Loi de probabilité des maxima d`une fonction aléatoire stationnaire

P UBLICATIONS DU D ÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES DE LYON
A. D USSAUCHOY
Loi de probabilité des maxima d’une fonction aléatoire stationnaire
Somme d’une partie gaussienne et d’une partie sinusoïdale
Publications du Département de Mathématiques de Lyon, 1969, tome 6, fascicule 4
p. 79-95
<http://www.numdam.org/item?id=PDML_1969__6_4_79_0>
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Publications du
Diparte m e s i de
Mathématiques
Lyon 1970 U 6-4
LOI DE PROBABILITE DES MAXIMA
D'UNE FONCTION ALEATOIRE STATIONNAIRE
SOMME D'UNE PARTIE GAUSSIENNE ET D'UNE PARTIE SINUSOIDALE
A. DUSSAUCHOY
I. - INTRODUCTION.
Nous étudions la loi de probabilité des maxima d'une fonction aléatoire
X(t) , somme d'une partie stationnaire et gaussienne
c
P cos(u)t + p )
sinusoïdale
et
ayant une phase
B(t) et d'une partie
aléatoire uniformément répar-
tie entre
0
2TT et indépendante de la partie gaussienne. Cette fonction
aléatoire
X(t) a été utilisée dans [ij pour représenter le rythme alpha des
tracés électro-encéphalographiques.
Nous étendons à
X(t) les résultats classiques ([2],[3]) concernant les
fonctions aléatoires gaussiennes. Puis nous montrons que la densité de probabilité des maxima de la fonction aléatoire
X(t) tend vers la densité de pro-
babilité de l'enveloppe lorsque la mesure spectrale de la partie gaussienne
tend vers une mesure concentrée en
co , ce qui justifie une approximation faite
dans [f] .
II. - PROPRIETES PRELIMINAIRES,
Soit la fonction aléatoire
(1)
X(t) - P cos(ojt +<f) • B(t)
- oo < t < • oo
oû
a ) . B(t) est une fonction aléatoire réelle, stationnaire, gaussienne et soparable,
B(t) ayant de plus
Loi de Probabilité des maxima . ..
(i)
une moyenne nulle
E[B(t)] » 0 •
(ii)
une fonction de corrélation.
IKT) » E[B(t+T) • B(t)]
(2)
continue, admettant des moments spectraux finis jusqu'à l'ordre 4 et vérifiant :
( 4 )
( o ) - 0"(o)]
2
(3)
*<o) *
b) . P et
a) sont des constantes et Cf une variable aléatoire uniformément ré-
partie entre
0
et
* 0
2TT et indépendante de B(t).
Nous pouvons alors donner la proposition suivante :
Proposition :
(i).
X(t) est stationnaire au sens strict
(ii). Les rêaliQationQ de
X(t) sont presque sûrement à dérivées
(iii). Sur tout intervalle fini
T
continues
f
a) le nombre moyen de fois où
X(t) [resp. X (t)] franchit sur
f
le niveau
m
est fini
b) pour tout
m
fixé, la probabilité d'au moins une tangence de
X(t)
au niveau
m
sur T
3
T
est nulle.
Les résultats énoncés dans la proposition précédente seront utilisés lors
de l'étude de la loi de probabilité des maxima de
X(t) •
Démonstration :
1°) Considérons
aléatoire
n
instants
t
j » 2» ' ' *
t
t
P
n
'
o
u
r
t o u t
e
*[?»2ïï] le vecteur
[x(tj)...X(t )] conditionnellement au fait que *f - 0
vecteur aléatoire gaussien de fonction caractéristique :
g(U;0) » exp[i U
T
m(0) - y U
où
m(6)
-
p cos(u)t • e)
:
P cos(a)tj+ 0)
T
A u]
est un
LOI ae rrobZDiiite act xnaxixna . • .
est le vecteur moyenne de [x(t. ) , • • • ,X(t )1
1
n -*
conditionnellement au fait
que Cf = e .
où A est la matrice de covariance de Qc(t^) ... X(t^)^
où
U
est un vecteur de H
n
et où B
T
désigne la transposée de la matrice B .
[x(t j) ,... X(t )T)
Le vecteur aléatoire
admet alors pour fonction caracté-
n
f
ristique
2lf
1
f
2TT
Jo
h(U) - —
g(U;0)d0
De même le vecteur aléatoire
[x(tj+i) ... X(t *i)J
n
admet pour fonction
caractéristique
1 f
h'(U) - —
2TT
2ïï
1 g(U;0+a)T)de
Jo
- — 1
2T\ JUJT
g(U;e)d0
27T
i f
« —
2TT
car
g(U;0)
|
g(U;0)d0 - h(U)
JO
est une fonction périodique de 0 et de période
2ir .
Ce qui démontre la première partie de la proposition.
2 ° ) La fonction de corrélation
P
(4)
R ( T ) du processus
X(t)
est
2
R ( T ) « * ( T ) • — COS(U>T)
Avec les hypothèses faites sur \J>(T) (existence du quatrième moment spec-
tral) il est aisé de voir que
(o) existe. Par conséquent
X(t) est un
processus dont les réalisations ont presque sûrement des dérivées continues
(d'après [ 3 ] page 1 2 5 ) .
3 ° ) L'étude faite dans [ 3 ] page 3 1 7 d'une fonction aléatoire de même type que
permet de donner le nombre moyen de franchissements du niveau
m par
pendant l'intervalle [b,f] :
(5)
E[C
(0,1)]
x[—i_(2n)^
Pexpf-
- - ^ 2
exp (V
2
" PW9h
2 o\
M
( m
-
P C
°
P sin 9
o
2
8
8
)
e r f
2
j
/ o , P sin e \ 1
2#o
2
j
d
9
X(t)
X(t)
Loi de Probabilité des maxima . • •
2
où
o
2
et
tral de
et où
a
sont respectivement la variance et le second moment spec-
2
B(t).
x
erf (x) - — ^ —
2
exp [- t J dt .
1
Jo
( 7 T ) #
Alors en appliquant au processus
de franchissement du niveau
m
X'(t) la même formule le nombre moyen
par X'(t) pendant l'intervalle [ û Q est :
f
B [ C > . . ) ] . - ^
f e > p [ - ' ^ - t
o
2 a
(2TT)
(6)
xp_
e x p
)
2
^
s
2
e
)
"
+
2
p
c
o
s
e
E
R
2
]
J
2
p
(.
e
L
F
^
2
P cos
<\
2
où
a
est le quatrième moment spectral de
u
B(t) .
Les résultats généraux concernant un intervalle de durée
en multipliant les résultats (5) et (6) par
4°)
On peut tirer
T
s'obtiennent
T .
"'.Z-'AY.\[4] qui est rappelé dans
:
(iii,b) d'un théorème de
[3] page 76 en remarquant que la loi de probabilité à une dimension de X(t)
admet une densité bornée.
[I. - LOI DE PROBABILITE DES MAXIMA DE
X(t) •
Théorème 1 :
1°)
La hauteur du maximum local de
maximum local en
t
X(t) en
t
sachant que
X(t) a un
, est une variable aléatoire ayant une loi de
-probabilité absolument continue de densité
J
|z|p(m,o,z)dz
f+00
AQ
Z
j-oo
où
p(x,y,z)
d
X
J-J I
X
Z
P< »°» )
D
Z
est la densité de probabilité de la loi conjointe de
X(o), X'(o), X"(o) .
2°) En désignant par
M
i
j
0?
le moment spectral d'ordre
les mineurs de la matrice
M
j
de
B(t) et par
de covariance de £x(o),X'(o),X"(o)]t
83
Loi de Probabilité des maxima • • .
on a
g (m) «= —
n -
'
4ir M
2
r
ftN
W
p
2
( * expF-
2
/
avec :
h
3 3
"
L
W
e
c
p o s9
- <*-
2 a\
2
>1
2 a
2
2
.
*
2
T (M (m-P cos 6)+M Pw cos 6) 1
13
x U
e
x
33
(det M ) *
p
l ( 2 T T ) ^2
|_
2 M
det M
/ M ( m - P cos 6)+M Pu) cos 6^ \
3 3
A M ( m - P cos 6 ) + M P w c o 8 e y O
2
13
2
33
+1
13
33
1+erf I
X
2(M
3 3
/
)^
U l de
V
L
(2 M
1
3 3
det M ) /
/ J J
2
et
D
. _ I 1 _
(210*
o
p
p
J
e
x
p
2
[- < 2
o
2
°> ]
°2
(9)
x ( - 1 — exp (- ""* c<» »U ^
2
1(2«)^
K
2 oj
2
'
2 PC O S 6
2 o,
[l..rf (" ° ) 11 de
2? C
L
V
2»
S9
2
ou
7
JJ
Démonstration :
A / Sachant que le processus
à-dire sachant que
tant
t
X(t) a un maximum local à l'instant
t
Q
(c'est-
X'(t) admet un passage par zéro en descendant à l'ins-
) , la loi de probabilité de la variable aléatoire "hauteur de ce
maximum" a pour fonction de répartition (d'après [3] page 2 4 3 )
E[D'(OJ)]
G(m) -
(10)
E[D'(O,D]
où d'après [3] page 192 :
a)
D'(0,1)
de
b)
pas
[o,l] le nombre de passages par zéro en descendant
X'(t) .
D^(0,1)
de
est sur
est sur
[o,l^ le nombre de passages par zéro, en descendant,
X'(t) pour lesquels la valeur correspondante de
X(t) ne dépasse
m .
B/ L'expression du dénominateur de ( 1 0 ) s'obtient facilement en effectuant des
calculs similaires à ceux donnés dans [3] pages 3 1 6 et 3 1 7 mais en les fai-
Loi de Probabilité des m a x i m a . . •
D'(0,1)
sant porter sur
et en utilisant pour cela les résultats donnés
dans [3] page 288. On obtient alors facilement l'expression ( 9 ) .
Cl
1) Soit
x(t) une fonction telle que :
a)
x(t) soit dérivable et à dérivée continue
b)
il y ait un nombre fini de valeurs
c)
ces valeurs
points
d)
t^
n
j/2 , o ^ j < 2
x(t) sur
En appelant
L
a^
2
n
annulant
x'(t)
, n°l,2...
le nombre de maxima de
-I
m
m •
x(t) sur [ o l J dont
t
b
le nombre d'intervalles
m9n
x'(4r)> 0 > x'(J^-)
et x ( J - ) < m
n-1,2...
2
2
2
tels que
n
2
te [0,l]
[o,l] soient d'amplitude différente de
l'amplitude est inférieure à
Mr ,
de
soient situées en dehors de l'ensemble dénombrable des
de la forme
les maxima de
t^
et
On voit assez facilement que pour tout
e > 0
à partir d'un cer-
tain rang
a
^ b
> a
m+e
m,n
m
d'où l'on tire
b
m,n
Vn > N
e
>a
m
lorsque
2 ) Comme l'ensemble des trajectoires de
propriétés
le nombre
a ,b , c ,d
[
2
< + »
,
J
et
X(-î-) < m
n
2
D^(0,1)
dont l'amplitude est inférieure à
E(Y )
n
tels que :
n
2
2
converge presque sûrement vers
(11)
'
X(t) qui ne possèdent pas les A
,
n
2
X'(J-) > o > X'(J^-)
n
n
E[D'(0,1)]
0 0
énoncées plus haut est de probabilité nulle,
d'intervalles M -
Y
n
n —*
n
le nombre de maxima de X(t)
m . Comme D ^ ( 0 , 1 ) * D ' ( 0 , 1 )
et que
le théorème de convergence dominée nous donne :
^E[D'(0,1)1
m
J
lorsque
n —> «
85
Loi de Probabilité des macima • . •
3) Soit alors les variables aléatoires
y
.
J .
(\
J
si
X'(-*-) > o > X'(^i)
n
n
^0
sinon
2
et
2
X(4r)
n
< m
2
Il est clair que
n
Y
-
2 -l
>•
J
n
j=5
n
e t
U
n
2 -l
E[Y ] - >
[E U ] - 2
j=0
J
n
n
E(U°)
n
par stati.onnari.te
n
- 2
n
P{[x'(o) > o > X'(2~ )]
n
et
X(o) < m}
- 2
n
P{[o < X*(o) < - 2 ~ Z 1
n
- 2 [x (2~ ) - X'(o)]
et
X(o) < m}
n
u
n
en posant
En appelant
f
X (o)
et
f
n
p (x,y,z) la densité de probabilité conjointe de
n
Z
n
sous réserve d'existence de cette densité (nous verrons
2
plus loin que l'hypothèse
0(o) ^ ( o ) - (*"(o)) + 0
l'existence de cette densité pour
On a donc
Î
m
dx
X (o),
dz
(12)
p (x,y,z)dy
n
Jo
P (x,y,z;0)
la densité de probabilité conjointe de X ( o )
n
sachant que
1
r
P (x,y,z) - —
^» 6
on a :
2 7 T
l
*o
n
suffisament grand).
n
J —oo
En appelant
n
P (x,y,z;6)de
n
Soit alors :
~n çm
E
W
" ir
J
-oo
x
p-2 z
d
J
r2n
n
to
d
entraîne bien
f-2 z
ro
-oo
f
X(o) ,
-oo
z
d
J o
y
\
e
p„<*.y.*; >
Jq
de
f
Loi de Probabilité des maxima . • •
n
= |-
n
to
ç-2 z
\ d e ) dx ] dz \
P (x,y z;e)dy
J q
<y -co
J-co
Jo
nlv
Cm
n
p2î:
03)
" ¿ 1
d
e
t-z
ro
cm
d
x
j
D
f
Z
L
x
2
n
z
0
d
p < » ~ y> ; ) y
n
en appliquant successivement le théorème de Fubini et le changement de
-n
en 2 y .
y
4) Il est facile de voir que
-n
(14)
p (x,2
.1/2
-3/2
y,z,6) = (2TT)
n
(det M >
n
r 1
exp [- \
-1
T
.
n
. uj
avec
X - P COS 6
u
X - P C08 0
n
•
2 y + Pu) sin 0
• u •
P o) sin 0
n
z + 2
M
n
n
Pco(sin(0 + u) 2 ~ ) - sin 0)
2
•> »
z + P o) cos 0
f
est la matrice de covariance du vecteur gaussien [x(o) , X ( o ) Z *] .
n
t
n -+ »
Lorsque
0
*(o)
0
M -
— > M la matrice de covariance de [x(o) , X'(o), X"(o)J
*"<o)
0
-*"(o)
0
<!>"(o)
(l
* *\o)
Comme :
(15)
2
det M = -•"(o)[>(o) •'•(o) - <*"(o)) ]
et comme par hypothèse les moments spectraux de
l'ordre 4
et que de plus
Par conséquent pour
ainsi que
n
P (x,y,z)
B(t)
existent jusqu'à
ip(o) i^(o) - (iI>"(o)) i* o , alors
2
suffisament grand
det
^ o
et
det M
o •
P (x,y,z;0)
n
existent d'après (14) et (12).
n
Alors
(16)
P ^
X > 2
n .
n
y
> z ; 0
^
+ oo
>
n
probabilité du vecteur
que
Y
m
0
P(x,o,z;0)
où
p(x,y,z;0)
[x(o), X'(o), X"(o)*]
est la densité de
conditionnellement au fait
•
5) Nous allons maintenant donner une majoration de
P (x,y,z;0)
n
qui nous
permette d'appliquer à la formule (13) le théorème de la convergence
dominée•
87
Loi de Probabilité des maxima . . .
Considérons alors la densité de probabilité conjointe du vecteur
sachant que *-p= 6
[x(o) , Z j
Q(x,z,e)
=
!
exp[- ^ V
2n(det A ) V S
T
A"' V
]
n
n
où
x - P cos 0
v
x - P cos 0
=
n
_
11
Z + 2
et où
n
P (j(SLn(u) 2
0) -
n
S i n 0) n
(o) - (i|/'(o)) ^ 0
2
det A^ ^ 0
suffisament grand
2
oo
[x(o), X"(o)] lorsque
det A = C(o) i) ^
Comme
Z • P O ) cos 0
[x(o), Z^]
la matrice de covariance de
matrice de covariance de
V
f
converge vers
A
la
00
n
on est assuré que pour
et que par conséquent
(^(xjz;©)
n
existe.
Alors
(17)
n
p (x,2~ y,z;0) = Q (x,z;0) .
n
'
(2TT)^
n
exp Z
MC
et
nelle de
E
2
"
2
y
~
l
L
n
où
( 2
M
C
)
2
2
A
n
sont respectivement la moyenne et la variance conditionX , Z ^ et Çp sont fixées.
X'(o) lorsque
Or les propriétés des lois conditionnelles de vecteurs gaussiens
([5} page 315) donnent
/det
Z
n
= (
M
\V2
-
\det A /
n
Soit puisque le dernier terme de (17) est majoré par 1
-n
- 3£
-1/2
r 1 T -1 -1
p (x,2 y,z;0).« <2n)
(det M >
exp [- y V A
Vj
n
n
n
q
n
Or
a) det
*det M donc à partir d'un certain rang
T -1
b ) V A
V ^ k V
n
n
n
n
la matrice A~
l
det
>, y det M > 0
T -1
A
V
o ù k
est la plus petite valeur propre de
n
n
n
Y
Y
Y
Y
A et puisque A" A
• ! , k — • ! et donc à partir
1
n
d'un certain rang
T -1
V A
V
n n
n
1 T -1
V A
V
2 n
n
"T"
d'où à partir d'un certain rang :
, .-n
1/2
p (x,2 y,z;0) « 2 (2*)
n
_l/2
(det M)
r 1 T -1 -1
expf- f V A
V ]
4 n
n
u
Loi de Probabilité des maxima . . •
88
1
En désignant par
n
a - 2
n
n -> °°)
V
A"
n
V
3. . les éléments (tous positifs) de A
1 УJ
Pu)(sin(0 + a) 2 ) - sin 0) - Pu> cos 0 (qui tend vers
n
n
- V
1
V
n
2
A
T
^V
0 lorsque
2
2
V + a . 622 + 2a |6i2(x - P cos 0)+ 89?(z + Pu) cos 0)1
n "
n
"
'J
u
A"
1
l
£
|a | < 1
A partir d'un certain rang
V* A^
et par
donc
n
2
V - 2[Bi2<|x|+ P) • B (|z|+ Po) )]
22
En écrivant
x
- P cos 6
V -
+
- \} + W (0)
x
y
V
n
A
^
V
P
W
w
n * ^
l
+
> wf k\
y
Ci)
2
w
A
f "
!
w
2
2 - 2[B (|x|+ P) + 6 (|z|+ P^ )]
12
- 2P(6
x
2
cos 0
2
22
2
• 6 u ) ) - 2|x|(Bi2
i 2
+
p
22
- 2|z| ( B
2 2
2
3 l l + 612 Po) )
+ PB
1 2
• Pu
2
B
2 2
)
D'où à partir d'un certain rang :
n
H
p (x,2~ y,z;0) ^ К exp[- | wf A
W ]exp(C |x| • C |z|)
n
1
1
2
Or la fonction
(x,y,z;0)
•exp[-|wfA"
1
W ]exp(C |x| + C | z | )
1
est intégrable sur le domaine
1
-» < x < m
2
,
<
z
< -y <
0
, о < 0 < 2тт
D'où finalement en appliquant le théorème de convergence dominée et en utilisant les formules ( 1 3 ) et ( 1 6 )
1 f
2lT
d
E[Y]
m
f
8
f°
d
x
|z| p(x,o,z;0)dz
J -°°
Jо
J -°°
1
Soit en notant
jointe de
Î
2,r
p(x,y,z) =» jjj- I
X(o), X'(o), X"(o)
m
fo
dx j
—00
f
IzI
p(x,y,z;9)de
°
p(x,o,z)dz
J —OO
D'où finalement d'après ( 1 1 )
E [ D ^ ( 0 , 1 ) ] = [ dx [ |z| p(x,o,z)dz
J —00
J
—00
la densité de probabilité con-
89
Loi de Probabilité des maxima . • •
d'écrire :
dx \
Î
G(m) «
m
J
-oo
I
J
|z| p(x,o,z)dz
-oo
dx
(
J
—OO
|z| p(x,o,z)dz
—00
Ce qui achève la démonstration de la première partie du théorème 1 •
D/ Pour terminer la démonstration de ce théorème nous allons maintenant calculer
le numérateur
N
de (7).
Il est facile de voir que :
(det M ) ^ j
p(m,o,z) » (2n) ^
2
1
" exp[- ^
d
]
6
avec
Q(m,z;0) - M ( m - P cos 0 )
n
2
2
2
+ M P*u>
et r M « -•"(o) ^
I M
2 2
- *(o) * *> (o) - (*"(o))
(18) / M
3 3
- - *(o) *"(o)
1 3
- (* (o))
M
fl
» M
1 ?
2 3
=
0
(o)
u
k
2
+ 2Mj 3 (m - P cos 0)(z • Pu) cos 0)
3 3
M
sin
2
• M ( z • Po) cos 0)
M
2
22
2
2
o
Alors :
F M 0)1
(2TT
N -
-
fo
2
(2ir)$ (det M) V
J o
[ R (z)
2
J z exp
d0 exp
-
L
2 det M J y —
dz
L
2
d
e
t
*i
avec
K (e)
»M (m-
x
n
2
P cos 9 ) + M
2
2 2
P
2
2
o) sin
2
0
2
2
et R ( z ) » M ( z + P a) cos 0 ) • 2 M ( m - P cos 0) (z • P u> cos 0)
2
3 3
13
La dernière intégrale de
N
se calcule en effectuant le changement de
variable
M
W
"
Hot-
<?
2
33
d
e
t
1/2
m>
M^ (m - P cos 0)
cos 0) •
—
3
(z • P
U)
2
(2 M
3 3
det
M)V2
Loi de Probabilité des maxima • • .
Cette dernière intégrale devient alors :
M ^ m -
P cos 9)2
exp(
2 det M
^
) . (
2 M
det M
3 3
;
M
3 3
1
fa (2 M
det M ) ^ W - M ( m - P cos 0) - M
3 3
1 3
2
P co cos 0
3 3
x I
2
exp [- W ] dW
M
J-co
2
M ( m - P cos 9 )
3 3
2
2 det M
3
- exp(
) .
2 M
M
«
w 1/2 r
(iîlil/
exp[- 2]dw2
2 M
J —oo
a
x
W
3 3
M
avec
)
det M
3 3
*
x
(
3 3
M (m-Pcos e)+M, Pcu cos 9
:
M q
2
13
fa
3
exp[- 2]dW
• —oo
W
3
2
3 3
P w cos 0 + M] (m - P cos 0)
3
a =
(2 M
det M )
3 3
1
2
Soit alors
,
N - — i —
27T
(?.7t) *
M
f/det M \
. )[
j
I 2 M
V2
exp
r
3 3
- M ) + M 2M33p2a,2
1 3
( M l 3 ( m
"
P
C O S
9 )
2 M
3 3
*
M 3 3
P
3 3
2
M
sin
2
U)2
det M
e
°
'
O S 9 ) 2
1
det M
r
AM Po)2 os0 +M (m-Pcos^vD
(m - P cos 9) + P co cos 0) Il • erf I
) be
/
L
>>
(2 M
det M ) V
J]
33
l
2
)
2 M
L
/.nI/2
2
n
Jo
3 3
3 3
+ —
2
(m - P Cos 0) ( M M
9 l/2f
<-£-)
exp(
C
13
2
3 3
3 3
f
D où finalement la formule (8) ce qui achève la démonstration du théorème 1
II est à remarquer qu'en faisant
P «= 0
dans la formule (8) on retrouve
le résultat donné dans [2] et [3] dans le cas d'une fonction aléatoire stationnaire gaussienne et de moyenne nulle.
IV. - CONVERGENCE DE LA LOI DE PROBABILITE DES MAXIMA
DE
X(t)
VERS LA LOI DE
PROBABILITE A UNE DIMENSION DU PROCESSUS ENVELOPPE.
Considérons
V(t)
le processus enveloppe de
I/
(19)
ou
2
X(t) .
2
2
V(t) =» [X (t) + X (t)]
X(t)
passage de
est la transformée de Hilbert de
X(t)
à travers un
X(t)
c'est-à-dire le résultat du
filtre linéaire de gain ([3] page 142) :
91
Loi de Probabilité des m a x i m a • • •
Î
i
X
<o
o
A
«o
O
A >
•L
Si la fonction de répartition spectrale de X(t) est continue en zéro
alors on sait que pour tout
E[x(t) . X(t)] = o
t
([3] page 142)
E [ |X(t)|2] = E[ |X(t)|2]
En remarquant que, conditionnellement à
toires
• 0
les variables aléa-
X(t) et X(t) sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes
de même variance et de moyennes respectives
P cos(u)t • 0) et
P sin(u>t • 0)
on obtient facilement que R(t) admet une loi de probabilité à une dimension
absolument continue de densité :
O
Î
si v < o
f
v
2lT
f (v ^p2-2v P cos 6 ) 1 . 2
exp -
I
Jo
2TT^(O)
d0
L
2iJ;(o)
si v > o
-l
Il est à remarquer que cette loi ne dépend pas de la forme du spectre
de
B(t) (il faut cependant que la fonction de répartition spectrale soit conti-
nue en zéro).
Intuitivement, il est logique de penser que la loi de probabilité des
maxima est proche de celle de l'enveloppe lorsque le processus
spectre concentré autour de la valeur
B(t) à un
u> .
Nous allons voir précisément
Théorème 2 :
Si
J
$
est
une suite
de fonctions
de corrélation
telle
que :
3
v ( o ) constante • S
(même variance)
n
(U) 41 (o) ij> (o) - (»|/"(o)) * 0
Vn
n
n
n
C,)
(iii)
pour tout
2
n
la mesure spectrale
admette des moments jusqu'à
(iv)
Quand n
* , u
n
converge
l'ordre
faiblement
correspondant
4 et
vers
à \i>^
u ({o}) • o
n
S.6^ où
5^
est
Loi de Probabilité des maxima • • •
(y) X -> X
u
soit uniformément integrable par rapport à
m
Soit
S ( )
n
^
a
u
•
R
densité de probabilité de la loi des máxima d'un
processus :
X (t) * P cos(u)t
n
B^it)
n
) + B (t)
n
est un processus stationnaire gaussien centra, separable et
de fonction de corrélation ^ ("0
n
^P
est une variable aléatoire indépendante de
n
n
[o , 2iT] .
ment répartie sur
Alors quand
B (t) et uniformé-
00
m
n •+
S ( )
converge ponctuellement vers la densité
n
de probabilité de la loi de l'enveloppe de
X (t) (indépendante de
n ).
Démonstration :
A/
1) Il est immédiat de constater que l'hypothèse (v) implique que pour
0
< j< 4
à
la fonction
À
XJ
est uniformément integrable par rapport
u
n
2) Lorsque
n
»
f co
Í
°n
-
*n
( o ) =
)
d y
r 00
n
* *
(
o
)
"
S
']
r
,^oo
(o )2 - - ^ ( o ) -j
2
2
où
=J
6
2
X du
n
4
w
(
d
A
)
"
S
00
>S . I
X
j
2
2
6 (dX) - co S
w
4
(o^) = * W ( o )
X du
>S
X ô^dX) - u/* S
( a . ) est le moment spectral d'ordre j de B (t) .
j n
n
2
n
r
J
Ceci résulte immédiatement de l'uniforme intégrabilité de
(o ^ j ^ 4)
X
X^
et de l'hypothèse (iv) (voir par exemple [6] page 183).
Remarquons qu'en fait, la première limite de (21) jointe à l'hypothèse (iv) indique que u
u étroitement.
3) D'après (15), (18) et (21), lorsque n + •
93
Loi de Probabilité det maxima ...
Î
det M
<"ll>
M
(
2 2
(M
k
s
n
)
n
)
n
3 3
> o
r
>0
2
(Mi )
3
2
>*
n
s
2
s
2
où les
(M..)
sont les mineurs de la matrice
ij n
[x <o> , x;(o) , x^(o)] .
M
n
de covariance de
n
B/ La loi de probabilité des maxima de
)
^
X (t)
admet une densité :
2TT
* (m,0)d6
n
~
ç2,
1
dm
où I
f (m,6)d6
) o
f (m,e)d6
n
est donnée par l'expression (8) lorsque l'on remplace
n
(M..)
îj
r
par (M..)
ij n
et
det
M
r
par
det M
n
.
Il est aisé de voir, compte tenu de (22) que pour tout
C m o)
f
,
a
.
4TT
^
2
2
exp
2
f m +P -2m P cos 0l
S
2
^
Y m > o
S
Vi< o
.0
D'autre part pour
m
n
assez grand
(M
)
n
< 2 S
2
3 3
(M
)
n
< 2 S
2
1 3
2
u,
a*
-1/2
(2u)
det M
< !
n
Alors compte tenu que
det M
r
> o
on peut obtenir la majoration
suivante :
f (m,e>
<
2n
pour tout
2
!
S
expf2
2
oo
-» < m < +® ,
m 2
2
P
' H 1
2 S
o < 0 < 2TT
x [,
+
2
^2(|.| • 2P)1
1
-
Loi de Probabilité des maxima . • .
En appliquant le théorème de la convergence dominée (après avoir remarqué que la majoration est integrable sur le domaine
-oo <
<
m
) on obtient lorsque
f2ïï
J
o
fm
».(-.•>* —
»
n
:
2
f *
a)
J.
) ~ s
*
00
o < 6 < 2TT ,
P m + P - 2 m P cos el
2
e x p
2
L~ —
n
r
J A
l
0
o
,
r
,
<
,
u
e
m
>
o
lorsque m<o
et
/ —
Jo
n
2,Jo
L
2ÏÏ S J o
2S
J
Or en remarquant que (20) est une densité de probabilité :
T
_5L_
Jo
2ii S J o
2
2
( \J.
2 p p cos e 1
2
" +* 1
d e
d
m
.
,
J
2 S
Soit finalement
, s
„
g (m)
»
„
n-.»
m
f
2 ï ï
1
2nSjo
2
2
f m + P - 2 m P cos é] ,
L
n
de
exp
2 S
J
Ce qui achève la démonstration du théorème 2.
Remarquons pour terminer que le théorème 2 est applicable au cas
gaussien. Il suffit pour cela de faire
P « o
dans les différentes formules •
95
Loi de Probabilité des maxima • . •
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