NOMBRES RÉELS ET LIMITES Définition 1. On dira qu’un nombre a est réel si a peut être approché arbitrairement près par des nombres rationnels (ou décimaux). L’ensemble des nombres réels se note R. Une propriété spécifique de R est d’être un ensemble complet (intuitivement "sans trous"), c’est-à-dire que tout ensemble borné admet un supremum 1 appartenant à R. Cette propriété n’est pas vérifiée par Q : prendre A = {x ∈ Q|x2 < 2} alors sup(A) "∈ Q. Définition 2. Un concept (topologique) fondamental en analyse, attaché à la droite réelle R, est celui de voisinage d’un point a ∈ R (fixé). Pour simplifier les choses, on dira que tout intervalle ouvert Ua contenant le point a est un voisinage de a. Il importe de s’imaginer que le point a est comme "englouti" dans un intervalle ouvert, ce dernier pouvant être rendu arbitrairement "petit", mais dans tous les cas Ua ne peut être réduit au point a. Il est habituel de choisir comme voisinage "standard" d’un point a appartenant à l’axe des abscisses Ua = {x ∈ R; |x − a| < δ} (pour un δ > 0 que l’on se fixe) En français cela donne : Ua est l’ensemble des nombres réels x tels que la distance de x à a est inférieure à δ. Dans ce cas Ua est un intervalle centré autour de a de longueur 2δ. Si b appartient à l’axe des ordonnées alors un voisinage standard est Vb = {y ∈ R; |y − b| < "} pour un " > 0 que l’on se fixe. Définition 3. Formellement dire que la "limite lorsque x tend vers a de f (x) existe et égale à b", que l’on dénote par limx→a f (x) = b, signifie que quel que soit le voisinage Vb de b (aussi petit que l’on veut) il existe un voisinage Ua de a tel que pour tous les x compris dans Ua (mais x "= a) on a toujours f (x) ∈ Vb . Avec des notations mathématiques cela donne : lim f (x) = b x→a ⇔ ∀Vb ∃Ua ; ∀x ∈ Ua x "= a f (x) ∈ Vb où Ua et Vb représentent des voisinages de a et b respectivement En utilisant les voisinages standard ci-dessus cela donne : lim f (x) = b x→a ⇔ ∀" > 0 ∃δ > 0 ; si |x − a| < δ (mais x "= a) alors |f (x) − b| < " que l’on peut traduire par : "pour tout voisinage (centré) de b de longueur 2", il existe un voisinage (centré) de a de longueur 2δ tels que, si x appartient à ce dernier voisinage (mais x "= a) alors f (x) appartient au voisinage autour de b". C’est seulement à partir d’une telle définition que l’on peut démontrer des propriétés telles que l’unicité de la limite (si elle existe) et les résultats essentiels suivants : Théorème. Si limx→a f (x) = m et limx→a g(x) = n alors a) la limite de la somme égale la somme des limites : limx→a (f + g)(x) = m + n b) la limite du produit égale le produit des limites : limx→a (f · g)(x) = m · n c) la limite du quotient égale le quotient des limites : limx→a ( fg )(x) = m si n "= 0 n Par ailleurs si limy→m g(y) = n alors la compostion g ◦ f admet une limite en a et limx→a (g ◦ f )(x) = n évidemment ! d) Thm du sandwich : si f , g et h sont trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I ( a (éventuellement pas en a) que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), ∀x ∈ I \ a et limx→a (f )(x) = L = limx→a (h)(x) alors limx→a g(x) = L. Remarque. Bien qu’implicite dans le développement de l’Analyse au 17e et 18e siècle, la notion morderne de limite d’une fonction remonte à Bolzano, qui en 1817 a introduit la base des δ et " pour définir la continuité d’une fonction. L’on doit la définition formelle d’une limite d’abord à Cauchy dans son Cours d’Analyse (1821) et surtout à Weierstrass (∼ 1870).(cf. Wikipedia) 1. Plus petit élément plus grand que tous les autres de l’ensemble en question 1 Définitions. 1) lim f (x) = b est équivalent à « f(x) peut s’approcher arbitrairement près de b si x x est suffisamment grand » ce qui sous forme algébrique s’écrit : > 0 (aussi petit soit-il) N > 0 (suffisamment grand) ; si x N alors | f (x) b |< 2) lim f (x) = si « f(x) peut être rendue supérieure à toute grandeur N dès que x est xa suffisamment proche de a » ce qui sous forme algébrique s’écrit : N > 0 (aussi grand soit-il) > 0 (suffisamment petit) ; si 0 <| x a |< alors | f (x) |> N 3) Quelques situations que l’on qualifie « d’indéterminées » : 0 0 ; ; 0 ; 00 ; ; 0 Exemples. 1) 2) 3) sin(x) si x tend vers 0 ; x ln(x) x2 4 si x tend vers 2 ; si x tend vers 1 x 1 x2 1/ x x2 4 si x tend vers 0 ; si x tend vers + ; + x2 1/ x 2 x 2 + 2x x si x + 4) lim x x0+ 1 x2 ln(x) x+ x lim ; ex x+ x n lim 6) lim ( ln(x) ) 5) lim x x e1/ x x0+ x0+ Pour soulever l’indétermination plusieurs techniques s’y prêtent : - mise en évidence, factorisation & simplification - division polynomiale ou amplification par le conjugué - minorer et majorer une expression (théorème du sandwich) - utilisation de la règle de l’Hôpital (énoncé + preuve ci-dessous). Théorème. Si f et g sont deux fonctions dérivables sur l’intervalle ]a ; b[, continues sur [a ; b], que lim f (x) = lim g(x) = 0 , que g ( x) 0 pour x ]a ; b[ et si lim xa xa xa + + + f (x) f (x) = alors lim =. xa g (x) + g(x) f (b) g ( x) . On a h continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[ et de g (b) plus h(a) = h(b) = 0. Par le théorème de Rolle, il existe µ ]a; b[ tel que h( µ ) = 0 , c’est-à-dire f ( µ ) f (b) f (b) f ( µ ) = = lim . Si l’on fait tendre b vers a+ alors l’on a = lim . C.Q.F.D. ba ba + g ( µ ) + g(b) g ( µ ) g (b) Preuve. Posons h( x) := f ( x) En modifiant quelque peu la démonstration ci-dessus on peut prouver que le résultat ci-dessus reste valable si on remplace a+ par b , ou que lim f (x) = lim g(x) = + , ou que b = + , … xa+ xa+