1 1MOUVEMENT D`UN MOBILE SUR UN CERCLE Le mouvement

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1MOUVEMENT D’UN MOBILE SUR UN CERCLE
Le mouvement d'un point M sur un cercle de centre O et de rayon R, est défini par la relation :
Or M =R.r u ( )
où
r
u (
)
est le vecteur unitaire associé au vecteur
Or M
.
u
M
0R
i
j
x
y
Déterminer dans ce repère, l’expression :
1. Du vecteur vitesse
r
v
de M.
2. Du vecteur accélération
r
a
et ses composantes normale et tangentielle.
CORRECTION
1. Le vecteur vitesse de M est donné par la relationhabituelle :
r
v =dO r
M
dt
r
v =d
dt Rr
u ( )
[]
=Rd
dt r
u (
)+dR
dt r
u (
)
Le rayon R étant constant:
dR
dt =0
. Il vient donc:
r
v =Rd
dt r
u (
)
soit:
r
v =Rdr
u (
)
d
d
dt
où
d
dt
est la vitesse angulaire  du point M.
Que représente
dr u ( )
d
?
Exprimons le vecteur unitaire
r
u
dans le repère (ox, oy):
r
u (
)=cos( ) r i +sin( ) r j
Soit en dérivant par rapport à :
1 Ph.ROUX © 2006 http://rouxphi3.perso.cegetel.net

2
dr u ( )
d
=d
d
cos( ) r i +cos( ) dr
i
d
+d
d
sin( ) r j +sin( ) dr
j
d
Sachant que les vecteurs
r
i
et
r
j
sont indépendants de l’angle , leur dérivée par rapport à 
est nulle, il vient alors :
dr u ( )
d
=sin( ) r i +cos( ) r j
La dérivée du vecteur
r
u
par rapport à . est donc un vecteur unitaire déduit du vecteur
r
u
par
une rotation de + /2. Il s’agit donc du vecteur unitaire
r
T
qui porte la vitesse. Finalement:
r
v =Rd
dt
r
T =R
r
T
y
u
T
M
0R
i
j
x
v
2. Le vecteur accélération de M est donné par la relationhabituelle :
r
a =dr
v
dt
r
a =Rd
dt d
dt (r
T )+Rd
2
dt
2
r
T
avec:
d
dt (r
T )=dr
T
d
d
dt
Comme précédemment, la dérivée du vecteur
r
T
par rapport à . est un vecteur unitaire
déduit du vecteur
r
T
par une rotation de + /2. Il s’agit donc du vecteur unitaire
r u
qui n’est
autre que le vecteur unitaire normal
r
N
. On obtient donc:
r
a =Rd
dt
2r
N +Rd2
dt2
r
T
L’accélération possède deux composantes:
• L’accélération normale:
a
n
=R d
dt
2
=R
2
=v
2
R

3
• L’accélération tangentielle :
a
t
=R d
2
dt
2
où
d2
dt2
représente l’accélération angulaire
.
u
T
M
0R
i
j
x
N
a
at
an