, déterminer un entier n1 à partir duquel vn est une valeur approchée de e à 10−12 près.
Problème : E est un espace vectoriel sur un corps K et φ ∈ L(E). On note pour tout p ∈ N :
Np = Ker(φp ) et Ip = Im(φp )
On rappelle que φ0 = IdE et que pour tout k ∈ N∗ , φk = φ ◦ φk−1 . De plus, φ est un projecteur lorsque φ2 = φ.
1. a)
b)
c)
d)
Determiner N0 et I0 .
Pour tout p ∈ N, montrer que Np et Ip sont des sous-espaces vectoriels de E .
Montrer que si p ≥ 1 alors N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ ... ⊂ Np−1 ⊂ Np .
Montrer de même que si p ≥ 1 alors Ip ⊂ Ip−1 ⊂ ... ⊂ I1 ⊂ I0 .
Dans tout ce qui suit E est supposé de dimension nie n.
2. a)
b)
c)
d)
e)
3. a)
Montrer que pour tout p ∈ N, dimIp + dimNp = n.
Montrer que : N1 = N2 ⇔ I1 = I2
Montrer que l'une des conditions précédentes implique que N1 et I1 sont supplémentaires dans E .
Etudier la réciproque et conclure.
Donner une exemple d'endomorphisme tel que N1 et I1 soient supplémentaires dans E qui ne soit pas un projecteur.
Montrer qu'il existe un plus petit entier naturel r tel que r ≤ n et Nr = Nr+1 .
Dans toute la suite, on considère cet entier naturel r.
b) Montrer que Ir = Ir+1 .
c) Montrer de même que pour tout p ∈ N, Nr = Nr+p et Ir = Irp .
d) En déduire que Nr et Ir sont supplémentaires dans E .
Lycée de l'Essouriau - Les Ulis